集合的概念集合的定義是什么
集合的概念集合的定義是什么
集合論的基礎(chǔ)是由德國數(shù)學家 康托爾在19世紀70年代奠定的，經(jīng)過一大批卓越的科學家半個世紀的努力，到20世紀20年代已確立了其在現(xiàn)代數(shù)學理論體系中的基礎(chǔ)地位，可以說，現(xiàn)代數(shù)學各個分支的幾乎所有成果都構(gòu)筑在嚴格的集合理論上。集合的定義是什么?以下是學習啦小編為大家整理的關(guān)于集合的定義，歡迎大家前來閱讀!
集合的定義
集合(簡稱集)是數(shù)學中一個基本概念，它是集合論的研究對象，集合論的基本理論直到19世紀才被創(chuàng)立。最簡單的說法，即是在最原始的集合論——樸素集合論中的定義，集合就是“一堆東西”。集合里的“東西”，叫作元素。由一個或多個元素所構(gòu)成的叫做集合。若x是集合A的元素，則記作x∈A。集合中的元素有三個特征：1.確定性(集合中的元素必須是確定的)2.互異性(集合中的元素互不相同。例如：集合A={1，a}，則a不能等于1)3.無序性(集合中的元素沒有先后之分。)
集合的概念
集合是指具有某種特定性質(zhì)的具體的或抽象的對象匯總成的集體，這些對象稱為該集合的 元素。例如全中國人的集合，它的元素就是每一個中國人。我們通常用大寫字母如A,B,S,T,...表示集合，而用小寫字母如a,b,x,y,...表示集合的元素。 若x是集合S的元素，則稱x屬于S，記為x∈S。若y不是集合S的元素，則稱y不屬于S,記為y∉S。一般的我們把含有有限個元素的集合叫做有限集，含無限個元素的集合叫做無限集。
集合 中不同元素的數(shù)目稱為集合 的 基數(shù)，記作card( )。當其為有限大時，集合 稱為 有限集，反之則為無限集。
有一類特殊的集合，它不包含任何元素，如 ，我們稱之為 空集，記為 ∅。
設(shè)S,T是兩個集合，如果S的所有 元素都屬于T ，即 ， 其中符號 稱為包含，即表示由左邊的 命題可以推出右邊的 命題，則稱S是T的 子集，記為 。顯然，對任何集合S ，都有 。
如果S是T的一個子集，即 ，但在T中存在一個 元素 x不屬于S ，即 ，則稱S是T的一個 真子集。
如果兩個集合S和T的元素完全相同，則稱S與T兩個集合 相等，記為S=T 。顯然我們有 其中符號 稱為 當且僅當，表示左邊的 命題與右邊的 命題相互 蘊含，即兩個命題 等價。
并集定義：由所有屬于集合 或?qū)儆诩?的元素所組成的集合，記作 ∪ (或 ∪ )，讀作“ 并 ”(或“ 并 ”)，即 ∪ ={ | ∈ ,或 ∈ }。并集越并越多。
交集定義：由屬于 且屬于 的相同元素組成的集合，記作A∩B(或 ∩ )，讀作“ 交 ”(或“ 交 ”)，即 ∩ ={ | ∈ ,且 ∈ }。交集越交越少。
若 包含 ，則 ∩ = ， ∪ =
相對補集定義：由屬于 而不屬于 的元素組成的集合，稱為 關(guān)于 的相對補集，記作 - 或 \ ，即 - ={ | ∈ ，且 ∉ '}
絕對補集定義： 關(guān)于全集合 的相對補集稱作 的絕對補集，記作 '或∁u( )或~ 。· '= ; ‘=
定義：設(shè)有集合 ，由集合 所有子集組成的 集合，稱為集合 的冪集。
定理：有限集 的 冪集的 基數(shù)等于2的 有限集 的 基數(shù) 次 冪。
數(shù)學分析中，最常遇到的實數(shù)集的子集是 區(qū)間。
設(shè)a,b(a
集合表示法
表示集合的方法通常有三種。
列舉法就是將集合的元素逐一列舉出來的方式。例如，光學中的三原色可以用集合{紅，綠，藍}表示;由四個字母a,b,c,d組成的集合A可用A={a,b,c,d}表示，如此等等。
列舉法還包括盡管集合的元素無法一一列舉，但可以將它們的變化規(guī)律表示出來的情況。如正整數(shù)集 和整數(shù)集 可以分別表示為 和 。
{代表元素|滿足的性質(zhì)}
設(shè)集合S是由具有某種性質(zhì)P的元素全體所構(gòu)成的，則可以采用描述集合中元素公共屬性的方法來表示集合：S={x|P(x)}
例如，由2的平方根組成的集合B可表示為B={x|x =2}。
而有理數(shù)集 和正實數(shù)集 則可以分別表示為 和 。
N：非負整數(shù)集合或 自然數(shù)集合{0,1,2,3,…}
N*或 N+：正整數(shù)集合{1,2,3,…}
Z： 整數(shù)集合{…,-1,0,1,…}
Q： 有理數(shù)集合
Q+：正有理數(shù)集合
Q-：負有理數(shù)集合
R： 實數(shù)集合(包括有理數(shù)和無理數(shù))
R+：正實數(shù)集合
R-：負實數(shù)集合
C： 復數(shù)集合
∅：空集合(不含有任何元素的集合稱為空集合，又叫空集)
集合特性
給定一個集合，任給一個元素，該元素或者屬于或者不屬于該集合，二者必居其一，不允許有模棱兩可的情況出現(xiàn)。
一個集合中，任何兩個元素都認為是不相同的，即每個元素只能出現(xiàn)一次。有時需要對同一元素出現(xiàn)多次的情形進行刻畫，可以使用 多重集，其中的元素允許出現(xiàn)多次。
一個集合中，每個元素的地位都是相同的，元素之間是無序的。集合上可以定義序關(guān)系，定義了序關(guān)系后，元素之間就可以按照序關(guān)系排序。但就集合本身的特性而言，元素之間沒有必然的序。(參見 序理論)
交換律： ∩ = ∩ ∪ = ∪
結(jié)合律： ∪( ∪ )=(A∪ )∪ ∩( ∩ =( ∩ ∩
分配對偶律： ∩( ∪ )=( ∩ )∪( ∩ ) ∪( ∩ )=( ∪ )∩( ∪ )
對偶律：( ∪ )^ = ^ ∩ ^ ( ∩ )^ = ^ ∪ ^
同一律： ∪∅= ∩ =
求補律： ∪ '= ∩ '=∅
對合律： ''=
等 冪律： ∪ = ∩ =
零一律： ∪ = ∩ =
吸收律： ∪( ∩ )= ∩( ∪ )=
德·摩根律(反演律)：( ∪ )'= '∩ ' ( ∩ )'= '∪ '
德·摩根律：1.集合 與集合 的交集的 補集等于集合 的補集與集合 的補集的 并集; 2.集合 與集合 的并集的 補集等于集合 的補集與集合 的補集的交集。
容斥原理(特殊情況)：
card( ∪ )=card( )+card( )-card( ∩ )
card( ∪ ∪ )=card( )+card( )+card( )-card( ∩ )-card( ∩ )-card( ∩ )+card( ∩ ∩ )
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