2017九年級數(shù)學(xué)第一次月考試卷(2)
18.二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣1的象在x軸上截得的線段長為2 .
考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn).
專題：計算題.
分析：通過解方程x2﹣2x﹣1=0可得到拋物線與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)，然后計算兩交點(diǎn)間的距離即可.
解答： 解：當(dāng)y=0時，x2﹣2x﹣1=0，
x2﹣2x+1=2，
(x﹣1)2=2，
解得x1=1+ ，x2=1﹣ ，
所以拋物線與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為(1﹣ ，0)，(1+ ，0)，
所以拋物線在x軸上截得的線段長=1+ ﹣(1﹣ )=2 .
故答案為 .
點(diǎn)評：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題可轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程.
19.一拱橋呈拋物線狀，橋的最大高度是32m，跨度是80m，在線段AB上距離中心M20m的D處，橋的高度是24m.
考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用.
分析：根據(jù)題意假設(shè)解析式為y=ax2+bx+c，用待定系數(shù)法求出解析式.然后把自變量的值代入求解對應(yīng)函數(shù)值即可.
解答： 解：設(shè)拋物線的方程為y=ax2+bx+c
已知拋物線經(jīng)過(0，32)，(﹣40，0)，(40，0)，
可得 ，
可得a=﹣ ，b=0，c=32，
故解析式為y=﹣ x2+32，
當(dāng)x=20時，y=24.
故答案為：24.
點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題.
20.二次函數(shù)y=x2+bx的象對稱軸為x=﹣2.若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0(t為實(shí)數(shù))在﹣5
考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn).
專題：計算題.
分析：先利用對稱軸方程求出b得到拋物線解析式為y=x2+4x，再配成頂點(diǎn)式得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2，﹣4)，接著根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用函數(shù)象求出當(dāng)﹣5
解答： 解：∵﹣ =﹣2，解得b=4，
∴拋物線解析式為y=x2+4x，即y=(x+2)2﹣4，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2，﹣4)，
當(dāng)x=2時，y=x2+4x=12，
∴當(dāng)﹣5
∵一元二次方程x2+bx﹣t=0(t為實(shí)數(shù))的解可看作拋物線y=x2+bx與直線y=b的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
∴關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0(t為實(shí)數(shù))在﹣5
∴﹣4≤t<12.
故答案為﹣4≤t<12.
點(diǎn)評：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題可轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)與一次函數(shù)象的交點(diǎn)問題.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的關(guān)鍵.
三、解答題(本題共7小題，共80分)
21.已知二次函數(shù)y=﹣x2+4x+5.
(1)用配 方法把該函數(shù)化為y=a(x﹣h)2+k(其中a、h、k都是常數(shù)且a≠0)的形式，并指出函數(shù)象的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求這個函數(shù)象與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo).
考點(diǎn)：二次函數(shù)的三種形式.
分析：(1)先配方，得到二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)式，即可直接寫出其對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)令y=0，求出x的值，即可確定函數(shù)象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo);令x=0，求出y的值，即可確定函數(shù)象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo).
解答： 解：(1)y=﹣x2+4x+5=﹣(x﹣2)2+9，
對稱軸為：x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)：(2，9);
(2)令y=0，得﹣x2+4x+5=0，
解得x1=﹣1，x2=5，
所以象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：(﹣1，0)與(5，0);
令x=0，得y=5，
所以象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：(0，5).
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)解析式的三種形式：
(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù));
(2)頂點(diǎn)式：y=a(x﹣h)2+k;
(3)交點(diǎn)式(與x軸)：y=a(x﹣x1)(x﹣x2).
同時考查了函數(shù)象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的求 法.
22.直線y=x+m和拋物線y=x2+bx+c都經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)，B(3，2).
(1)求m的值和拋物線的解析式;
(2)求不等式x2+bx+c>x+m的解集.(直接寫出答案)
考點(diǎn)：二次函數(shù)與不等式(組);待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.
