高三數(shù)學(xué)理科上學(xué)期期中題
學(xué)好數(shù)學(xué)剛開始要從基礎(chǔ)題入手，以課本上的習(xí)題為準(zhǔn)，反復(fù)練習(xí)打好基礎(chǔ)，再找一些課外的習(xí)題，以幫助開拓思路，今天小編就給大家分享一下高三數(shù)學(xué)，一起來閱讀哦
高三數(shù)學(xué)理科上學(xué)期期中試卷
一、選擇題：每小題5分，共60分，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.若集合 ， ， 表示實(shí)數(shù)集，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是(***)
A. B. C. D.
2.設(shè)復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，若 ，則 等于(***)
A.4i B.﹣4i C.2 D.﹣2
3.設(shè)P、M、N是單位圓上不相同的三點(diǎn)，且滿足 ，則 的最小值是(***)A. B. C. D.﹣1
4.某地一天 時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù) ，則這段曲線的函數(shù)解析式可以為(***)
A.
B.
C.
D.
5.函數(shù) 的圖象大致是(***)
A. B.
C. D.
6.命題： ;命題 ，則下列命題中的假命題為(***)
A. B. C. D.
7.設(shè) 滿足 ，若函數(shù) 的最大值為 ，則 的值為(***)
A. B. C. D.
8.若 ( )的圖像在 上恰有3個(gè)最高點(diǎn)，則 的范圍為(***)
A. B. C. D.
9.圖1所示，一棱長為2的正方體被削去一個(gè)角后所得到的幾何體的直觀圖，其中 ， ，若此幾何體的俯視圖如圖2所示，則可以作為其正視圖的是(***)
A. B. C. D.
10.已知棱長為 的正方體 內(nèi)部有一圓柱，此圓柱恰好以直線 為軸，則該圓柱側(cè)面積的最大值為(***)
A. B. C. D.
11.已知函數(shù) 與 的圖象有三個(gè)不同的公共點(diǎn),其中 為自然對數(shù)的底數(shù),則實(shí)數(shù) 的取值范圍為(***)
A. B. C. D. 或
12.記 為 中的最小值，設(shè) 為任意正實(shí)數(shù)，則 的最大值為(***)
A. B. 2 C. D.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13.如圖所示，在邊長為1的正方形 中任取一點(diǎn) ，
則點(diǎn) 恰好取自陰影部分的概率為 .
14.向量 滿足： ， ， 在 上的投影為4， ，則 的最大值為 .
15.數(shù)列 且 ,若 為數(shù)列 的前 項(xiàng)和,則 .
16.已知函數(shù) 滿足 ，函數(shù) ，若曲線 與 圖象的交點(diǎn)分別為 、 、…、 ，則 (結(jié)果用含有 的式子表示).
三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. (12分)已知等差數(shù)列 的公差為 ，且關(guān)于 的不等式 的解集為 ，
(Ⅰ)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)若 ，求數(shù)列 前 項(xiàng)和 .
18. (12分)如圖，在 中，內(nèi)角 的對邊分別為 ，且 .
(Ⅰ)求角 的大小;
(Ⅱ)若 ， 邊上的中線 的
長為 ，求 的面積.
19. (10分)已知函數(shù) .
(Ⅰ)解不等式： ;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù) 的最小值為c，實(shí)數(shù)a，b滿足 ，
求證： .
20. (12分)四棱錐 的底面 為直角梯形， ， ， ， ， ， 為正三角形.
(Ⅰ)點(diǎn) 為棱 上一點(diǎn)，若 平面 ， ，求實(shí)數(shù) 的值;
(Ⅱ)若 ，求二面角 的余弦值.
21. (12分)已知圓 和圓 .
(Ⅰ)若直線 過點(diǎn) 且被圓 截得的弦長為 ，求直線 的方程;
(Ⅱ)設(shè)平面上的點(diǎn) 滿足：存在過點(diǎn) 的無窮多對互相垂直的直線 和 ，它們分別與圓 和圓 相交，且直線 被圓 截得的弦長與直線 被圓 截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點(diǎn) 的坐標(biāo)。
22. (12分)已知函數(shù) 在點(diǎn) 處的切線方程為： .
(Ⅰ)若 ，證明： ;
(Ⅱ)若方程 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 ， ，且 ，證明： .
