高三數(shù)學(xué)理科上學(xué)期期中試題
對于一些容易的基礎(chǔ)題要有十二分把握拿全分;對于一些難題，也要盡量拿分，考試中要學(xué)會嘗試得分，使自己的水平正常甚至超常發(fā)揮，今天小編就給大家分享一下高三數(shù)學(xué)，僅供參考哦
高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理科
第I卷
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合 ， ,則 是 ( )
A. B. C. D.
2.已知復(fù)數(shù) 滿足 ，則 ( )
A. B. C. D.
3.下列命題中正確的是( )
A.若 ,則
B.若 為真命題,則 也為真命題
C.“函數(shù) 為奇函數(shù)”是“ ”的充分不必要條件
D.命題“若 ,則 ”的否命題為真命題
4.公比不為1的等比數(shù)列 的前 項和為 ，且 ， ， 成等差數(shù)列，若 ，則 = ( )
A. B. C. D.
5.若框圖所給的程序運行結(jié)果為S=20，那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于k的條件是( ).
A.k=9? B.k≤8? C.k<8? D.k>8?
6.函數(shù) 的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是 ( ) ( ).
A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)
7. 如圖，在正方體 中，點 是上底面 內(nèi)一動點，則三棱錐 的正視圖與側(cè)視圖的面積之比為( )
A. : B. :
C. : D. :
8.在平行四邊形 中， 60°， 為 的中點，若 ，則 的長為( )
A. B. C. D.
9.若任取 ，則點 滿足 的概率為( )
A. B. C. D.
10.已知 是圓心在坐標(biāo)原點的單位圓上任意一點，且射線 繞原點逆時針旋轉(zhuǎn) °到 交單位圓于點 ，則 的最大值為( )
A. B.1 C. D.
11.函數(shù)y=x33x-1的圖象大致是 ( )
12.函數(shù) ，當(dāng) 時， 恒成立，則實數(shù) 的取值范圍是 ( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.
13.將 名教師， 名學(xué)生分成 個小組，安排到甲、乙兩地參加活動，每個小組由 名
教師和 名學(xué)生組成，不同的安排方案共有__________種.
14.數(shù)列 的前 項和為 ，若 則 =____________.
15.如果存在實數(shù) 使不等式 成立，則實數(shù)的取值范圍是__________.
16.已知函數(shù) ，給出下列五個說法：
① . ②若 ，則 .③ 在區(qū)間 上單調(diào)遞增. ④將函數(shù) 的圖象向右平移 個單位可得到 的圖象.
⑤ 的圖象關(guān)于點 成中心對稱.其中正確說法的序號是 .
三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步驟
17.(本小題滿分10分)
已知極坐標(biāo)的極點與平面直角坐標(biāo)系的原點重合，極軸與 軸的正半軸重合，且長度單位相同.曲線 的極坐標(biāo)方程為
(Ⅰ)求曲線 的直角坐標(biāo)方程.
(Ⅱ)直線 ( 為參數(shù))與曲線 交于 兩點，于 軸交于點E，求 .
18.(本小題滿分12分)
已知函數(shù) .設(shè) 時 取到最大值.
(Ⅰ)求 的最大值及 的值;
(Ⅱ)在 中，角 所對的邊分別為 ， ，且 ，試判斷三角形的形狀.
19.(本小題滿分12分)某高校自主招生選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個問題，能正確回答問題者進入下一輪考核，否則即被淘汰. 已知某同學(xué)能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為 、 、 ,且各輪問題能否正確回答互不影響.
(Ⅰ)求該同學(xué)被淘汰的概率;
(Ⅱ)該同學(xué)在選拔中回答問題的個數(shù)記為 ，求隨機變量 的分布列與數(shù)學(xué)期望.
20.(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐 中， 底面 ，底面 是直角梯形， ， ， ， 是 的中點。
(Ⅰ)求證：平面 平面 ;
(Ⅱ)若二面角 的余弦值為 ，求直線 與 平面 所成角的正弦值。
21.(本小題滿分12分)已知橢圓C的左、右焦點分別為 ，橢圓的離心率為 ，且橢圓經(jīng)過點 .