分析：(1)分別把點(diǎn)A(1，0)，B(3，2)代入直線y=x+m和拋物線y=x2+bx+c，利用待定系數(shù)法解得y=x﹣1，y=x2﹣3x+2;
(2)根據(jù)題意列出不等式，直接解二元一次不等式即可，或者根據(jù)象可知，x2﹣3x+2>x﹣1的象上x的范圍是x<1或x>3.
解答： 解：(1)把點(diǎn)A(1，0)，B(3，2)分別代入直線y=x+m和拋物線y=x2+bx+c得：
0=1+m， ，
∴m=﹣1，b=﹣3，c=2，
所以y=x﹣1，y=x2﹣3x+2;
(2)x2﹣3x+2>x﹣1，解得：x<1或x>3.
點(diǎn)評：主要考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和二次函數(shù)的象的性質(zhì).要具備讀的能力.
23.二次函數(shù)y=ax2﹣4x+c的象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)A(﹣4，0).
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)在拋物線上存在點(diǎn)P，滿足S△AOP=8，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;二次函數(shù)象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
分析：(1)把點(diǎn)A原點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答;
(2)根據(jù)三角形的面積公式求出點(diǎn)P到AO的距離，然后分點(diǎn)P在x軸的上方與下方兩種情況解答即可.
解答： 解：(1)由已知條件得 ，
解得 ，
所以，此二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2﹣4x;
(2)∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣4，0)，
∴AO=4，
設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為h，
則S△AOP= ×4h=8，
解得h=4，
?、佼?dāng)點(diǎn)P在x軸上方時，﹣x2﹣4x=4，
解得x=﹣2，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣2，4)，
?、诋?dāng)點(diǎn)P在x軸下方時，﹣x2﹣4x=﹣4，
解得x1=﹣2+2 ，x2=﹣2﹣2 ，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣2+2 ，﹣4)或(﹣2﹣2 ，﹣4)，
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：(﹣2，4)、(﹣2+2 ，﹣4)、(﹣2﹣2 ，﹣4).
點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，(2)要注意分點(diǎn)P在x軸的上方與下方兩種情況討論求解.
24.某校初三年級的一場籃球比賽中，隊員甲正在投籃，已知球出手時離地面高 m，與籃圈中心的水平距離為7m，當(dāng)球出手后水平距離為4m時到達(dá)最大高度4m，設(shè)籃球運(yùn)行的軌跡為拋物線，籃圈距地面3m.
(1)建立的平面直角坐標(biāo)系，問此球能否準(zhǔn)確投中;
(2)此時，若對方隊員乙在甲前面1m處跳起蓋帽攔截，已知乙的最大摸高為3.1m，那么他能否獲得成功?
考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用.
分析：已知最高點(diǎn)坐標(biāo)(4，4)，用頂點(diǎn)式設(shè)二次函數(shù)解析式更方便求解析式，運(yùn)用求出的解析式就可以解決題目的問題了.
解答： 解：(1)根據(jù)題意，球出手點(diǎn)、最高點(diǎn)和籃圈的坐標(biāo)分別為：
A(0， )B(4，4)C(7，3)
設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a(x﹣h)2+k
代入A、B點(diǎn)坐標(biāo)，得
y=﹣ (x﹣4)2+4 ①
將C點(diǎn)坐標(biāo)代入①式得左邊=右邊
即C點(diǎn)在拋物線上
∴一定能投中;
(2)將x=1代入①得y=3
∵3.1>3
∴蓋帽能獲得成功.
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)解析式的求法，及其實(shí)際應(yīng)用.此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題.
25.有一個長為24米的籬笆，一面利用墻(墻的最大長度a為15米)圍成的中間隔有一道籬笆的長方形花圃.設(shè)花圃的寬AB為x米，面積為S平方米.
(1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果要圍成花圃的面積為36平方米，求AB的長為多少米?
