高三數(shù)學(xué)上冊期末考試試卷
數(shù)學(xué)是一個(gè)很多同學(xué)學(xué)習(xí)不好的一門科目，大家努力一點(diǎn)就可以了，小編今天下面就給大家整理高三數(shù)學(xué)，要好好閱讀哦
關(guān)于高三數(shù)學(xué)文上冊期末試卷
第一部分(選擇題 共40分)
一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。
(1)若集合 ， ，則
(A) (B) (C) (D)
(2)下列復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的是
(A) (B) (C) (D)
(3)在平面直角坐標(biāo)系 中，角 以 為始邊，終邊在射線 上，則 的值是
(A) (B) (C) (D)
(4)若 滿足 則 的最小值為
(A) (B) (C) (D)
(5)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸入 ，那么輸出的
值為
(A) (B)
(C) (D)
(6)設(shè) 為實(shí)數(shù)，則“ ”是“ ”的
(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件
(C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件
(7)某三棱錐的三視圖如圖所示，在此三棱錐的六條棱中，最長棱的長度
為
(A)2 (B)
(C) (D)3
(8)地震里氏震級是地震強(qiáng)度大小的一種度量. 地震釋放的能量 (單位：焦耳)與地震里氏震級 之
間的關(guān)系為 . 已知兩次地震里氏震級分別為8.0級和7.5級，若它們釋放的能量分別為 和 ，則 的值所在的區(qū)間為
(A) (B) (C) (D)
第二部分(非選擇題 共110分)
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。
( 9 )已知向量 ， ，若 ，則 .
(10)在 中，已知 ， ， ，則 .
(11)若等差數(shù)列 和等比數(shù)列 滿足 ， ，試寫出一組滿足條件的數(shù)列 和 的通項(xiàng)公式: ， .
(12)過雙曲線 的右焦點(diǎn) 作垂直于 軸的直線，交雙曲線于 兩點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率 _________.
(13)小菲在學(xué)校選修課中了解到艾賓浩斯記憶曲線，
為了解自己記憶一組單詞的情況，她記錄了
隨后一個(gè)月的有關(guān)數(shù)據(jù)，繪制散點(diǎn)圖，擬合
了記憶保持量與時(shí)間(天)之間的函數(shù)關(guān)系：
某同學(xué)根據(jù)小菲擬合后的信息得到以下結(jié)論：
?、?隨著時(shí)間的增加，小菲的單詞記憶保持量降低;
② 9天后，小菲的單詞記憶保持量低于 ;
?、?26天后，小菲的單詞記憶保持量不足 .
其中正確的結(jié)論序號有 . (注：請寫出所有正確結(jié)論的序號)
(14)已知函數(shù) ， .若 ，都有 ，則a的最大值為______;此時(shí)ω=_______.
三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
(15)(本小題13分)
已知等差數(shù)列 滿足
D D 的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ) 若 ,求數(shù)列 的前n項(xiàng)和.
(16)(本小題13分)
已知函數(shù) .
(Ⅰ) 求 的最小正周期;
(Ⅱ) 求證：對于任意的 ，都有 .
(17)(本小題13分)
某中學(xué)有學(xué)生500人，學(xué)校為了解學(xué)生課外閱讀時(shí)間，從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生，收集了他們2018年10月課外閱讀時(shí)間(單位：小時(shí))的數(shù)據(jù)，并將數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，分為5組： ， ， ， ， ，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)試估計(jì)該校所有學(xué)生中，2018年10月課外閱讀時(shí)間不小于16小時(shí)的學(xué)生人數(shù);
(Ⅱ)已知這50名學(xué)生中恰有2名女生的課外閱讀時(shí)間在 ，現(xiàn)從課外閱讀時(shí)間在 的樣
本對應(yīng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求至少抽到1名女生的概率;
(Ⅲ)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試估計(jì)該校學(xué)生2018年10月課外閱讀時(shí)間
的平均數(shù).
(18)(本小題14分)
如圖，三棱柱 中，側(cè)棱垂直于底面， ， ， ， 為 中點(diǎn).
(I) 求證： 平面 ;
(II) 求三棱錐 的體積;
(III) 設(shè)平面 與直線 交于點(diǎn) ，求線段 的長.
(19)(本小題13分)
已知函數(shù) ，a∈R.
