如何在高中數學教學中培養(yǎng)創(chuàng)新能力
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數學創(chuàng)新能力是數學的一般能力，包括對數學問題的質疑能力、建立數學模型的能力（即把實際問題轉化為數學問題的能力）、對數學問題猜測的能力等，在數學教學過程中，教師應特別重視對學生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，使每一個學生都養(yǎng)成獨立分析問題、探索問題、解決問題和延伸問題的習慣。讓所有的學生都有能力提出新見解、發(fā)現(xiàn)新思路、解決新問題。數學創(chuàng)新能力的培養(yǎng)相比數學知識的傳授更重要，數學創(chuàng)新能力的培養(yǎng)有利于學生形成良好的數學的思維品質以及運用數學思想方法的能力。
一、培養(yǎng)學生善思、善想、善問的數學品質，提高質疑能力
就研究性學習而言，需要培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，而發(fā)現(xiàn)問題和提出問題需要一定的方法，這些方法應在課堂教學中逐步培養(yǎng)。高中學生對數學知識的獲得大多表現(xiàn)在記憶和解題上，缺乏對知識間的聯(lián)系和分析，被動接受的多，主動反思的少。?
如我在講授《數學歸納法》一課時，有意設計了下面三個問題。問題1：今天，據觀察第一個到學校的是男同學，第二個到學校的也是男同學，第三個到學校的還是男同學，于是，我得出：這所學校里的學生都是男同學。（學生：竊竊私語，哄堂大笑——以偏概全）。問題2：數列{an}的通項公式為an＝（n2-5n+5）2,計算得a1＝1,a2＝1,a3＝1,可以猜出數列{an}的通項公式為：an＝1(此時，絕大部分學生不作聲——默認，有一學生突然說：當n＝5時，an＝25,a 5≠1,這時一位平時非常謹慎的女生說：“老師今天你第二次說錯了”)。問題3：三角形的內角和為180°，四邊形的內角和為2*180°，五邊形的內角和為3*180°，……，顯然有：凸n邊形的內角和為（n-2）*180°。（說到這里，我說：“這次老師沒有講錯吧？”）上述三個問題思維方式都是從特殊到一般，問題1、2得到的結論是錯的，那么問題3是否也錯誤？為什么？（學生茫然，不敢質疑）。合理地利用材料，提出好的問題，引出課題，揭示了本節(jié)知識的必要性。通過讓學生自主參與知識產生、形成的過程，獲得親身體驗，逐步形成一種在日常學習與生活中愛置疑、樂探究的心理傾向，激發(fā)探索和創(chuàng)新的積極欲望。不僅使學生理解了歸納法，而且掌握了分析、判斷、研究一般問題的方法。
高中學生的數學創(chuàng)新能力主要表現(xiàn)在：①在解題上提出新穎，簡潔，獨特方法。②運用類比的方法對某些結論進行推廣和延伸，獲的更一般的結論。如某年度高考題：“在等差數列{an}中,若a10＝0，則有等式a1+a2+……an＝a1+a2+……+a19-n(n＜19,n∈n＝成立。類比上述性質，相應地：在等比數列{bn}中,若b9＝1，則有等式______成立”。用有關等差數列和等比數列概念和類比的方法，辯明等差數列和式兩邊元素下標的關系；運用類比的手段，將已知等差數列的性質拓展到等比數列的性質，無疑發(fā)現(xiàn)了解決上述問題的通道，這是一個創(chuàng)新的過程。類比的結論不一定都正確，對問題的質疑比單一的解題，其效果是不一樣的，如在等差數列{an}中，sm＝a1+a2+……+am,則sm,s2m?-sm,s3m-s2m?成等差數列，能否類比到等比數列{bn}中，sm,s2m-sm,s3m-s2m成也等比數列，許多學生可能會證明它是正確，但這結論恰恰是錯誤的(當a1＝2，公比q＝-1時，s2＝s4-s2＝s6-s4＝0）。
再如，某年高考題：設f(x)為定義在r上的偶函數，當x≤-1時，y＝f(x)的圖象是經過點(-2,0)，斜率為1的射線。又在y＝f(x)的圖象中有一部分是頂點在（0,2），且過(-1,1)的一段拋物線，試寫出f(x)的表達式,并作出圖象。高考結束以后就有學生問：拋物線是否僅二次函數的圖象？如果不是，那么它的解不唯一。③通過對問題的變式引出新的問題進行探索。譬如，在求數列an＝2n-1的前n項和時?？梢砸鰯盗衶a3n}和{α3n}的前n項和，讓學生進行充分的討論，前一問題仍是等差數列的前n項和，但首項、公差都已經變化，認知上沒有沖突，學生是可以解決的；后一問題如果學生不深入研究數列的通項公式，那么他就無法求此數列的前n項和.探究等差數列相關知識，對學生而言應是創(chuàng)新性思維；如果再將產生的結論向等比數列聯(lián)想，可使這種創(chuàng)新思維得到延伸，達到不斷激發(fā)學生創(chuàng)新欲望之目的。?