(3)如果要使圍成花圃面積最大，求AB的長為多少米?
考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用;一元二次方程的應(yīng)用.
專題：幾何形問題.
分析：(1)可先用籬笆的長表示出BC的長，然后根據(jù)矩形的面積=長×寬，得出S與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)根據(jù)(1)的函數(shù)關(guān)系式，將S=36代入其中，求出x的值即可;
(3)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出自變量取值范圍內(nèi)的最值.
解答： 解：(1)花圃的寬AB為x米，則BC=(24﹣3x)米，
∴S=x(24﹣3x)，
即S=﹣3x 2+24x(3≤x<8);
(2)當(dāng)S=36時，﹣3x2+24x=36，
解得x1=2，x2=6，
當(dāng)x=2時，24﹣3x=18>15，不合題意，舍去;
當(dāng)x=6時，24﹣3x=6<15，符合題意，
故AB的長為6米.
(3)S=﹣3x2+24x=﹣3(x﹣4)2+48，
∵3≤x<8，
∴當(dāng)x=4米時面積最大，最大面積為48平方米.
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)已知條件列出二次函數(shù)式是解題的關(guān)鍵.要注意題中自變量的取值范圍.
26.(14分)某公司為一工廠代銷一種建筑材料(這里的代銷是指廠家先免費(fèi)提供貨源，待貨物售出后再進(jìn)行結(jié)算，未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理).當(dāng)每噸售價為260元時，月銷售量為45噸.該經(jīng)銷店為提高經(jīng)營利潤，準(zhǔn)備采取降價的方式進(jìn)行促銷.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每噸售價每下降10元時，月銷售量就會增加7.5噸.綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費(fèi)用100元.設(shè)每噸材料售價為x(元)，該經(jīng)銷店的月利潤為y(元).
(1)當(dāng)每噸售價是240元時，計算此時的月銷售量;
(2)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出x的取值范圍);
(3)該經(jīng)銷店要獲得最大月利潤，售價應(yīng)定為每噸多少元?
(4)小靜說：“當(dāng)月利潤最大時，月銷售額也最大.”你認(rèn)為 對嗎?請說明理由.
考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用.
專題：壓軸題.
分析：本題屬于市場營銷問題，月利潤=(每噸售價﹣每噸其它費(fèi)用)×銷售量，銷售量與每噸售價的關(guān)系要表達(dá)清楚.再用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最大利潤問題.
解答： 解：(1)由題意得：
45+ ×7.5=60(噸).
(2)由題意：
y=(x﹣100)(45+ ×7.5)，
化簡得：y=﹣ x2+315x﹣24000.
(3)y=﹣ x2+315x﹣24000=﹣ (x﹣210)2+9075.
利達(dá)經(jīng)銷店要獲得最大月利潤，材料的售價應(yīng)定為每噸210元.
(4)我認(rèn)為，小靜說的不對.
理由：方法一：當(dāng)月利潤最大時，x為210元，
而對于月銷售額W=x(45+ ×7.5)=﹣ (x﹣160)2+19200來說，
當(dāng)x為160元時，月銷售額W最大.
∴當(dāng)x為210元時，月銷售額W不是最大.
∴小靜說的不對.
方法二：當(dāng)月利潤最大時，x為210元，此時，月銷售額為17325元;
而當(dāng)x為200元時，月銷售額為18000元.∵17325<18000，
∴當(dāng)月利潤最大時，月銷售額W不是最大.
∴小靜說的不對.
(說明：如果舉出其它反例，說理正確，也可以)
點(diǎn)評：本題考查了把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再對二次函數(shù)進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用.此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題.
27.(14分)①，已知拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(﹣3，0)，與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)M，問在對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△CMP為等腰三角形?若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐 標(biāo);若不存在，請說明理由;
(3)②，若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動點(diǎn)，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點(diǎn)的坐標(biāo).
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.
