淺談高中數(shù)學空間想象能力的培養(yǎng)
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徐海燕1由 分享
數(shù)學不僅研究客觀世界的數(shù)量關系，還研究客觀世界的空間形式．研究空間幾何體的大小、形狀、結(jié)構(gòu)、以及相互位置關系的抽象的特征，因此，研究空間形式，必需研究圖形的性質(zhì)，必須具有空間想象能力．
一、空間想象能力的基本內(nèi)涵
中學數(shù)學中的空間想象能力主要是指，學生對客觀事物的空間形式進行觀察、分析、抽象思考和創(chuàng)新的能力．它是新課標賦予立體幾何課程教學的主要目的．在教學上，力求做到使學生能將空間物體形態(tài)抽象為空間幾何圖形，能從給定的立體圖形想象出實體形狀以及幾何元素在空間的實際位置關系，并能用語言符號或式子表達出來且能正確解題．空間想象能力具體包括以下幾個方面：
（1）熟悉基本幾何圖形（平面或空間），并能找出其概念原型，能正確的畫出實物、語言或數(shù)學符號表述的幾何圖形；
（2）能分析圖形中的基本元素之間的位置關系及度量關系，明確幾何圖形與實物空間形式的區(qū)別與聯(lián)系；
（3）能借助于圖形來反映并思考客觀事物或用數(shù)學語言表達的空間形狀和位置關系；
（4）能對畫出的圖形或頭腦中已有的形象進行分析、組合、從而產(chǎn)生新的空間形象并能判斷其性質(zhì)．
二、培養(yǎng)空間想象能力方法與途徑
1．加強幾何教學與實際的聯(lián)系，以培養(yǎng)空間觀念
空間想象能力的基礎是空間觀念，而空間觀念是基于我們現(xiàn)實世界的直接感知與認識，因此，應加強幾何教學同實際的聯(lián)系，幫助學生將具體的現(xiàn)實空間同抽象的幾何概念統(tǒng)一起來，以培養(yǎng)和發(fā)展空間觀念．在實際教學過程中應運用生活實例或?qū)嶋H問題引入幾何概念、探討幾何圖形的性質(zhì)．同時給予學生動手操作、實踐活動的機會，以發(fā)展空間觀念．
2．處理好實物或模型與幾何圖形的關系
在幾何學習、特別是立體幾何學習中，學生所獲得的空間信息主要是來源于實物（模型）、幾何圖形、語言描述以及它們之間的相互轉(zhuǎn)換．因此，要培養(yǎng)學生的空間想象能力，在幾何教學中必須處理好實物（模型）、圖形、語言之間的關系．
（1）恰當?shù)倪\用實物模型進行直觀教學．初始階段，教師如能恰當?shù)倪\用實物、模型，可使抽象的事物獲得生動的形象，使平面上的圖形有了立體感．比如老師對金字塔的語言描述喚起了學生頭腦中相應的表象，再通過觀察棱錐的直觀模型，學生便獲得了對棱錐幾何體的整體形象認識，在這基礎上畫出直觀圖就成為棱錐概念的形象表示，以后一提及棱錐，大腦便出現(xiàn)相應的圖形，可見在幾何概念形成的過程中，直觀模型起了重要的作用．
（2）進行畫圖訓練，實現(xiàn)由“模型”到“圖形”的過渡，要使學生擺脫對直觀圖形的依賴，必須進行畫圖訓練．當然，畫圖訓練應有層次性．首先訓練會畫平面圖形，空間幾何體的的直觀圖，畫好后引導學生將直觀圖與實物模型作對比，再根據(jù)直觀圖想象其實際形狀．這樣做對提高空間想象能力，逐步丟掉“模型”是有顯著的作用的．然后讓學生根據(jù)語言描述畫出相應的圖形．如講直線與平面的位置關系時，教師說明其關系有三種：在面內(nèi)，相交、平行，再讓學生用適當?shù)膱D形將這些位置關系表示出來．在訓練畫圖的過程中，不僅要求學生會畫，而且要求畫出很強的立體感．比如讓學生畫出表示兩條異面直線的圖形，然后要求學生判斷哪些最具有立體感，在此過程中空間想象能力自然增強了．