二、建立新的數學模型并應用于實踐的能力?
數學問題來源于社會實際，又指導著人們的工作、學習。對不同的問題建立不同的數學模型，有利于學生參與社會實踐、服務社會。如某年度上海春季高考第22題是有關工資問題，可以建立等差、等比數列的數學模型。這些問題都有各自的實際背景，要解決這些問題，除了要熟悉有關的實際背景，更關鍵的是要通過審題、分析建立相應的數學模型，利用已有的數學知識、數學思想方法、計算工具來解決相關的實際問題，體驗數學模型化的價值，同時培養(yǎng)了學生實踐和創(chuàng)新能力。數學來源社會實踐，又服務于社會實踐，創(chuàng)新能力型問題很多，要求有高有低，我們不能要求學生一一掌握，但讓他們知道這些問題共同的特點，探求問題解決的一般方法。
高中數學中創(chuàng)新方法可以歸納為以下幾類：從特殊到一般、從一般到特殊、聯(lián)想與類比、建模、化歸與轉化、引申與拓展等。在數學教學中，教師要特別注意培養(yǎng)學生根據題中具體條件，自覺、靈活地運用數學思想方法，根據不同的類型探索出一般的規(guī)律；在教學過程中，通過變換不同思考角度，就可以發(fā)現(xiàn)新方法、新問題，制定新策略、解決新問題。?
本人認為，高中學生數學創(chuàng)新能力的培養(yǎng)貫穿于整個數學課堂教學過程中，要不失時機地讓學生進行類比、推廣、探究、質疑，培養(yǎng)學生的數學創(chuàng)新能力、發(fā)展學生的一般能力，為終身學習打下扎實的基礎。
一、培養(yǎng)學生善思、善想、善問的數學品質，提高質疑能力
就研究性學習而言，需要培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，而發(fā)現(xiàn)問題和提出問題需要一定的方法，這些方法應在課堂教學中逐步培養(yǎng)。高中學生對數學知識的獲得大多表現(xiàn)在記憶和解題上，缺乏對知識間的聯(lián)系和分析，被動接受的多，主動反思的少。?
如我在講授《數學歸納法》一課時，有意設計了下面三個問題。問題1：今天，據觀察第一個到學校的是男同學，第二個到學校的也是男同學，第三個到學校的還是男同學，于是，我得出：這所學校里的學生都是男同學。（學生：竊竊私語，哄堂大笑——以偏概全）。問題2：數列{an}的通項公式為an＝（n2-5n+5）2,計算得a1＝1,a2＝1,a3＝1,可以猜出數列{an}的通項公式為：an＝1(此時，絕大部分學生不作聲——默認，有一學生突然說：當n＝5時，an＝25,a 5≠1,這時一位平時非常謹慎的女生說：“老師今天你第二次說錯了”)。問題3：三角形的內角和為180°，四邊形的內角和為2*180°，五邊形的內角和為3*180°，……，顯然有：凸n邊形的內角和為（n-2）*180°。（說到這里，我說：“這次老師沒有講錯吧？”）上述三個問題思維方式都是從特殊到一般，問題1、2得到的結論是錯的，那么問題3是否也錯誤？為什么？（學生茫然，不敢質疑）。合理地利用材料，提出好的問題，引出課題，揭示了本節(jié)知識的必要性。通過讓學生自主參與知識產生、形成的過程，獲得親身體驗，逐步形成一種在日常學習與生活中愛置疑、樂探究的心理傾向，激發(fā)探索和創(chuàng)新的積極欲望。不僅使學生理解了歸納法，而且掌握了分析、判斷、研究一般問題的方法。