(Ⅰ) 當(dāng) 時(shí)，求曲線 在點(diǎn) 處的切線方程;
(Ⅱ) 求 的單調(diào)區(qū)間.
(20)(本小題14分)
已知橢圓 的離心率為 ，其左焦點(diǎn)為 .直線 交橢圓 于不同的兩點(diǎn) ，直線 與橢圓 的另一個(gè)交點(diǎn)為 .
(I)求橢圓 的方程;
(II)當(dāng) 時(shí)，求 的面積;
(III)證明：直線 與 軸垂直.
高三數(shù)學(xué)(文科)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題(共8小題，每小題5分，共40分)
(1)C (2)D (3)A (4)B
(5)B (6)A (7)D (8)B
二、填空題(共6小題，每小題5分，共30分)
(9) (10)
(11) , (答案不唯一) (12)
(13)①② (14)4，
三、解答題(共6小題，共80分)
(15)(共13分)
解：(I)設(shè) 的公差為 ,
因?yàn)?， 所以 .
所以
解得 .
所以 ……………………………..7分
(Ⅱ)由(I)知， ，
所以 的前n項(xiàng)和為
=
= . ……………………..13分
(16)(共13分)
解:(Ⅰ)
. ……………………………..5分
所以 的最小正周期 . ……………………………..7分
(Ⅱ)因?yàn)?，所以 .
所以 .
所以
所以 .
所以對于任意的 ，都有 . ……………………………..13分
(17)(共13分)
解：(Ⅰ) ，
即課外閱讀時(shí)間不小于 小時(shí)的樣本的頻率為 .
因?yàn)?，
所以估計(jì)該校所有學(xué)生中，2018年10月課外閱讀時(shí)間不小于 小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為
. …………………………………………………………………………………………….5分
(Ⅱ)閱讀時(shí)間在 的樣本的頻率為 .
因?yàn)?，即課外閱讀時(shí)間在 的樣本對應(yīng)的學(xué)生人數(shù)為 .
這 名學(xué)生中有 名女生， 名男生，設(shè)女生為 ， ，男生為 ， ， ，
從中抽取 人的所有可能結(jié)果是：
， ， ， ， ，
， ， ， ， .
其中至少抽到 名女生的結(jié)果有 個(gè)，
所以從課外閱讀時(shí)間在 的樣本對應(yīng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取 人，至少抽到 名女生的所求概率為 . ……………………………..11分
(Ⅲ)根據(jù)題意， (小時(shí)).
由此估計(jì)該校學(xué)生 年10月課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)為 小時(shí) …………….13分
(18)(共14分)
解：(Ⅰ)因?yàn)槿庵?中，側(cè)棱垂直于底面，
所以 平面 .
因?yàn)?平面 ，
所以 .
又因?yàn)?， ，
所以 平面 .
因?yàn)?平面 ，
所以 .
因?yàn)?，所以四邊形 為菱形.
所以 .
因?yàn)?，
所以 平面 . ……………………………..5分
(Ⅱ) 由已知， 平面 ， 平面 ，
所以 .
因?yàn)?， ，
所以 平面 .
又 ，故 到平面 的距離為 .
因?yàn)?為 中點(diǎn)，所以 點(diǎn)到平面 距離為 .
所以 .……..9分
(Ⅲ)在三棱柱 中，
因?yàn)?， 為平面 與平面 的公共點(diǎn)，
所以平面 平面 .
因?yàn)槠矫?平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
又平面 平面 ,
所以 .
又 ，所以 .
因?yàn)?為 中點(diǎn), 所以 為 中點(diǎn) .
所以 .………………………..14分
(19)(共13分)
解：(Ⅰ) 的定義域?yàn)?,
.
當(dāng) 時(shí)， ， ，
所以曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為 .………………………..7分
(Ⅱ) .
(1) 當(dāng) 時(shí)， ，
所以當(dāng) 時(shí)， ;當(dāng) 時(shí)， .
所以 的單調(diào)遞增區(qū)間為(–∞，–1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(–1，+∞).
(2) 當(dāng) 時(shí)，令 ，得 ， .
?、佼?dāng) ，即 時(shí)， ，
所以 的單調(diào)遞增區(qū)間為(–∞，+∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間;
?、诋?dāng) ，即 時(shí)，
當(dāng) 時(shí)， ;當(dāng) 時(shí)， .