3．增強對圖形的加工、變換能力
按照英國心理學家查得?斯根普的觀點，幾何圖形是一種視覺符號，與表象的形成密切相關．因此，圖形以及圖形的加工、變換能力在培養(yǎng)與發(fā)展空間想象能力的過程中起了關鍵作用．圖形的變換一般有三種類型：
（1）圖形的運動與變式
當學生已逐步擺脫掉直觀模型的束縛，轉(zhuǎn)而對圖形進行認識時，應適當增加圖形的運動變化的訓練，力求在圖形的變式與運動過程中從根本上認識圖形的本質(zhì)特征，克服一些由圖形帶來的思維障礙．
（2）圖形的分解與組合
在幾何問題中給出的幾何圖形，常由表達基本概念、定理的基本圖形經(jīng)過組合、分解、交錯，疊加形成，這樣的圖形容易干擾對幾何對象的感知，也影響了對基本圖形之間關系的發(fā)現(xiàn)．要克服諸如此類的障礙，教學中常見的方法是運用彩色粉筆從背景圖形中勾畫出幾何對象．如果從培養(yǎng)空間想象能力角度思考，比較積極的辦法是讓學生進行圖形的分解與組合的練習．在平幾或立體幾何中，圖形的分解與組合的練習可以有多種形式．比如，經(jīng)過平移旋轉(zhuǎn)、對稱變換等運動，簡單的圖形演變?yōu)閺碗s圖形．將平面圖形折疊成空間幾何體、或?qū)⒖臻g幾何體的表面展開，或?qū)⒖臻g幾何體進行割補，或在復雜圖形中尋找基本元素的關系等等，這些都是極好的訓練素材．
（3）平面圖形與空間圖形的對比、類比與轉(zhuǎn)換
一維、二維圖形與實物形狀以及人的視覺形象基本一致，因此平面圖形能真實地反映了基本元素間的位置關系和數(shù)量關系，學生只需通過觀察圖形即可獲得有關的信息．然而在三維空間中，基本元素間的關系要復雜的多，況且，三維空間形體的位置關系與數(shù)量關系是用二維平面上的直觀圖來表示的，由于實物、人的視覺形象與圖形不完全一致，給準確的捕捉直觀圖所帶來的信息帶來的困難．為了幫助學生克服這種學習障礙，在立體幾何教學中，教師應注重平面幾何概念與空間概念、平面圖形與空間圖形的對比與類比，使學生通過二維到三維的托展，三維到二維的投影等練習，掌握空間基本圖形的性質(zhì)與演變，從而能進行理性思考，有效地提高空間想象能力．
4．進行抽象問題形象化訓練，培養(yǎng)幾何直覺能力
將抽象問題形象化的幾何直覺能力是空間想象能力的最高層次，是空間觀念、意識、想象力在處理數(shù)學問題時的遷移和運用．因此幾何直覺能力的訓練與培養(yǎng)應貫穿于整個高中數(shù)學教學過程中．前蘇聯(lián)著名的數(shù)學家柯爾莫哥洛夫曾經(jīng)說過：“只要有可能，數(shù)學家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化……，幾何想象，或如同人們所說的幾何直覺，對于幾乎所有的數(shù)學分科的研究工作，甚至對于最抽象的工作有著重大意義．”由此可見，在數(shù)學學習中，幾何的視覺化，形象化的能力不僅有助于促進數(shù)學知識的理解、記憶和提取，而有助于提出數(shù)學問題，解決數(shù)學問題．因此人們常把幾何形象化、直觀化看作培養(yǎng)創(chuàng)新能力的基礎，其在教學中的重要性不言而喻．