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)線段 是橢圓過點 的弦，且 ，求 面積最大時實數(shù) 的值.
22.(本小題滿分12分)設(shè) , .
(Ⅰ)當(dāng) 時,求曲線 在 處的切線的方程;(Ⅱ)如果存在 ,使得 成立,求滿足上述條件的最大整數(shù) ;
(Ⅲ)如果對任意的 ,都有 成立,求實數(shù) 的取值范圍.
參考答案
1-----5 DADAD 6-----10 CACAB 11-----12 CA
13. 12 14. 127 15. 16.①,④
17.【答案】(1) (2)
18.【答案】
又 ，則 ，故當(dāng)
即 時， 6分
(2)由(1)知 ，由 即 ，
又 ，
則 即 ，
故
又 所以三角形為等邊三角形. 12分
19.【答案】(Ⅰ)記“該同學(xué)能正確回答第 輪的問題”的事件為 ，
則 ， ， ，………………3分
∴該同學(xué)被淘汰的概率
.……………………6分
(Ⅱ) 的可能值為1,2,3， ，
， .………………8分
∴ 的分布列為
1 2 3
P
……………………10分
∴ ……………………12分
20【答案】.
解：(Ⅰ) 平面ABCD， 平面ABCD， ，
， ，
，
又 ， 平面PBC，
∵ 平面EAC， 平面 平面PBC ……………6分
(2)以C為原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，-1，0)。
設(shè)P(0，0，a)(a>0)，則E( ， ， )，
， ， ，
取 =(1，-1，0)……………8分
則 ， m為面PAC的法向量
設(shè) 為面EAC的法向量，則 ，
即 ，取 ， ， ，則 ，
依題意， ，則 。于是
設(shè)直線PA與平面EAC所成角為 ，則 ，
即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為 。……………12分
21.【答案】(1) ，又
…………4分
(2)顯然直線 不與 軸重合
當(dāng)直線 與 軸垂直時，| |=3， ， ;………5分
當(dāng)直線 不與 軸垂直時，設(shè)直線 ： 代入橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，
整理，得
……………7分
令
所以 由上，得
所以當(dāng)直線 與 軸垂直時 最大，且最大面積為3 ……………10分
所以， ………………12分
22【答案】(1)當(dāng) 時, , ,
, , 所以曲線 在 處的切線方程為 ; 2分
(2)存在 ,使得 成立 等價于: , 考察 , ,
遞減 極小值 遞增
由上表可知: ,
,
所以滿足條件的最大整數(shù) ; 7分
(3)當(dāng) 時, 恒成立等價于 恒成立,
∴f(x)的最大值是0, 最小值是 .………………12分
關(guān)于高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.請把答案填涂在答題紙的相應(yīng)位置.
1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 對應(yīng)的點位于 ( )
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
2.已知集合 ， ，則 ( )
A.{x|10
3.已知sin2α=- ，α∈(- ，0)，則sinα+cosα=( )
A.- B. C.- D.
4.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng) 時，f(x)=x (e為自然對數(shù)的底數(shù))，則 的值為 ( )
A.ln6+6 B. ln6-6 C. -ln6+6 D.-ln6-6
5.已知向量 ， ，則a與b夾角的余弦值為( )
A. B. C. D.
6.執(zhí)行右圖所示的程序框圖，會輸出一列數(shù)，則這
個數(shù)列的第3項是 ( )
A.870
B.30
C.6
D.3
7.函數(shù) 的圖象向左平移 個單位后關(guān)于原點對稱，則函數(shù)f(x)在 上的最小值為( )
A. B. C. D.
8.某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值是( )
A.2 B.
C. D.3
9. 已知數(shù)列 為等差數(shù)列， 為等比數(shù)列，且滿足： ， ，則 ( )
A.1 B. C. D.