專題：壓軸題;動點(diǎn)型.
分析：(1)已知拋物線過A、B兩點(diǎn)，可將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式;
(2)可根據(jù)(1)的函數(shù)解析式得出拋物線的對稱軸，也就得出了M點(diǎn)的坐標(biāo)，由于C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，因此C的坐標(biāo)為(0，3)，根據(jù)M、C的坐標(biāo)可求出CM的距離.然后分三種情況進(jìn)行討論：
?、佼?dāng)CP=PM時，P位于CM的垂直平分線上.求P點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)鍵是求P的縱坐標(biāo)，過P作PQ⊥y軸于Q，如果設(shè)PM=CP=x，那么直角三角形CPQ中CP=x，OM的長，可根據(jù)M的坐標(biāo)得出，CQ=3﹣x，因此可根據(jù)勾股定理求出x的值，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)與M的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)為x，由此可得出P的坐標(biāo).
②當(dāng)CM=MP時，根據(jù)CM的長即可求出P的縱坐標(biāo)，也就得出了P的坐標(biāo)(要注意分上下兩點(diǎn)).
?、郛?dāng)CM=CP時，因?yàn)镃的坐標(biāo)為(0，3)，那么直線y=3必垂直平分PM，因此P的縱坐標(biāo)是6，由此可得出P的坐標(biāo);
(3)由于四邊形BOCE不是規(guī)則的四邊形，因此可將四邊形BOCE分割成規(guī)則的形進(jìn)行計算，過E作EF⊥x軸于F，四邊形BOCE的面積=三角形BFE的面積+直角梯形FOCE的面積.直角梯形FOCE中，F(xiàn)O為E的橫坐標(biāo)的絕對值，EF為E的縱坐標(biāo)，已知C的縱坐標(biāo)，就知道了OC的長.在三角形BFE中，BF=BO﹣OF，因此可用E的橫坐標(biāo)表示出BF的長.如果根據(jù)拋物線設(shè)出E的坐標(biāo)，然后代入上面的線段中，即可得出關(guān)于四邊形BOCE的面積與E的橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得四邊形BOCE的最大值及對應(yīng)的E的橫坐標(biāo)的值.即可求出此時E的坐標(biāo).
解答： 解：
(1)∵拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(﹣3，0)，
∴
解得：
∴所求拋物線解析式為：
y=﹣x2﹣2x+3;
(2)∵拋物線解析式為：
y=﹣x2﹣2x+3，
∴其對稱軸為x= =﹣1，
∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1，a)，當(dāng)x=0時，y=3，
∴C(0，3)，M(﹣1，0)
∴當(dāng)CP=PM時，(﹣1)2+(3﹣a)2=a2，解得a= ，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：P1(﹣1， );
∴當(dāng)CM=PM時，(﹣1)2+32=a2，解得a=± ，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：P2(﹣1， )或P3(﹣1，﹣ );
∴當(dāng)CM=CP時，由勾股定理得：(﹣1)2+32=(﹣1)2+(3﹣a)2，解得a=6，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：P4(﹣1，6)
綜上所述存在符合條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為P(﹣1， )或P(﹣1，﹣ )
或P(﹣1，6)或P(﹣1， );
(3)過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)E(a，﹣a2﹣2a+3)(﹣3< a<0)
∴EF=﹣a2﹣2a+3，BF=a+3，OF=﹣a
∴S四邊形BOCE= BF•EF+ (OC+EF)•OF
= (a+3)•(﹣a2﹣2a+3)+ (﹣a2﹣2a+6)•(﹣a)
=
=﹣ +
∴當(dāng)a=﹣ 時，S四邊形BOCE最大，且最大值為 .
此時，點(diǎn)E坐標(biāo)為(﹣ ， ).
點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合知識，要注意的是(2)中，不確定等腰三角形哪條邊是底邊的情況下，要分類進(jìn)行求解，不要漏解.
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