高三理科數(shù)學(xué)答案
一、選擇題：
1-12 CDBAD DACAC BD
二、填空題：
13. 14. 15. 16.
三、解答題：
17. 解：(1)由題意，得 解得 ┄┄┄┄┄┄4分
故數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 ，即 .┄┄┄┄┄┄6分
(2)據(jù)(1)求解知 ，所以 ，┄┄┄┄┄┄8分
所以
┄┄┄┄┄┄12分
18解析：由 .
正弦定理，可得
即
可得：
則 …………………(6分)
(2)由(1)可知 .
則 .
設(shè) ，則 ，
在 中利用余弦定理：可得.
即 ，可得 ，
故得 的面積 .…………………(12分)
19.解：①當(dāng) 時(shí)，不等式可化為 ， .
又∵ ，∴ ∅;
②當(dāng) 時(shí)，不等式可化為 ， .
又∵ ，∴ .
?、郛?dāng) 時(shí)，不等式可化為 ， .
又∵ ，∴ .
綜上所得， .
∴原不等式的解集為 .…………………(5分)
(Ⅱ)證明：由絕對值不等式性質(zhì)得， ，
∴ ，即 .
令 ， ，則 ， ， ， ，
，
原不等式得證.…………………(10分)
20. 解析：(1)因?yàn)?平面SDM， 平面ABCD，平面SDM 平面ABCD=DM，
所以 ，因?yàn)?,所以四邊形BCDM為平行四邊形，
又 ,所以M為AB的三等分點(diǎn).因?yàn)?， . 4分
(2)因?yàn)?， ，所以 平面 ，
又因?yàn)?平面 ，所以平面 平面 ，
平面 平面 ，
在平面 內(nèi)過點(diǎn) 作 直線 于點(diǎn) ，
則 平面 ， 在 和 中，
因?yàn)?，所以 ，
又由題知 ，所以
所以 ， 6分
以下建系求解.
以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA方向?yàn)閄軸，EC方向?yàn)閅軸，ES方向?yàn)閆軸建立如圖所示空間坐標(biāo)系，則 ， ， ， ， ，
， ， ， ，
設(shè)平面 的法向量 ，則 ，所以 ，令 得 為平面 的一個(gè)法向量，
同理得 為平面 的一個(gè)法向量， 9分
， 10分 因?yàn)槎娼?為鈍角，11分
所以二面角 余弦值為 . 12分
21. 解：(1)設(shè)直線 的方程為： ，即
由垂徑定理，得：圓心 到直線 的距離 ，
點(diǎn)到直線距離公式，得：
求直線 的方程為： 或 ，
即 或 4分
(2) 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為 ，直線 、 的方程分別為：
，即：
因?yàn)橹本€ 被圓 截得的弦長與直線 被圓 截得的弦長相等，兩圓半徑相等。由
垂徑定理，得：：圓心 到直線 與 直線 的距離相等。
故有： ，
化簡得：
關(guān)于 的方程有無窮多解，有： ,或
解之得：點(diǎn)P坐標(biāo)為 或 。 12分
22. 解：(Ⅰ)由題意 ，所以 ，
又 ，所以 ，源
若 ，則 ，與 矛盾，故 ， . 3分
可知 ， ，
由 ，可得 ，
令 ， ，
當(dāng) 時(shí)， ，
當(dāng) 時(shí)，設(shè) ， ，
故函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，又 ，
所以當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ，
所以函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，在區(qū)間 上單調(diào)遞增，
故 ，即 故 . 6分
(Ⅱ)設(shè) 在(-1，0)處的切線方程為 ，
易得， ，令
即 ， ，
當(dāng) 時(shí)，
當(dāng) 時(shí)，設(shè) ， ，
故函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，又 ，
所以當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ，
所以函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，在區(qū)間 上單調(diào)遞增，
故 ， ，
設(shè) 的根為 ，則 ，
又函數(shù) 單調(diào)遞減，故 ，故 ，
設(shè) 在(0,0)處的切線方程為 ，易得 ，
由(Ⅱ)得 ，
設(shè) 的根為 ，則 ，
又函數(shù) 單調(diào)遞增，故 ，故 ，
又 ， . 12分
高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試卷閱讀
第Ⅰ卷(共40分)
一、選擇題：本大題共8個(gè)小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合 ， ，則 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先把集合A解出來，然后求A∪B即可.
