數(shù)學(xué)之美論文(2)
數(shù)學(xué)之美論文
數(shù)學(xué)之美論文篇三
數(shù)學(xué)美到什么程度?古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家普洛克拉斯說(shuō)："哪里有數(shù)，哪里就有美。"美國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因說(shuō)："音樂(lè)能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫(huà)使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科技可以改善生活，但數(shù)學(xué)卻能提供上述的一切。"。由上可知，數(shù)學(xué)美的存在性，必然性，獨(dú)特性。數(shù)學(xué)美與一般的自然美，藝術(shù)美不同，自然美體現(xiàn)的是自然界的現(xiàn)象和諧，藝術(shù)美是體現(xiàn)藝術(shù)形象的和諧，而數(shù)學(xué)美體現(xiàn)的是自然界的內(nèi)在和諧。那么什么是數(shù)學(xué)的美?
一、數(shù)學(xué)美的含義
我國(guó)著名數(shù)學(xué)家徐利治指出："''數(shù)學(xué)美''的含義是豐富的，如數(shù)學(xué)概念的簡(jiǎn)單性，統(tǒng)一性，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性，對(duì)稱(chēng)性，數(shù)學(xué)命題與數(shù)學(xué)模型的概括性、典型性與普遍性，還有數(shù)學(xué)中的奇異性都是數(shù)學(xué)美的具體內(nèi)容。"因此我們可以把數(shù)學(xué)的美分為結(jié)構(gòu)美、方法美、語(yǔ)言美、邏輯美、非邏輯美、創(chuàng)造美、形態(tài)美、內(nèi)在美、嚴(yán)謹(jǐn)美與應(yīng)用美。[1]數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美是一種內(nèi)在的美，來(lái)自各部分的和諧秩序，給人以美的感受。比如楊輝三角,這是一個(gè)有很強(qiáng)內(nèi)在規(guī)律的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)的方法美是指數(shù)學(xué)證明方法與思維方法在解決問(wèn)題時(shí)體現(xiàn)出來(lái)的美妙以及使人感到愉快的美感并激發(fā)興趣。如古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯很小從師于丟番圖學(xué)習(xí)數(shù)學(xué);一天他向老師請(qǐng)教一個(gè)問(wèn)題：有四個(gè)數(shù)，把其中每三個(gè)相加，其和為22、24、27、20，求這四個(gè)數(shù)。這個(gè)問(wèn)題看似簡(jiǎn)單，但具體做起來(lái)卻有一定的復(fù)雜性。看看丟番圖是如何解的;他沒(méi)有分別設(shè)四個(gè)未知數(shù)而是只設(shè)四個(gè)數(shù)之和為x，那么四個(gè)數(shù)就分別為x-22、x-24、x-27和x-20，于是有方程x=(x-22)+(x-24)+(x-27)+(x-20)，解得x=31。從而得到四個(gè)數(shù)分別為9、7、4、11。由此使帕普斯堅(jiān)定了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信念，歷史上多了一位偉大數(shù)學(xué)家。數(shù)學(xué)的語(yǔ)言是一種特殊的語(yǔ)言，它是借助數(shù)字符號(hào)把數(shù)字內(nèi)容扼要地表現(xiàn)出來(lái)，具有準(zhǔn)確性、概括性、有序性、簡(jiǎn)單性、通用性。世界范圍內(nèi)公認(rèn)的數(shù)字符號(hào)，突破了各民族語(yǔ)言的障礙而成為全人類(lèi)共同的統(tǒng)一的表達(dá)工具。如任何一個(gè)國(guó)家的人都明白∠、△、≌表示什么。數(shù)學(xué)中的邏輯推理是根據(jù)所學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)推導(dǎo)出未知的，無(wú)論由已知推向結(jié)果還是結(jié)果反推已知，一步一步的推理，一環(huán)扣一環(huán)的演繹，都是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬅?，都給人以破案的神秘感。數(shù)學(xué)的非邏輯美是一些自然界現(xiàn)實(shí)所概括的一些公理定義，如兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，SAS等等，并用它們來(lái)證明一些問(wèn)題。