高中學生的數學創(chuàng)新能力主要表現(xiàn)在：①在解題上提出新穎，簡潔，獨特方法。②運用類比的方法對某些結論進行推廣和延伸，獲的更一般的結論。如某年度高考題：“在等差數列{an}中,若a10＝0，則有等式a1+a2+……an＝a1+a2+……+a19-n(n＜19,n∈n＝成立。類比上述性質，相應地：在等比數列{bn}中,若b9＝1，則有等式______成立”。用有關等差數列和等比數列概念和類比的方法，辯明等差數列和式兩邊元素下標的關系；運用類比的手段，將已知等差數列的性質拓展到等比數列的性質，無疑發(fā)現(xiàn)了解決上述問題的通道，這是一個創(chuàng)新的過程。類比的結論不一定都正確，對問題的質疑比單一的解題，其效果是不一樣的，如在等差數列{an}中，sm＝a1+a2+……+am,則sm,s2m?-sm,s3m-s2m?成等差數列，能否類比到等比數列{bn}中，sm,s2m-sm,s3m-s2m成也等比數列，許多學生可能會證明它是正確，但這結論恰恰是錯誤的(當a1＝2，公比q＝-1時，s2＝s4-s2＝s6-s4＝0）。
再如，某年高考題：設f(x)為定義在r上的偶函數，當x≤-1時，y＝f(x)的圖象是經過點(-2,0)，斜率為1的射線。又在y＝f(x)的圖象中有一部分是頂點在（0,2），且過(-1,1)的一段拋物線，試寫出f(x)的表達式,并作出圖象。高考結束以后就有學生問：拋物線是否僅二次函數的圖象？如果不是，那么它的解不唯一。③通過對問題的變式引出新的問題進行探索。譬如，在求數列an＝2n-1的前n項和時?？梢砸鰯盗衶a3n}和{α3n}的前n項和，讓學生進行充分的討論，前一問題仍是等差數列的前n項和，但首項、公差都已經變化，認知上沒有沖突，學生是可以解決的；后一問題如果學生不深入研究數列的通項公式，那么他就無法求此數列的前n項和.探究等差數列相關知識，對學生而言應是創(chuàng)新性思維；如果再將產生的結論向等比數列聯(lián)想，可使這種創(chuàng)新思維得到延伸，達到不斷激發(fā)學生創(chuàng)新欲望之目的。?
二、建立新的數學模型并應用于實踐的能力?
數學問題來源于社會實際，又指導著人們的工作、學習。對不同的問題建立不同的數學模型，有利于學生參與社會實踐、服務社會。如某年度上海春季高考第22題是有關工資問題，可以建立等差、等比數列的數學模型。這些問題都有各自的實際背景，要解決這些問題，除了要熟悉有關的實際背景，更關鍵的是要通過審題、分析建立相應的數學模型，利用已有的數學知識、數學思想方法、計算工具來解決相關的實際問題，體驗數學模型化的價值，同時培養(yǎng)了學生實踐和創(chuàng)新能力。數學來源社會實踐，又服務于社會實踐，創(chuàng)新能力型問題很多，要求有高有低，我們不能要求學生一一掌握，但讓他們知道這些問題共同的特點，探求問題解決的一般方法。
高中數學中創(chuàng)新方法可以歸納為以下幾類：從特殊到一般、從一般到特殊、聯(lián)想與類比、建模、化歸與轉化、引申與拓展等。在數學教學中，教師要特別注意培養(yǎng)學生根據題中具體條件，自覺、靈活地運用數學思想方法，根據不同的類型探索出一般的規(guī)律；在教學過程中，通過變換不同思考角度，就可以發(fā)現(xiàn)新方法、新問題，制定新策略、解決新問題。?
本人認為，高中學生數學創(chuàng)新能力的培養(yǎng)貫穿于整個數學課堂教學過程中，要不失時機地讓學生進行類比、推廣、探究、質疑，培養(yǎng)學生的數學創(chuàng)新能力、發(fā)展學生的一般能力，為終身學習打下扎實的基礎。