【詳解】因?yàn)榧虾?，
所以 ，
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集，屬于基礎(chǔ)題.
2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為( )
A. -10 B. -2 C. 2 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量S的值，模擬程序的運(yùn)行過程，可得答案.
【詳解】模擬程序的運(yùn)行過程，第一次運(yùn)行： ，
第二次運(yùn)行：
第三次運(yùn)行：
第四次運(yùn)行：
此時(shí) ，推出循環(huán)，輸出輸出 .
故選C.
【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題.
3.設(shè)平面向量 ， ， ， ，則實(shí)數(shù) 的值等于( )
A. B. C. 0 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與共線定理，列方程求出k的值.
【詳解】向量 ， ，，
∴
=
故選A.
【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與共線定理的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.
4.已知 ，則下列不等關(guān)系中正確的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用指函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論.
【詳解】A. ，顯然不成立;
B. 錯(cuò)誤，因?yàn)楹瘮?shù) 在 上為增函數(shù)，由 ，可得 ;
同理C. ，因?yàn)楹瘮?shù) 在 上為增函數(shù)，由 ，可得 ;
D. ，正確，因?yàn)楹瘮?shù) 在 上為減函數(shù)，由 ，可得 ;
故選D.
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.
5.“ ”是“ ”的( )
A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】
觀察兩條件的互推性即可求解.
【詳解】由“ ”可得到“ ”，但“ ”不一定得到“ ”，
故“ ”是“ ”的充分而不必要條件.
故応A.
6.已知函數(shù) ，若 ( )，則 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由 ，可知 由 可得
根據(jù)基本不等式可求 的取值范圍.
【詳解】 若 由 ，則 與 矛盾;同理 也可導(dǎo)出矛盾，故 而
即
故選B
【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)以及基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題.
7.已知函數(shù) 當(dāng) 時(shí)，方程 的根的個(gè)數(shù)為( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
畫出函數(shù) 的圖像，由圖像可得結(jié)論.
【詳解】畫出函數(shù) 的圖像，
有圖可知方程 的根的個(gè)數(shù)為3個(gè).
故選C.
【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)、方程的根等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，考查利用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力，是中檔題.
8.將正奇數(shù)數(shù)列1,3,4,5,7,9，…依次按兩項(xiàng)、三項(xiàng)分組，得到分組序列如下： ， ， ， ，…，稱 為第1組， 為第2組，依此類推，則原數(shù)列中的2019位于分組序列中( )
A. 第404組 B. 第405組 C. 第808組 D. 第809組
【答案】A
【解析】
【分析】
求出2019為第1010個(gè)證奇數(shù)，根據(jù)富足規(guī)則可得答案.
【詳解】正奇數(shù)數(shù)列1,3,4,5,7,9，的通項(xiàng)公式為 則2019為第1010個(gè)奇數(shù)，因?yàn)榘磧身?xiàng)、三項(xiàng)分組，故按5個(gè)一組分組是有202組，故原數(shù)列中的2019位于分組序列中第404組
選A.
【點(diǎn)睛】本題考查閨女是推理，屬中檔題.
第Ⅱ卷(共110分)
二、填空題(每題5分，滿分30分，將答案填在答題紙上)
9.已知 ， ，則 _________， __________.
【答案】 (1). (2). --
【解析】
【分析】
利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式可解.
【詳解】由題 ， ，則
即答案為(1). (2).
【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式，屬基礎(chǔ)題.
10.已知 ， 滿足 則 的最大值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】
作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的△ABC及其內(nèi)部，再將目標(biāo)函數(shù)z=x+2y對應(yīng)的直線進(jìn)行平移，可得當(dāng)x=3，y=1時(shí)，z=x+2y取得最大值為5.
【詳解】 作出不等式組 表示的平面區(qū)域，
得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，其中A(1，1)，B(-2，-2)，C(4，-2)
設(shè)z= x+2y，將直線l：z=x+2y進(jìn)行平移，
當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最大值
∴z最大值= 3
故答案為：3
【點(diǎn)睛】本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.
11.已知函數(shù) 滿足下列條件：
①定義域?yàn)?;
?、诤瘮?shù) 在 上單調(diào)遞增;
③函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù) 有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
寫出函數(shù) 的一個(gè)表達(dá)式__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用已知條件，直接推出結(jié)果即可.