10.如圖，把周長為1的圓的圓心C放在y軸上，頂點A(0，1)，一動點M從A開始逆時針繞圓運動一周，記弧AM=x，直線AM與x軸交于點N(t，0)，則函數(shù) 的圖像大致為( )
11.已知函數(shù) 若 互不相等，且 ，則 的取值范圍是( )
A.(1，2014) B.(1，2015) C.(2，2015) D.[2，2015]
12. 已知定義的R上的函數(shù) 滿足 且在 上是增函數(shù)，不等式 對任意 恒成立，則實數(shù) 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
第II卷(共90分)
二、填空題:本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.請把答案填在答題紙的相應(yīng)位置.
13.已知 ，則 的值為
14. 圖中陰影部分的面積等于 .
15.設(shè)正實數(shù)x、y、z滿足 ，則當(dāng) 取得最大值時， 的最大值為
16.設(shè) 是定義在R上的偶函數(shù)，且對于 恒有 ，已知當(dāng) 時， 則
(1) 的周期是2; (2) 在(1，2)上遞減，在(2，3)上遞增;
(3) 的最大值是1，最小值是0;(4)當(dāng) 時，
其中正確的命題的序號是 .
三、解答題:本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù)
(1)求 的最大值，并寫出使 取最大值時x的集合;
(2)已知 中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若 ，求a的最小值.
18.(本小題滿分12分)
已知數(shù)列 的前 項和為 ， .
(1)求數(shù)列 的通項公式;
(2)設(shè) ， = ，記數(shù)列 的前 項和 .若對 ，
恒成立，求實數(shù) 的取值范圍.
19.(本小題滿分12分)
如圖，在斜三棱柱 中， 是 的中點， ⊥平面 ， ， .
(Ⅰ)求證： ;
(Ⅱ)求二面角 的余弦值.
20.(本小題滿分12分)
設(shè)橢圓 的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，右頂點為A，上頂點為B.已知|AB|=32|F1F2|.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點的一點，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點F1，經(jīng)過原點O的直線l與該圓相切，求直線l的斜率.
21. (本小題滿分12分)
已知函數(shù) ， ， 是常數(shù).
(1)求函數(shù) 的圖象在點 處的切線方程;
(2)若函數(shù) 圖象上的點都在第一象限，試求常數(shù) 的取值范圍;
(3)證明： ，存在 ，使 .
請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第22題計分.
22.(本小題滿分10分)
選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知圓上的 ，過C點的圓的切
線與BA的延長線交于E點.
(Ⅰ)求證：∠ACE=∠BCD;
(Ⅱ)若BE=9，CD=1，求BC的長.
23.(本小題滿分10分)
選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線l： (t為參數(shù))恒經(jīng)過橢圓C： (為參數(shù))的右焦點F.
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點，求|FA|•|FB|的最大值與最小值.
24. (本小題滿分10分)
已知函數(shù)
(1)求不等式 的解集;
(2)若關(guān)于x的不等式 的解集非空，求實數(shù) 的取值范圍.
高三理科數(shù)學(xué)參考答案
的最大值為 ………………………………………4分
要使 取最大值，
故 的集合為 ………6分
(2)由題意， ，即
化簡得 ……………………………………………………8分
， ，只有 ， ………9分
在 中，由余弦定理， ………10分
由 知 ，即 ，………………………………11分
當(dāng) 時， 取最小值 …………………………………12分
18.解： (1)當(dāng) 時， ，當(dāng) 時，
即： ， 數(shù)列 為以2為公比的等比數(shù)列
(2)由bn=log2an得bn=log22n=n，則cn= = = - ，
Tn=1- + - +…+ - =1- = .
∵ ≤k(n+4)，∴k≥ = .
∵n+ +5≥2 +5=9，當(dāng)且僅當(dāng)n= ，即n=2時等號成立，
∴ ≤ ，因此k≥ ，故實數(shù)k的取值范圍為
19.(Ⅰ)因為 ⊥平面 ，所以 .又 ，
所以 平面 ，所以 .
因為 ，所以四邊形 是菱形，所以 .
所以 平面 ，所以 . ……………………5分
(Ⅱ)以 為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ，
則 ， ， ， .