總之，在立體幾何教學中盡量出示直觀模型, 運用直觀手段, 通過展示模型和教師制作的幾何課件，引導學生觀察，進而在觀察的基礎上引導學生從不同的角度來作圖，并借助圖形進行推理論證，幫助學生逐步形成空間概念，有意識地培養(yǎng)空間想象能力及邏輯思維能力．
一、空間想象能力的基本內(nèi)涵
中學數(shù)學中的空間想象能力主要是指，學生對客觀事物的空間形式進行觀察、分析、抽象思考和創(chuàng)新的能力．它是新課標賦予立體幾何課程教學的主要目的．在教學上，力求做到使學生能將空間物體形態(tài)抽象為空間幾何圖形，能從給定的立體圖形想象出實體形狀以及幾何元素在空間的實際位置關系，并能用語言符號或式子表達出來且能正確解題．空間想象能力具體包括以下幾個方面：
（1）熟悉基本幾何圖形（平面或空間），并能找出其概念原型，能正確的畫出實物、語言或數(shù)學符號表述的幾何圖形；
（2）能分析圖形中的基本元素之間的位置關系及度量關系，明確幾何圖形與實物空間形式的區(qū)別與聯(lián)系；
（3）能借助于圖形來反映并思考客觀事物或用數(shù)學語言表達的空間形狀和位置關系；
（4）能對畫出的圖形或頭腦中已有的形象進行分析、組合、從而產(chǎn)生新的空間形象并能判斷其性質(zhì)．
二、培養(yǎng)空間想象能力方法與途徑
1．加強幾何教學與實際的聯(lián)系，以培養(yǎng)空間觀念
空間想象能力的基礎是空間觀念，而空間觀念是基于我們現(xiàn)實世界的直接感知與認識，因此，應加強幾何教學同實際的聯(lián)系，幫助學生將具體的現(xiàn)實空間同抽象的幾何概念統(tǒng)一起來，以培養(yǎng)和發(fā)展空間觀念．在實際教學過程中應運用生活實例或?qū)嶋H問題引入幾何概念、探討幾何圖形的性質(zhì)．同時給予學生動手操作、實踐活動的機會，以發(fā)展空間觀念．
2．處理好實物或模型與幾何圖形的關系
在幾何學習、特別是立體幾何學習中，學生所獲得的空間信息主要是來源于實物（模型）、幾何圖形、語言描述以及它們之間的相互轉(zhuǎn)換．因此，要培養(yǎng)學生的空間想象能力，在幾何教學中必須處理好實物（模型）、圖形、語言之間的關系．
（1）恰當?shù)倪\用實物模型進行直觀教學．初始階段，教師如能恰當?shù)倪\用實物、模型，可使抽象的事物獲得生動的形象，使平面上的圖形有了立體感．比如老師對金字塔的語言描述喚起了學生頭腦中相應的表象，再通過觀察棱錐的直觀模型，學生便獲得了對棱錐幾何體的整體形象認識，在這基礎上畫出直觀圖就成為棱錐概念的形象表示，以后一提及棱錐，大腦便出現(xiàn)相應的圖形，可見在幾何概念形成的過程中，直觀模型起了重要的作用．
（2）進行畫圖訓練，實現(xiàn)由“模型”到“圖形”的過渡，要使學生擺脫對直觀圖形的依賴，必須進行畫圖訓練．當然，畫圖訓練應有層次性．首先訓練會畫平面圖形，空間幾何體的的直觀圖，畫好后引導學生將直觀圖與實物模型作對比，再根據(jù)直觀圖想象其實際形狀．這樣做對提高空間想象能力，逐步丟掉“模型”是有顯著的作用的．然后讓學生根據(jù)語言描述畫出相應的圖形．如講直線與平面的位置關系時，教師說明其關系有三種：在面內(nèi)，相交、平行，再讓學生用適當?shù)膱D形將這些位置關系表示出來．在訓練畫圖的過程中，不僅要求學生會畫，而且要求畫出很強的立體感．比如讓學生畫出表示兩條異面直線的圖形，然后要求學生判斷哪些最具有立體感，在此過程中空間想象能力自然增強了．