【詳解】①定義域?yàn)?;
?、诤瘮?shù) 在 上單調(diào)遞增;
?、酆瘮?shù) 的導(dǎo)函數(shù) 有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
滿足條件一個(gè)函數(shù)可以為： .或 +2等等.
故答案為： .(答案不唯一)
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的解析式的求法，考查判斷能力.
12.如圖，在平行四邊形 中， ， 分別為邊 ， 的中點(diǎn)，連接 ， ，交于點(diǎn) ，若 (， )，則 __________.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)平行線分線段成比例解答即可.
【詳解】 根據(jù)平行線分線段成比例可得 而
故
即答案為 .
【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，屬中檔題.
13.海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生的漲落現(xiàn)象叫潮.港口的水深會(huì)隨潮的變化而變化.某港口水的深度 (單位：米)是時(shí)刻( ，單位：小時(shí))的函數(shù)，記作 .下面是該港口某日水深的數(shù)據(jù)：
0 3 6 9 12 15 18 21 24
8.0 11.0 7.9 5.0 8.0 11.0 8.0 5.0 8.0
經(jīng)長期觀察，曲線 可近似地看成函數(shù) ( ， )的圖象，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，函數(shù) 的近似表達(dá)式為__________.
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)出函數(shù)解析式，據(jù)最大值與最小值的差的一半為A;最大值與最小值和的一半為h;通過周期求出ω，得到函數(shù)解析式.
【詳解】根據(jù)已知數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)可以得出A=3，b=8，T=12，φ=0，
由 ，得ω= ，所以函數(shù) 的近似表達(dá)式
即答案為
【點(diǎn)睛】本題考查通過待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、屬基礎(chǔ)題.
14.從標(biāo)有數(shù)字， ，， ( ，且， ，， )的四個(gè)小球中任選兩個(gè)不同的小球，將其上的數(shù)字相加，可得4種不同的結(jié)果;將其上的數(shù)字相乘，可得3種不同的結(jié)果，那么這4個(gè)小球上的不同的數(shù)字恰好有__________個(gè);試寫出滿足條件的所有組， ，， __________.
【答案】 (1). 3 (2). 1,2,2,4;1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9
【解析】
【分析】
由 ，且個(gè)小球中任選兩個(gè)不同的小球，將其上的數(shù)字相加，可得4種不同的結(jié)果;將其上的數(shù)字相乘，可得3種不同的結(jié)果，則必有兩個(gè)數(shù)字相等，分析可得
4個(gè)小球上的不同的數(shù)字恰好有3個(gè)，在逐一分析可得滿足條件的所有組， ，， .
【詳解】由 ，且個(gè)小球中任選兩個(gè)不同的小球，將其上的數(shù)字相加，可得4種不同的結(jié)果;將其上的數(shù)字相乘，可得3種不同的結(jié)果，則必有兩個(gè)數(shù)字相等，分析可得
4個(gè)小球上的不同的數(shù)字恰好有3個(gè)，若兩個(gè)相等的數(shù)為1，如1，1,2，4，則四個(gè)小球中任選兩個(gè)不同的小球，將其上的數(shù)字相加，可得3種不同的結(jié)果，不符合題意，若若兩個(gè)相等的數(shù)為2，則符合題意的為1,2,2,4;推理可得1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9符合題意.
即答案(1). 3 (2). 1,2,2,4;1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9
【點(diǎn)睛】本題考查歸納推理，屬難題.
三、解答題 (本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
15.設(shè) ( )是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且 ， .
(I)求 的通項(xiàng)公式;
(II)若 ，求 .
【答案】(I) ， .
(II)
【解析】
【分析】
(I)設(shè) 為首項(xiàng)為 ，公比為 ( )，則依題意，
，解得 ， ，即可得到 的通項(xiàng)公式;
(II)因?yàn)?，利用分組求和法即可得到 .
【詳解】(I)設(shè) 為首項(xiàng)為 ，公比為 ( )，則依題意，
，解得 ， ，
所以 的通項(xiàng)公式為 ， .
(II)因?yàn)?，
所以
【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的基本量計(jì)算，以及分組求和法屬基礎(chǔ)題.
16.已知函數(shù) .