， ，
設(shè) 是面 的一個法向量，則 ，
即 ，令 ，取 .
同理面 的一個法向量為 . ……………………10分
因為 .
所以二面角 的余弦值 . …………………………12分
20. 解：(1)設(shè)橢圓右焦點F2的坐標(biāo)為(c，0).
由|AB|=32|F1F2|，可得a2+b2=3c2. 又b2=a2-c2，則c2a2=12，
所以橢圓的離心率e=22. 4分
(2)由(1)知a2=2c2，b2=c2. 故橢圓方程為x22c2+y2c2=1.
設(shè)P(x0，y0).由F1(-c，0)，B(0，c)，有F1P→=(x0+c，y0)，F(xiàn)1B→=(c，c).
由已知，有F1P→•F1B→=0，即(x0+c)c+y0c=0. 又c≠0，故有x0+y0+c=0.①
又因為點P在橢圓上， 所以x202c2+y20c2=1.②
由①和②可得3x20+4cx0=0.而點P不是橢圓的頂點，故x0=-43c.代入①得y0=c3，
即點P的坐標(biāo)為-4c3，c3.
設(shè)圓的圓心為T(x1，y1)，則x1=-43c+02=-23c，y1=c3+c2=23c，進而圓的半徑r=(x1-0)2+(y1-c)2=53c.
設(shè)直線l的斜率為k，依題意，直線l的方程為y=kx.由l與圓相切，可得|kx1-y1|k2+1=r，即k-2c3-2c3k2+1=53c，整理得k2-8k+1=0，解得k=4±15，
所以直線l的斜率為4+15或4-15.
21解：(1)函數(shù)的定義域為 ,
，
函數(shù) 的圖象在點 處的切線為 ，
即 …………………………4分
(2)① 時， ，因為 ，所以點 在第一象限，依題意，
?、?時，由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)知， 時， ， ，從而“ ， ”不成立
③ 時，由 得 ，設(shè) ，
-
↘ 極小值 ↗
，從而 ，
綜上所述，常數(shù) 的取值范圍 …………………………8分
(3)計算知
設(shè)函數(shù)
，
當(dāng) 或 時，
，
因為 的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，所以存在 ，使 ，即 ，使 ;
當(dāng) 時， 、 ，而且 、 之中至少一個為正，由均值不等式知， ，等號當(dāng)且僅當(dāng) 時成立，所以 有最小值 ，且
，
此時存在 ( 或 )，使
綜上所述， ，存在 ，使 ………………12分
(22)解：(Ⅰ) .………………(2分)
又 為圓的切線， .……………(5分)
(Ⅱ) 為圓的切線，∴ ，
由(Ⅰ)可得 ，……………………………………(7分)
∴△ ∽△ ，∴ ，∴ =3.……………………(10分)
解：(Ⅰ)橢圓的參數(shù)方程化為普通方程，得 ，
則點 的坐標(biāo)為 .
直線 經(jīng)過點 .…………………………………(4分)
(Ⅱ)將直線 的參數(shù)方程代入橢圓 的普通方程，并整理得：
.
設(shè)點 在直線參數(shù)方程中對應(yīng)的參數(shù)分別為 ，則
= ………………(8分)
當(dāng) 時， 取最大值 ;
當(dāng) 時， 取最小值 ………………………(10分)
24. (Ⅰ)原不等式等價于
或 ----3分
關(guān)于高三數(shù)學(xué)上期中質(zhì)量檢測
1、已知集合 ， ，則
A. B. C. D.
2、函數(shù) 的值域為
A. B. C. D.
3、已知函數(shù) 為奇函數(shù)，且當(dāng) 時， ，則
A.1 B.2 C. D.
4、函數(shù)y=x3-2ax+a在(0,1)內(nèi)有極小值，則實數(shù)a的取值范圍是
A.0，32 B. (0,3) C.(0，+∞) D.(-∞，3)
5、已知函數(shù) 的圖像與x軸恰有兩個公共點，則
A. 或1 B. 或3 C. 或1 D. 或2
6、下列函數(shù)中，圖像的一部分如右圖所示的是
A. B.
C. D.
7、在 中， ， ，則 的值為
A. B. C. D.
8、設(shè)函數(shù) ，曲線 在點 處的切線方程為 ，則曲線 在點 處切線的斜率是
A.4 B. C.2 D.
