談?wù)劮醋C法在教學(xué)中的應(yīng)用
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吳艷1由 分享
一. 引言
有個(gè)很著名的“道旁苦李”的故事：從前有個(gè)名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹(shù)上結(jié)滿了李子，小朋友一哄而上，去摘，嘗了之后才知是苦的，獨(dú)有王戎沒(méi)動(dòng)，王戎說(shuō)：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹(shù)上卻結(jié)滿了李子，所以李子一定是苦的。”這個(gè)故事中王戎用了一種特殊的方法，從反面論述了李子為什么不甜，不好吃。這種間接的證法就是我們下面所要討論的反證法。
二. 反證法的定義、邏輯依據(jù)、種類及模式
定義：反證法是從反面的角度思考問(wèn)題的證明方法，屬于“間接證明”的一類，即肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾，推理而得。
種類：運(yùn)用反證法的關(guān)鍵在于歸謬，因此反證法又稱為歸謬法。根據(jù)結(jié)論B的反面情況不同，分為簡(jiǎn)單歸謬法和窮舉歸謬法。
模式：設(shè)待證的命題為“若A則B”，其中A是題設(shè)，B是結(jié)論，A、B本身也都是數(shù)學(xué)判斷，那么用反證法證明命題一般有三個(gè)步驟：
反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；
歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過(guò)一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；
結(jié)論：說(shuō)明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。
三. 反證法的適用范圍
1.否定性命題
即結(jié)論以“沒(méi)有……”“不是……”“不能……”等形式出現(xiàn)的命題，直接證法一般不易入手，而反證法有希望成功。
例 求證：在一個(gè)三角形中，不能有兩個(gè)角是鈍角。已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角。求證：∠A，∠B，∠C中不能有兩個(gè)鈍角。
證明：假如∠A，∠B，∠C中有兩個(gè)鈍角，不妨設(shè)∠A＞900,且∠B＞900，則∠A+∠B+∠C＞1800。這與“三角形內(nèi)角和為1800”這一定理相矛盾。 故 ∠A，∠B均大于900不成立。所以，一個(gè)三角形不可能有兩個(gè)鈍角。
2.限定式命題
即結(jié)論中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等詞語(yǔ)的命題。
例 在半徑為 的圓中，有半徑等于1的九個(gè)圓，證明：至少有兩個(gè)小圓的公共部分的面積不小于 。
證明：每個(gè)小圓的公共部分的面積都小于 ，而九個(gè)小圓共有 個(gè)公共部分，九個(gè)小圓的公共部分面積要小于 ，又大圓面積為 ，則九個(gè)小圓應(yīng)占面積要大于 ，這是不可能的，故至少有兩個(gè)小圓的公共部分面積不少于 。
例 已知方程 ， ， 中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)值，求實(shí)數(shù) 的取值范圍。
分析：此題直接分情況用判別式求解就特別麻煩，可用反證法，假設(shè)三個(gè)方程都無(wú)實(shí)數(shù)根，然后求滿足條件 的集合的補(bǔ)集即可。
證明：假設(shè)三個(gè)方程都無(wú)實(shí)根，則有：
解得
例 已知m，n，p都是正整數(shù)，求證：在三個(gè)數(shù)中，至多有一個(gè)數(shù)不小于1．
證 假設(shè)a，b，c中至少有兩個(gè)數(shù)不小于1，不妨設(shè)a≥1，b≥1，則
m≥n+p，n≥p+m．
兩式相加，得2p≤0，從而p≤0，與p是正整數(shù)矛盾．
所以命題成立．
說(shuō)明 “不妨設(shè)”是為了簡(jiǎn)化敘述，表示若有b≥1，c≥1和a≥1等其他各種情況時(shí)，證明過(guò)程是同樣的．
∴所求 的范圍為 .