數(shù)學(xué)的創(chuàng)造美中，不斷地由一問(wèn)題轉(zhuǎn)向別的問(wèn)題，進(jìn)而探索發(fā)展為一門(mén)新的數(shù)學(xué)分支，如開(kāi)始只有正數(shù)，后來(lái)有了負(fù)數(shù)，再后來(lái)擴(kuò)大到了復(fù)數(shù)。數(shù)學(xué)的形態(tài)美是指數(shù)學(xué)美的內(nèi)容的外部表現(xiàn)形態(tài)，即"在數(shù)學(xué)理論、圖形之中，或者數(shù)字理論和圖形的相互關(guān)系中，表現(xiàn)這些關(guān)系的定理和公式，所呈現(xiàn)出來(lái)的簡(jiǎn)單、整齊、對(duì)稱(chēng)和諧的美"。例如，中學(xué)數(shù)學(xué)所學(xué)的一次函數(shù)、二次函數(shù)，無(wú)論是函數(shù)的解析表達(dá)式，還是函數(shù)圖象都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)形態(tài)美的特征。數(shù)學(xué)內(nèi)在美是指數(shù)學(xué)美的內(nèi)容諸要素的內(nèi)部組織結(jié)構(gòu)"例如：直線(xiàn)、圓、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)，看起來(lái)是各不相同的曲線(xiàn)，但在極坐標(biāo)體系下可用簡(jiǎn)潔、優(yōu)美的方程ρ=ep/(1-e•cosθ)表示，這給人一種多樣統(tǒng)一的和諧感。數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美是數(shù)學(xué)中遵循著"不漏不重原則"，對(duì)于公理定理定義應(yīng)該是少一個(gè)不行，多一個(gè)不要，在不多不少中，恰好夠用的理論基礎(chǔ)上，得出一套嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系，建成一座座數(shù)學(xué)的大廈。數(shù)學(xué)的應(yīng)用美是不同的人應(yīng)用相同的數(shù)學(xué)概念和方法研究不同的事物，不相同的事物又都服從于同一數(shù)學(xué)規(guī)律。如正多邊形鑲嵌成的地板圖案，各種幾何體造型的建筑物，如悉尼大歌劇院。數(shù)學(xué)在高技術(shù)中的應(yīng)用，制造導(dǎo)彈以及飛船等等。
二、數(shù)學(xué)美的特征
隨著社會(huì)歷史的發(fā)展，數(shù)學(xué)美的概念在不斷的變化和發(fā)展，但數(shù)學(xué)美的內(nèi)容和基本特征具有相對(duì)穩(wěn)定性，概括起來(lái)數(shù)學(xué)美的主要特征為：和諧性、簡(jiǎn)潔性和奇異性。[2]
1、和諧性是指數(shù)學(xué)內(nèi)容的部分與部分，部分與整體之間的和諧、協(xié)調(diào)。
如歐幾里德的《幾何原本》從少量的幾個(gè)定義、公理、公設(shè)出發(fā)，按照邏輯規(guī)劃，推論出467個(gè)定理。把當(dāng)時(shí)的幾何、代數(shù)知識(shí)統(tǒng)一于一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[體系中，井然有序，統(tǒng)一協(xié)調(diào)。在數(shù)學(xué)方法上，不同類(lèi)型的問(wèn)題可以用不變的思想方法來(lái)解決，如初中代數(shù)里高次多元方程可以通過(guò)降次消元思想解，異分母的分式相加減借助于同分母的分式相加減來(lái)實(shí)現(xiàn)。而一些復(fù)雜圖形可以采用圖形割補(bǔ)方法化歸為簡(jiǎn)單形來(lái)解。再如數(shù)學(xué)形式和結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性，數(shù)學(xué)解題對(duì)稱(chēng)方法，往往使得解決問(wèn)題的過(guò)程簡(jiǎn)潔明快。具體體現(xiàn)在①數(shù)的對(duì)稱(chēng)性：如二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù);②式的對(duì)稱(chēng)性：如余弦定理中各個(gè)邊之間的互換;③圖形的對(duì)稱(chēng)性：如軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)，尤其是圓和球最美最受青睞。因?yàn)閳A和球它們?cè)诟鱾€(gè)方向都對(duì)稱(chēng)。因此，圓和球是最完美的圖形。亞里士多德也認(rèn)為球形是諸天體形狀中最神圣和最完美的形象。④理論的對(duì)稱(chēng)現(xiàn)象，如互逆定理。還有世界上最美最神奇的比例--黃金分割(如果將一條線(xiàn)段分成大小兩段，小段與大段的長(zhǎng)度之比恰好等于大段的長(zhǎng)度與全長(zhǎng)之比)。它的近似比為0.618。大畫(huà)家達(dá)•芬奇把它稱(chēng)為"黃金數(shù)"。如人的肚臍是人體總長(zhǎng)的黃金分割點(diǎn)，人的膝蓋是肚臍到腳跟的黃金分割點(diǎn)。在繪畫(huà)或攝影時(shí)常常也把中心放在"黃金分割"點(diǎn)上，使畫(huà)面給人一種勻稱(chēng)協(xié)調(diào)、賞心悅目的美感。而弦樂(lè)器的琴弦在0.618處彈奏，能使琴聲更加柔美。日常生活中，人們用相似的黃金分割比來(lái)設(shè)計(jì)書(shū)籍的開(kāi)本;電影電視屏幕，也就是黃金矩形，圖案給人視覺(jué)上的美。不變性也是美，千變?nèi)f化的狀態(tài)中存在"以不變應(yīng)萬(wàn)變"的不變量與不變式，例如，加法交換律，平方和不變等等。恰當(dāng)、適度也是一種美，數(shù)學(xué)家所追求的充分必要條件，最佳估計(jì)，最佳逼近，不多不少及恰當(dāng)好處等都是一種美的標(biāo)志。