3．增強對圖形的加工、變換能力
按照英國心理學家查得?斯根普的觀點，幾何圖形是一種視覺符號，與表象的形成密切相關．因此，圖形以及圖形的加工、變換能力在培養(yǎng)與發(fā)展空間想象能力的過程中起了關鍵作用．圖形的變換一般有三種類型：
（1）圖形的運動與變式
當學生已逐步擺脫掉直觀模型的束縛，轉(zhuǎn)而對圖形進行認識時，應適當增加圖形的運動變化的訓練，力求在圖形的變式與運動過程中從根本上認識圖形的本質(zhì)特征，克服一些由圖形帶來的思維障礙．
（2）圖形的分解與組合
在幾何問題中給出的幾何圖形，常由表達基本概念、定理的基本圖形經(jīng)過組合、分解、交錯，疊加形成，這樣的圖形容易干擾對幾何對象的感知，也影響了對基本圖形之間關系的發(fā)現(xiàn)．要克服諸如此類的障礙，教學中常見的方法是運用彩色粉筆從背景圖形中勾畫出幾何對象．如果從培養(yǎng)空間想象能力角度思考，比較積極的辦法是讓學生進行圖形的分解與組合的練習．在平幾或立體幾何中，圖形的分解與組合的練習可以有多種形式．比如，經(jīng)過平移旋轉(zhuǎn)、對稱變換等運動，簡單的圖形演變?yōu)閺碗s圖形．將平面圖形折疊成空間幾何體、或?qū)⒖臻g幾何體的表面展開，或?qū)⒖臻g幾何體進行割補，或在復雜圖形中尋找基本元素的關系等等，這些都是極好的訓練素材．
（3）平面圖形與空間圖形的對比、類比與轉(zhuǎn)換
一維、二維圖形與實物形狀以及人的視覺形象基本一致，因此平面圖形能真實地反映了基本元素間的位置關系和數(shù)量關系，學生只需通過觀察圖形即可獲得有關的信息．然而在三維空間中，基本元素間的關系要復雜的多，況且，三維空間形體的位置關系與數(shù)量關系是用二維平面上的直觀圖來表示的，由于實物、人的視覺形象與圖形不完全一致，給準確的捕捉直觀圖所帶來的信息帶來的困難．為了幫助學生克服這種學習障礙，在立體幾何教學中，教師應注重平面幾何概念與空間概念、平面圖形與空間圖形的對比與類比，使學生通過二維到三維的托展，三維到二維的投影等練習，掌握空間基本圖形的性質(zhì)與演變，從而能進行理性思考，有效地提高空間想象能力．
4．進行抽象問題形象化訓練，培養(yǎng)幾何直覺能力
將抽象問題形象化的幾何直覺能力是空間想象能力的最高層次，是空間觀念、意識、想象力在處理數(shù)學問題時的遷移和運用．因此幾何直覺能力的訓練與培養(yǎng)應貫穿于整個高中數(shù)學教學過程中．前蘇聯(lián)著名的數(shù)學家柯爾莫哥洛夫曾經(jīng)說過：“只要有可能，數(shù)學家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化……，幾何想象，或如同人們所說的幾何直覺，對于幾乎所有的數(shù)學分科的研究工作，甚至對于最抽象的工作有著重大意義．”由此可見，在數(shù)學學習中，幾何的視覺化，形象化的能力不僅有助于促進數(shù)學知識的理解、記憶和提取，而有助于提出數(shù)學問題，解決數(shù)學問題．因此人們常把幾何形象化、直觀化看作培養(yǎng)創(chuàng)新能力的基礎，其在教學中的重要性不言而喻．
總之，在立體幾何教學中盡量出示直觀模型, 運用直觀手段, 通過展示模型和教師制作的幾何課件，引導學生觀察，進而在觀察的基礎上引導學生從不同的角度來作圖，并借助圖形進行推理論證，幫助學生逐步形成空間概念，有意識地培養(yǎng)空間想象能力及邏輯思維能力．