3.無(wú)窮性命題
即涉及各種“無(wú)限”結(jié)論的命題。
例 求證： 是無(wú)理數(shù)。
分析：由于題目給我們可供便用的條件實(shí)在太少，以至于正面向前進(jìn)一小步都非常困難。而無(wú)理數(shù)又是無(wú)限不循環(huán)的，“無(wú)限”與“不循環(huán)”都很難表示出來(lái)。當(dāng)反設(shè) 是有理數(shù)時(shí)，就增加了一個(gè)具體而有效的“條件”，使得能方便地將 表示為一個(gè)分?jǐn)?shù)。
證明：假設(shè) 是有理數(shù)，則存在 互質(zhì)，使 ，從而， 為偶數(shù)，記為 ，∴ ，∴ ，則 也是偶數(shù)。由 , 均為偶數(shù)與 、 互質(zhì)矛盾，故 是無(wú)理數(shù)。
例 求證：素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)。
證明：假設(shè)素?cái)?shù)只有n個(gè)： P1、P2……Pn，取整數(shù)N=P1?P2……Pn+1，顯然N不能被這幾個(gè)數(shù)中的任何一個(gè)整除。因此，或者N本身就是素?cái)?shù)（顯然N不等于“P1、P2、……Pn中任何一個(gè)），或者N含有除這n個(gè)素?cái)?shù)以外的素?cái)?shù)r，這些都與素?cái)?shù)只有n個(gè)的假定相矛盾，故素?cái)?shù)個(gè)數(shù)不可能是有限的，即為無(wú)限的。
四. 運(yùn)用反證法應(yīng)注意的問(wèn)題
1.必須正確否定結(jié)論
正確否定結(jié)論是運(yùn)用反證法的首要問(wèn)題。
如：命題“一個(gè)三角形中，至多有一個(gè)內(nèi)角是直角”。“至多有一個(gè)”指：“只有一個(gè)”或“沒(méi)有一個(gè)”，其反面是“有兩個(gè)直角”或“三個(gè)內(nèi)角都是直角”，即“至少有兩個(gè)是直角”。
2.必須明確推理特點(diǎn)
否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾是反證法的任務(wù)，但何時(shí)出現(xiàn)矛盾，出現(xiàn)什么樣的矛盾是不能預(yù)測(cè)的，也沒(méi)有一個(gè)機(jī)械的標(biāo)準(zhǔn),有的甚至是捉摸不定的. 一般總是在命題的相關(guān)領(lǐng)域里考慮（ 例如,平面幾何問(wèn)題往往聯(lián)系到相關(guān)的公理、定義、定理等），這正是反證法推理的特點(diǎn)。因此，在推理前不必要也不可能事先規(guī)定要得出什么樣的矛盾。只需正確否定結(jié)論，嚴(yán)格遵守推理規(guī)則，進(jìn)行步步有據(jù)的推理，矛盾一經(jīng)出現(xiàn)，證明即告結(jié)束。
五、小結(jié)
反證法是數(shù)學(xué)中一種重要的證明方法, 是“數(shù)學(xué)家的最精良的武器之一”，在許多方面都有著不可替代的作用. 著名的英國(guó)數(shù)學(xué)家G.H.哈代對(duì)于這種證明方法作過(guò)一個(gè)令人滿意的評(píng)論。在棋類比賽中，經(jīng)常采用一種策略是“棄子取勢(shì)”—犧牲一些棋子以換取優(yōu)勢(shì)。哈代指出，歸謬法是遠(yuǎn)比任何棋術(shù)更為高超的一種策略；棋手可以犧牲的是幾個(gè)棋子，而數(shù)學(xué)家可以犧牲的卻是整個(gè)一盤棋。歸謬法就是作為一種可以想象的最了不起的策略而產(chǎn)生的。它以其獨(dú)特的證明方法和思維方式對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力和創(chuàng)造性思維有著重大的意義。反證法不僅可以單獨(dú)使用,也可以與其他方法結(jié)合使用,并且可以在論證一道命題中多次使用,只要我們正確熟練運(yùn)用,就能做到:精巧、直接、巧解難題、說(shuō)理清楚、論證嚴(yán)謹(jǐn),提高數(shù)學(xué)解題能力.