(I)求 的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;
(II)若對任意 ， ( 為實(shí)數(shù))恒成立，求 的最小值.
【答案】(I)最小正周期為 ,單調(diào)遞增區(qū)間為 ， .
(II) 的最小值為2
【解析】
【分析】
(I)根據(jù)二倍角公式及輔助角公式求得f(x)的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得f(x)的最小正周期及其單調(diào)遞增區(qū)間;
II)由 .可得 .由此可求 的最小值.
【詳解】(I)由已知可得
.
所以最小正周期為 .
令 ， .
所以 ，
所以 ，即單調(diào)遞增區(qū)間為 ， .
(II)因?yàn)?.
所以 ，
則 ，
所以 ，
當(dāng) ，即 時(shí)， .
因?yàn)?恒成立，所以 ，所以 的最小值為2
【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.
17.在 中，角 ， ， 的對邊分別為， ，， ， ， .
(I)求;
(II)求 的面積.
【答案】證明見解析
(II)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得 .，利用正弦定理可求;;
(II)在 中，由 知 為鈍角，所以 .利用 ，可求 求 的面積.
【詳解】證明：(I)因?yàn)?，即 ，
又 ， 為鈍角，所以 .
由 ，即 ，解得 .
(II)在 中，由 知 為鈍角，所以 .
，
所以
所以
【點(diǎn)睛】此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵.
18.已知函數(shù) ( )
(I)當(dāng) 時(shí)，求 在區(qū)間 上的最大值和最小值;
(II)求證：“ ”的“函數(shù) 有唯一零點(diǎn)”的充分而不必要條件.
【答案】(I) ; .
(II)“ ”是“ 有唯一零點(diǎn)”的充分不必要條件
【解析】
【分析】
(Ⅰ)先求導(dǎo)，再由導(dǎo)函數(shù)為0，求出極值，列表解得即可;
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)分類討論，分別利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系以及充分不必要條件的定義即可證明.
【詳解】(I) ，
當(dāng) 時(shí)， ，
當(dāng) 在 內(nèi)變化時(shí)， ， 的變化如下表：
-1 0 1 2
+ 0 - 0 +
-4 ↗ 極大值1 ↘ 極小值0 ↗ 5
當(dāng) 時(shí)， ; .
(II)若 ， .
當(dāng) 變化時(shí)， ， 的變化如下表：
0
+ 0 - 0 +
↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
，因?yàn)?，所以 .即 .
且 ，所以 有唯一零點(diǎn).
所以“ ”是“ 有唯一零點(diǎn)”的充分條件.
又 時(shí)，當(dāng) 變化時(shí)， ， 的變化如下表：
0
- 0 + 0 -
↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘
又 ， ， .
所以此時(shí) 也有唯一零點(diǎn).
從而“ ”是“ 有唯一零點(diǎn)”的充分不必要條件
【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值和零點(diǎn)的關(guān)系，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于難題.
19.已知函數(shù) ( ).
(I)求曲線 在點(diǎn) 處的切線方程;
(II)試判斷函數(shù) 的單調(diào)性并證明;
(III)若函數(shù) 在 處取得極大值，記函數(shù) 的極小值為 ，試求 的最大值.
【答案】(I) .
(II)函數(shù) 在 和 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減.
(III)函數(shù) 的最大值為 .
【解析】
【分析】
函數(shù) 的定義域?yàn)?，且 .
(I)易知 ， ，代入點(diǎn)斜式即可得到曲線 在點(diǎn) 處的切線方程;
(II)令 ，得 ， ，分類討論可得函數(shù) 的單調(diào)性，
(III)由(II)可知，要使 是函數(shù) 的極大值點(diǎn)，需滿足 .
此時(shí)，函數(shù) 的極小值為 .，利用導(dǎo)數(shù)可求 的最大值.
【詳解】函數(shù) 的定義域?yàn)?，
且 .
(I)易知 ，
所以曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為 .
即 .
(II)令 ，得 ，
①當(dāng) 時(shí)， .
當(dāng) 變化時(shí)， ， 變化情況如下表：
1
+ 0 - 0 +
↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
所以函數(shù) 在 和 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減.
?、诋?dāng) 時(shí)， 恒成立.
所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞增.
?、郛?dāng) 時(shí)， .