9、已知非零向量 則△ABC的形狀是
A.等邊三角形 B.直角三角形
C.等腰(非等邊)三角形 D.三邊均不相等的三角形
10、已知等比數(shù)列{ }中， 等差數(shù)列 中， ，則數(shù)列 的前9項和 等于
A. 9 B. 18 C. 36 D. 72
11、已知數(shù)列{ }的首項 ， ，則下列結(jié)論正確的是
A.數(shù)列{ }是等比數(shù)列 B.數(shù)列 是等比數(shù)列
C.數(shù)列{ }是等差數(shù)列 D.數(shù)列 是等差數(shù)列
12、若函數(shù) 沒有零點，則 的取值范圍是
A. B. C. D.
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡上)
13、冪函數(shù) 的圖象經(jīng)過點 ，則
14、一輛汽車在行駛中由于遇到緊急情況而剎車，以速度 ( 的單位： ， 的單位：m/s)行駛至停止，在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離(單位：m)是 .
15、已知正方形 的邊長為2， 為 的中點，則
16、已知定義在 上的函數(shù) 滿足 ，且 ，
，若有窮數(shù)列 ( )的前 項和等于 ，則n =
高三數(shù)學(xué)(理)答題卷
一、將選擇題答案填在下面表格中(每小題5分，共60分)
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空題(每小題5分，共20分)
13、 14、 15、 16、
三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、演算過程。)
17、(本小題滿分10分)在△ABC中，a, b, c分別為內(nèi)角A, B, C的對邊， 的面積是30， 。
(1)求 ; (2) 若 ，求 的值。
18、(本小題滿分12分)已知向量
(1)當(dāng) 時，求 的值;
(2)求 在 上的值域.
19、(本小題滿分12分)已知等差數(shù)列 滿足： ， ， 的前n項和為 .
(1)求 及 ; (2)令bn= (n N*)，求數(shù)列 的前n項和 .
20、(本小題滿分12分)某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量 (單位：千克)與銷售價格 (單位：元/千克)滿足關(guān)系式 ，其中 ， 為常數(shù)，已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克。
(1)求 的值;
(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格 的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大。
21、(本小題滿分12分)設(shè) ，且曲線y=f(x)在x=1處的切線與x軸平行。
(1)求a的值，并討論f(x)的單調(diào)性;
(2)證明：當(dāng)
22、(本小題滿分12分)已知函數(shù) 。
(1)若 ，求 的取值范圍。
(2)證明：
高三數(shù)學(xué)(理)試卷答案
一、選擇題：
題 號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答 案 B D C A D D D A A B B D
二. 填空題：
13、2; 14、4+25ln5 15、2; 16、5
三. 解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、演算過程)
17、(12分)
解：由 ，得 .又 ，∴ .
(1) .
(2) ，
∴ .
18、解(1) ，∴ ，∴
(5分)
(2)
∵ ，∴ ，∴
∴ ∴函數(shù) (10分)
19、(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列 的公差為d，因為 ， ，所以有 ，解得 ，所以 ; = = 。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ，所以bn= = = ，
所以 = = ，
20、(12分)解：(1)因為x=5時，y=11，所以
21.解：(Ⅰ) .有條件知，
，故 . ………2分
于是 .
故當(dāng) 時， <0;
當(dāng) 時， >0.
從而 在 ， 單調(diào)遞減，在 單調(diào)遞增. ………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 在 單調(diào)增加，故 在 的最大值為 ，
最小值為 .
從而對任意 ， ，有 . ………10分
而當(dāng) 時， .
從而 ………12分
22、(12分)(1)∵ ∴
∵ ∴
令 ，則 從而
∴ ∴
(2)由(1)知 即
當(dāng) 時， ∴
當(dāng) 時，
∴
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