有個(gè)很著名的“道旁苦李”的故事：從前有個(gè)名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹(shù)上結(jié)滿了李子，小朋友一哄而上，去摘，嘗了之后才知是苦的，獨(dú)有王戎沒(méi)動(dòng)，王戎說(shuō)：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹(shù)上卻結(jié)滿了李子，所以李子一定是苦的。”這個(gè)故事中王戎用了一種特殊的方法，從反面論述了李子為什么不甜，不好吃。這種間接的證法就是我們下面所要討論的反證法。
二. 反證法的定義、邏輯依據(jù)、種類及模式
定義：反證法是從反面的角度思考問(wèn)題的證明方法，屬于“間接證明”的一類，即肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾，推理而得。
種類：運(yùn)用反證法的關(guān)鍵在于歸謬，因此反證法又稱為歸謬法。根據(jù)結(jié)論B的反面情況不同，分為簡(jiǎn)單歸謬法和窮舉歸謬法。
模式：設(shè)待證的命題為“若A則B”，其中A是題設(shè)，B是結(jié)論，A、B本身也都是數(shù)學(xué)判斷，那么用反證法證明命題一般有三個(gè)步驟：
反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；
歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過(guò)一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；
結(jié)論：說(shuō)明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。
三. 反證法的適用范圍
1.否定性命題
即結(jié)論以“沒(méi)有……”“不是……”“不能……”等形式出現(xiàn)的命題，直接證法一般不易入手，而反證法有希望成功。
例 求證：在一個(gè)三角形中，不能有兩個(gè)角是鈍角。已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角。求證：∠A，∠B，∠C中不能有兩個(gè)鈍角。
證明：假如∠A，∠B，∠C中有兩個(gè)鈍角，不妨設(shè)∠A＞900,且∠B＞900，則∠A+∠B+∠C＞1800。這與“三角形內(nèi)角和為1800”這一定理相矛盾。 故 ∠A，∠B均大于900不成立。所以，一個(gè)三角形不可能有兩個(gè)鈍角。
2.限定式命題
即結(jié)論中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等詞語(yǔ)的命題。
例 在半徑為 的圓中，有半徑等于1的九個(gè)圓，證明：至少有兩個(gè)小圓的公共部分的面積不小于 。
證明：每個(gè)小圓的公共部分的面積都小于 ，而九個(gè)小圓共有 個(gè)公共部分，九個(gè)小圓的公共部分面積要小于 ，又大圓面積為 ，則九個(gè)小圓應(yīng)占面積要大于 ，這是不可能的，故至少有兩個(gè)小圓的公共部分面積不少于 。
例 已知方程 ， ， 中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)值，求實(shí)數(shù) 的取值范圍。
分析：此題直接分情況用判別式求解就特別麻煩，可用反證法，假設(shè)三個(gè)方程都無(wú)實(shí)數(shù)根，然后求滿足條件 的集合的補(bǔ)集即可。
證明：假設(shè)三個(gè)方程都無(wú)實(shí)根，則有：
解得
例 已知m，n，p都是正整數(shù)，求證：在三個(gè)數(shù)中，至多有一個(gè)數(shù)不小于1．
證 假設(shè)a，b，c中至少有兩個(gè)數(shù)不小于1，不妨設(shè)a≥1，b≥1，則
m≥n+p，n≥p+m．
兩式相加，得2p≤0，從而p≤0，與p是正整數(shù)矛盾．
所以命題成立．
說(shuō)明 “不妨設(shè)”是為了簡(jiǎn)化敘述，表示若有b≥1，c≥1和a≥1等其他各種情況時(shí)，證明過(guò)程是同樣的．
∴所求 的范圍為 .