當(dāng) 變化時(shí)， ， 變化情況如下表：
1
+ 0 - 0 +
↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
所以函數(shù) 在 和 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減.
(III)由(II)可知，要使 是函數(shù) 的極大值點(diǎn)，需滿足 .
此時(shí)，函數(shù) 的極小值為 .
所以 .
令 得 .
當(dāng)變化時(shí)， ， 變化情況如下表：
+ 0 -
↗ 極大值 ↘
所以函數(shù) 的最大值為 .
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及切線方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.
20.設(shè) ， 為正整數(shù)，一個(gè)正整數(shù)數(shù)列 ， ，…， 滿足 ，對 ，定義集合 ，數(shù)列 ， ，…， 中的 ( )是集合 中元素的個(gè)數(shù).
(I)若數(shù)列 ， ，…， 為5,3,3,2,1,1，寫出數(shù)列 ， ，…， ;
(II)若 ， ， ， ，…， 為公比為 的等比數(shù)列，求 ;
(III)對 ，定義集合 ，令 是集合 中元素的個(gè)數(shù).求證：對 ，均有 .
【答案】(I)數(shù)列 ， ，…， 是6,4,3,1,1.
(II)
(III) ，
【解析】
【分析】
(I)根據(jù)數(shù)列 ， ，…， 數(shù)列 ， ，…， 是6,4,3,1,1.
(II)由題知 ，由于數(shù)列 ， ，…， 是 項(xiàng)的等比數(shù)列，
因此數(shù)列 ， ，…， 為 ， ，…，2，利用反證法證明 ;
(III)對 ， 表示 ， ，…， 中大于等于的個(gè)數(shù)，首先證明 .再證對 ， 即可.
【詳解】(I)解：數(shù)列 ， ，…， 是6,4,3,1,1.
(II)由題知 ，由于數(shù)列 ， ，…， 是 項(xiàng)的等比數(shù)列，
因此數(shù)列 ， ，…， 為 ， ，…，2
下面證明
假設(shè)數(shù)列 中有 個(gè) ， 個(gè) ，…， 個(gè)2， 個(gè)1，顯然
所以 .
由題意可得 ， ，
，…， ，…， .
所以
故
即
(III)對 ， 表示 ， ，…， 中大于等于的個(gè)數(shù)
由已知得 ， ，…， 一共有 項(xiàng)，每一項(xiàng)都大于等于1，故 ，由于
故
由于 ，故當(dāng) 時(shí)，
即 .
接下來證明對 ，
，則 ，即1,2，…， ，從而
故 ，
從而1,2，…， ，故 ，從而 ，故有
設(shè) ，即 ，根據(jù)集合 的定義，有 .
由 知，1,2，…， ，由 的定義可得 ，
而由 ，故
因此，對 ，
【點(diǎn)睛】本題考查新定義數(shù)列的理解與求法，考查不等式的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意反證法的合理運(yùn)用.屬難題.
理科高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題
第I卷 共60分
一、選擇題：本大題有12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.
1.設(shè)集合 A={x|x2-3x+2≥0}，B={x|2x<4}，則 A∪B= ( **** )
A. R B. ∅ C. {x|x≤1} D. {x|x>2}
2.若復(fù)數(shù) ( )是純虛數(shù),則復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在( **** )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知命題 ：“ ，都有 成立”，則命題 為(**** )
A. ，有 成立 B. ，有 成立
C. ，有 成立 D. ，有 成立
4.利用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n+1)(n+2) …(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)，n∈N*”時(shí)，從“n=k”變到“n=k+1”時(shí)，左邊應(yīng)增乘的因式是(**** )
A.2k+1 B.2(2k+1)
C.2k+1k+1 D.2k+3k+1
5. 我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈?”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈(****)
A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞
6. 設(shè) ，則 的大小關(guān)系為(**** )
A. B. C. D.
7.記不等式組 解集為 ,若 ,則實(shí)數(shù) 的最小值是( **** )
A.0 B.1 C.2 D.4
8.如圖，在平面四邊形 中， ， ， ， . 若點(diǎn) 為邊 上的動(dòng)點(diǎn)，則 的最小值為(**** )
A. B. C. D.
9.已知函數(shù) (其中 為自然對數(shù)的底數(shù))，則 的大致圖象大致為( **** )
A. B. C. D
10.如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角 的始邊為射線 ，終邊為射線 ，過點(diǎn) 作直線 的垂線，垂足為 ，將點(diǎn) 到直線 的距離表示為 的函數(shù) ，則 = 在[0, ]上的圖像大致為(**** )
11.已知函數(shù) 若方程 在 上有且只有
四個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為( **** )
A. B. C. D.
12.已知關(guān)于 的方程 有唯一實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù) 的值為(****)
A. B. C. 或 D. 或
第Ⅱ卷 共90分
二：填空題：本大題有4小題，每小題5分.