2、簡(jiǎn)潔性是指數(shù)學(xué)理論的邏輯結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔，推導(dǎo)、證明書(shū)寫(xiě)的簡(jiǎn)捷以及解答形式的簡(jiǎn)明，并不是指數(shù)學(xué)內(nèi)容本身的簡(jiǎn)單。
數(shù)學(xué)中的許多定理、公式、證明都充滿(mǎn)著簡(jiǎn)單的特征。例如"兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短"，這條公理表述得多么簡(jiǎn)練，恰到好處地概括了連接兩點(diǎn)之間不同的線(xiàn)、線(xiàn)段最短的規(guī)律。再如數(shù)學(xué)符號(hào)的產(chǎn)生和發(fā)展，使得數(shù)學(xué)表達(dá)形式極其簡(jiǎn)單，如求和符號(hào)Σ?？陀^(guān)世界中的許多現(xiàn)象可以歸納為抽象數(shù)學(xué)的一個(gè)公式、一個(gè)方程或一個(gè)函數(shù)。例如牛頓的萬(wàn)有引力定律，愛(ài)因斯坦的質(zhì)能公式，內(nèi)容極其豐富。但表達(dá)形式又是如此簡(jiǎn)單明了等等。簡(jiǎn)潔性還是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的美學(xué)方法之一，如代數(shù)運(yùn)算中乘法的引進(jìn)，乃是為了避免重復(fù)的加法運(yùn)算;乘方的引進(jìn)，又是為了避免重復(fù)的乘法運(yùn)算，同時(shí)表達(dá)方式變得更簡(jiǎn)單。二進(jìn)制可以說(shuō)是從邏輯關(guān)系的簡(jiǎn)單性考慮中所引進(jìn)的結(jié)果;由于追求計(jì)算的簡(jiǎn)單性，導(dǎo)致對(duì)數(shù)的計(jì)算法的產(chǎn)生;幾何作圖中，為追求較簡(jiǎn)單的作圖工具，引出了"尺規(guī)作圖";與最簡(jiǎn)形式相關(guān)，數(shù)學(xué)中規(guī)定了各種標(biāo)準(zhǔn)形式，如曲線(xiàn)方程的標(biāo)準(zhǔn)式。數(shù)學(xué)家對(duì)追求簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)美來(lái)促進(jìn)數(shù)學(xué)創(chuàng)造，給予了極高的評(píng)價(jià)，自然規(guī)律常具有一種數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單性，數(shù)學(xué)的這種簡(jiǎn)s單美也正是自然內(nèi)在的秉性。
3、奇異性是指數(shù)學(xué)中原有的習(xí)慣、法則和統(tǒng)一格局，被新的事物所突破，或出乎意料、超乎想象的結(jié)果所帶來(lái)的新穎和奇特。
例如對(duì)于任意三角形，它們的三條中線(xiàn)總是交于一點(diǎn)，我們看到各種三角形都是如此而并非巧合，顯示了一種奇巧的美。同樣，三角形三條角平分線(xiàn)，三條垂直平分線(xiàn)，三條高也分別交于一點(diǎn)，更進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到即使是最簡(jiǎn)單的圖形--三角形也蘊(yùn)藏的奇異規(guī)律。數(shù)學(xué)的一種證明方法--反證法，給人感受的美也是一種奇異的內(nèi)在美。反例的應(yīng)用往往是對(duì)已有的數(shù)學(xué)理論的突破，對(duì)舊的平衡的破壞和新的平衡的建立，推進(jìn)了理論的重大發(fā)展。歷史上著名的狄里克萊函數(shù)就反證了周期函數(shù)不一定存在最小正周期。奇異性還往往伴隨著數(shù)學(xué)方法的出現(xiàn)，如方程中的換元法、數(shù)列中的拆項(xiàng)求和、幾何中的補(bǔ)形法等積法及數(shù)形結(jié)合思想方法，無(wú)不顯示出數(shù)學(xué)的較高技巧又神奇魅力所在。正如英國(guó)物理學(xué)家狄拉克說(shuō)："上帝使用了美麗的數(shù)學(xué)來(lái)創(chuàng)造這個(gè)世界!"數(shù)學(xué)是美的，數(shù)學(xué)是美的科學(xué)。
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