3.無(wú)窮性命題
即涉及各種“無(wú)限”結(jié)論的命題。
例 求證： 是無(wú)理數(shù)。
分析：由于題目給我們可供便用的條件實(shí)在太少，以至于正面向前進(jìn)一小步都非常困難。而無(wú)理數(shù)又是無(wú)限不循環(huán)的，“無(wú)限”與“不循環(huán)”都很難表示出來(lái)。當(dāng)反設(shè) 是有理數(shù)時(shí)，就增加了一個(gè)具體而有效的“條件”，使得能方便地將 表示為一個(gè)分?jǐn)?shù)。
證明：假設(shè) 是有理數(shù)，則存在 互質(zhì)，使 ，從而， 為偶數(shù)，記為 ，∴ ，∴ ，則 也是偶數(shù)。由 , 均為偶數(shù)與 、 互質(zhì)矛盾，故 是無(wú)理數(shù)。
例 求證：素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)。
證明：假設(shè)素?cái)?shù)只有n個(gè)： P1、P2……Pn，取整數(shù)N=P1?P2……Pn+1，顯然N不能被這幾個(gè)數(shù)中的任何一個(gè)整除。因此，或者N本身就是素?cái)?shù)（顯然N不等于“P1、P2、……Pn中任何一個(gè)），或者N含有除這n個(gè)素?cái)?shù)以外的素?cái)?shù)r，這些都與素?cái)?shù)只有n個(gè)的假定相矛盾，故素?cái)?shù)個(gè)數(shù)不可能是有限的，即為無(wú)限的。
四. 運(yùn)用反證法應(yīng)注意的問(wèn)題
1.必須正確否定結(jié)論
正確否定結(jié)論是運(yùn)用反證法的首要問(wèn)題。
如：命題“一個(gè)三角形中，至多有一個(gè)內(nèi)角是直角”。“至多有一個(gè)”指：“只有一個(gè)”或“沒(méi)有一個(gè)”，其反面是“有兩個(gè)直角”或“三個(gè)內(nèi)角都是直角”，即“至少有兩個(gè)是直角”。
2.必須明確推理特點(diǎn)
否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾是反證法的任務(wù)，但何時(shí)出現(xiàn)矛盾，出現(xiàn)什么樣的矛盾是不能預(yù)測(cè)的，也沒(méi)有一個(gè)機(jī)械的標(biāo)準(zhǔn),有的甚至是捉摸不定的. 一般總是在命題的相關(guān)領(lǐng)域里考慮（ 例如,平面幾何問(wèn)題往往聯(lián)系到相關(guān)的公理、定義、定理等），這正是反證法推理的特點(diǎn)。因此，在推理前不必要也不可能事先規(guī)定要得出什么樣的矛盾。只需正確否定結(jié)論，嚴(yán)格遵守推理規(guī)則，進(jìn)行步步有據(jù)的推理，矛盾一經(jīng)出現(xiàn)，證明即告結(jié)束。
五、小結(jié)
反證法是數(shù)學(xué)中一種重要的證明方法, 是“數(shù)學(xué)家的最精良的武器之一”，在許多方面都有著不可替代的作用. 著名的英國(guó)數(shù)學(xué)家G.H.哈代對(duì)于這種證明方法作過(guò)一個(gè)令人滿意的評(píng)論。在棋類比賽中，經(jīng)常采用一種策略是“棄子取勢(shì)”—犧牲一些棋子以換取優(yōu)勢(shì)。哈代指出，歸謬法是遠(yuǎn)比任何棋術(shù)更為高超的一種策略；棋手可以犧牲的是幾個(gè)棋子，而數(shù)學(xué)家可以犧牲的卻是整個(gè)一盤棋。歸謬法就是作為一種可以想象的最了不起的策略而產(chǎn)生的。它以其獨(dú)特的證明方法和思維方式對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力和創(chuàng)造性思維有著重大的意義。反證法不僅可以單獨(dú)使用,也可以與其他方法結(jié)合使用,并且可以在論證一道命題中多次使用,只要我們正確熟練運(yùn)用,就能做到:精巧、直接、巧解難題、說(shuō)理清楚、論證嚴(yán)謹(jǐn),提高數(shù)學(xué)解題能力.