13.已知向量 ， 的夾角為 ， ， ，則 __****__.
14.已知 滿足約束條件 若目標(biāo)函數(shù) 的最大值為7，
則 的最小值為__****__.
15.甲和乙玩一個(gè)猜數(shù)游戲，規(guī)則如下：已知五張紙牌上分別寫有 ( )五個(gè)數(shù)字，現(xiàn)甲、乙兩人分別從中各自隨機(jī)抽取一張，然后根據(jù)自己手中的數(shù)推測誰手上的數(shù)更大.
甲看了看自己手中的數(shù)，想了想說：我不知道誰手中的數(shù)更大;乙聽了甲的判斷后，思索了一下說：我也不知道誰手中的數(shù)更大.假設(shè)甲、乙所作出的推理都是正確的，那么乙手中的數(shù)是_***__.
16.在數(shù)列 中，若存在一個(gè)確定的正整數(shù)T，對任意 滿足 ，則稱 是周期數(shù)列，T叫做它的周期.已知數(shù)列 滿足 ， ，若數(shù)列 的周期為3，則 的前100項(xiàng)的和為 **** .
三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分12分)
如圖，在 中, , ,點(diǎn) 在邊 上, , , 為垂足.
(Ⅰ)若 的面積為 ,求 的長;
(Ⅱ)若 ,求 的大小.
18.(本小題滿分12分)
已知數(shù)列 的前 和為 ，若 ， .
(Ⅰ)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若 ，求數(shù)列 的前 項(xiàng)和 .
19.(本小題滿分12分)
在直角坐標(biāo)系 中，曲線 ,曲線 為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn) 為極點(diǎn)，以 軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.
(Ⅰ)求曲線 的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)已知射線 與曲線 分別交于點(diǎn) (異于原點(diǎn) )，當(dāng) 時(shí)，
求 的取值范圍.
20.(本小題滿分12分)
已知函數(shù) ( ).
(Ⅰ)當(dāng) 時(shí)，解不等式 ;
(Ⅱ)若 ，求 的取值范圍.
21. (本小題滿分12分)
函數(shù) ，在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示, 為圖象的最高點(diǎn), 、 為圖象與 軸的交點(diǎn),且 為正三角形.
(Ⅰ)求函數(shù) 的解析式;
(Ⅱ)將 的圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的 倍(縱坐標(biāo)不變)，再向右平移 個(gè)單位得到函數(shù) ，若設(shè) 圖象在 軸右側(cè)第一個(gè)最高點(diǎn)為 ，試問 圖象上是否存在點(diǎn) ，使得 ，若存在請求出滿足條件的點(diǎn) 的個(gè)數(shù)，若不存在，說明理由.
22.(本小題滿分12分)
已知函數(shù) .
(Ⅰ)當(dāng) 時(shí)，討論 的極值情況;
(Ⅱ)若 ，求 的值.
福建師大附中2018-2019學(xué)年第一學(xué)期高三期中考試卷解答
數(shù)學(xué) (理科)
一、選擇題：ABDBB ;DCADB,BA
二：填空題：本大題有4小題，每小題5分.
13. , 14. 7 15. 16.67
三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分12分)
(Ⅰ)由已知得 ， 又 ， 得 ……………3分
在 中，由余弦定理得
，
所以 的長為 ……………6分
(Ⅱ)因?yàn)?……………8分
在 中，由正弦定理得 ，又 , ……………10分
得 ，……………11分 解得 ,所以 即為所求. ……………12分
18.(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ) ， .………………………………1分
當(dāng) 時(shí)， ，得 .………………………………2分
當(dāng) 時(shí)， ，
，………………………………3分
，即 ，
.………………………………4分
數(shù)列 是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為 ，公差為2，………………………………5分
.………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知， ，
，——①………………………………7分
，——②………………………………8分
?、?ndash;②得 ………………………………9分
，………………………………10分
化簡得 .…………………12分
19.(本小題滿分12分)
解：(1)因?yàn)?，所以曲線 的普通方程為： ，由 ，得曲線 的極坐標(biāo)方程 ，
對于曲線 , ,則曲線 的極坐標(biāo)方程為
(2)由(1)得 , ，
因?yàn)?，則
20.(本小題滿分12分)
解：(1)f(x)=2|x-1|+|x-2|=-3x+4，x<1，x，1≤x≤2，3x-4，x>2.
所以，f(x)在(-∞,1]上遞減，在[1，+∞)上遞增，
又f(0)=f( 8 3)=4，故f(x)≤4的解集為{x|0≤x≤ 8 3}. ....................................6分
(2)
?、偃鬭>1，f(x)=(a-1)|x-1|+|x-1|+|x-a|≥a-1，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，取等號(hào)，故只需a-1≥1，得a≥2. .................................7分
?、谌鬭=1，f(x)=2|x-1|，f(1)=0<1，不合題意. ...................…9分
?、廴?
當(dāng)且僅當(dāng)x=a時(shí)，取等號(hào)，故只需a(1-a)≥1，這與0
綜上所述， a的取值范圍是[2，+∞). …...................12分
21. (本小題滿分12分)
由已知得: ………2分
∵ 為圖象的最高點(diǎn)， ∴ 的縱坐標(biāo)為 ,又∵ 為正三角形，所以 …………3分
∴ 可得 , 即 得 …………4分,
∴ …………5分,
(Ⅱ)由題意可得 , …………7分
法一：作出如右下圖象，由圖象可知滿足條件的點(diǎn) 是存在的，而且有兩個(gè)………8分
注：以上方法雖然能夠得到答案，但其理由可信度不高，故無法給滿分.
法二：由 得 ，即 ，
即 ，由此作出函數(shù) 及 圖象，由圖象可知滿足條件的 點(diǎn)有兩個(gè).………10分(注：數(shù)形結(jié)合是我們解題中常用的方法，但就其嚴(yán)密性而言，仍有欠缺和不足.)
法三：由 得 ，即 ，即 ，問題轉(zhuǎn)化為研討函數(shù) 零點(diǎn)個(gè)數(shù)?！?， ，當(dāng) 時(shí)， 恒成立，從而說明函數(shù) 在 中是單調(diào)遞增函數(shù)………10分，
又 ， ，故存在 ，使得 從而函數(shù) 在區(qū)間 單調(diào)遞減，
在區(qū)間 單調(diào)遞增………11分 又 ， ， ，由零點(diǎn)存在定理得:
函數(shù) 在區(qū)間 和區(qū)間 上各有一個(gè)零點(diǎn)…12分
22.(本小題滿分12分)
解：(Ⅰ) 1分
. 因?yàn)?，由 得， 或 .
?、佼?dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞增，故 無極值.2分
?、诋?dāng) 時(shí)， . , , 的關(guān)系如下表：
+ 0 - 0 +
單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增
故 有極大值 ，極小值 .4分
?、郛?dāng) 時(shí)， . , , 的關(guān)系如下表：
+ 0 - 0 +
單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增
故 有極大值 ，極小值 .5分
綜上：當(dāng) 時(shí)， 有極大值 ，極小值 ;
當(dāng) 時(shí)， 無極值;
當(dāng) 時(shí)， 有極大值 ，極小值 .6分
(Ⅱ)令 ，則 .
(i)當(dāng) 時(shí)， ，
所以當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞減，
所以 ，此時(shí) ，不滿足題意.8分
(ii)由于 與 有相同的單調(diào)性，因此，由(Ⅰ)知：
?、佼?dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞增，又 ，
所以當(dāng) 時(shí)， ;當(dāng) 時(shí)， .
故當(dāng) 時(shí)，恒有 ，滿足題意.9分
②當(dāng) 時(shí)， 在 單調(diào)遞減，
所以當(dāng) 時(shí)， ，
此時(shí) ，不滿足題意.10分
③當(dāng) 時(shí)， 在 單調(diào)遞減，
所以當(dāng) 時(shí)， ，
此時(shí) ，不滿足題意. 11分 綜上所述： . 12分
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