所以 的單調(diào)遞減區(qū)間為 ，單調(diào)遞增區(qū)間為 ， ;
③當(dāng) ，即 時(shí)，
當(dāng) 時(shí)， ;當(dāng) 時(shí)， .
所以 的單調(diào)遞減區(qū)間為 ，單調(diào)遞增區(qū)間為 ， . …………………………………………………………………………………………13分
(20)(共14分)
解：(I) 由已知有 解得
所以橢圓 的方程為 . ……………………………………5分
(II)由 消去 ，整理得 .
由已知， ，解得 .
設(shè) ，則
直線 的方程為 ， 到直線 的距離 .
所以 的面積為 . …………………………………10分
(III)當(dāng) 時(shí)， .
此時(shí)直線 的斜率為 ，由(II)知不符合題意，所以 .
設(shè)直線 的斜率為 .
則直線 的方程為 .
由 消去 ，整理得 .
設(shè) ，則有 .
由 得 ，代入上式整理得 ，
解得 .
因?yàn)?，
將 ， 代入，整理得 ，
所以 . 所以直線 與 軸垂直. ……………………………………14分
高三數(shù)學(xué)理上冊期末試卷參考
第一部分 (選擇題 共40分)
一、 選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。
1.已知集合 ， ，那么
(A)
(B)
(C)
(D)
2.若復(fù)數(shù) 的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則實(shí)數(shù)
(A)3 (B)
(C)
(D)
3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 的值為
(A)
(B)
(C)
(D)
4.已知等差數(shù)列 中， ， .
若 ，則數(shù)列 的前5項(xiàng)和等于
(A)30 (B)45
(C)90 (D)186
5.某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的
棱中，最長的棱的長度為
(A)2 (B)
6.設(shè) ， 是非零向量，則“ ”是“ ”的
(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件
(C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件
7.一種畫雙曲線的工具如圖所示，長桿 通過 處的鉸鏈與固定好的短桿 連接，取一條定長的細(xì)繩，一端固定在點(diǎn) ，另一端固定在點(diǎn) ，套上鉛筆(如圖所示).作圖時(shí)，使鉛筆緊貼長桿 ，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖 (長桿 繞 轉(zhuǎn)動(dòng))，畫出的曲線即為雙曲線的一部分.若 ， ，細(xì)繩長為8，則所得雙曲線的離心率為
(A)
(B)
(C)
(D)
8.如圖，在棱長為2的正方體 中， 分
別是棱 的中點(diǎn)， 是底面 內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若直線
與平面 不存在公共點(diǎn)，則三角形 的面積的最小值
為
(A)
(B)1
(C)
(D)
第二部分(非選擇題 共110分)
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。
9.在極坐標(biāo)系中，圓C： 的圓心到點(diǎn) 的距離為____.
10. 展開式中 的系數(shù)為____.
11.能夠說明“設(shè) 是任意非零實(shí)數(shù).若 ，則 ”是假命題的一組整數(shù) 的值依次為____.
12.若 滿足 則 的最大值為____.
13.動(dòng)點(diǎn) 在圓 上沿逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周.已知時(shí)間 時(shí)，點(diǎn) 的坐標(biāo)是 ，則當(dāng) 時(shí)，動(dòng)點(diǎn) 的縱坐標(biāo) 關(guān)于 (單位：秒)的函數(shù)的值域?yàn)開___.
14.已知函數(shù)
?、?若 ，則函數(shù) 的零點(diǎn)有____個(gè);
?、?若存在實(shí)數(shù) ，使得函數(shù) 總有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是____.
三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。
15.(本小題13分)
在 中，角 的對邊分別為 ， ， ， .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)求 的面積.
16.(本小題14分)
如圖，在四棱錐 中，底面 為正方形，側(cè)棱 底面 ， 為棱 的中點(diǎn)， .
(Ⅰ)求證： ;
(Ⅱ)求直線 與平面 所成角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角 的余弦值.
17.(本小題13分)
2018年11月5日上午，首屆中國國際進(jìn)口博覽會拉開大幕，這是中國也是世界上首次以進(jìn)口為主題的國家級博覽會.本次博覽會包括企業(yè)產(chǎn)品展、國家貿(mào)易投資展.其中企業(yè)產(chǎn)品展分為7個(gè)展區(qū)，每個(gè)展區(qū)統(tǒng)計(jì)了備受關(guān)注百分比，如下表：
展區(qū)類型 智能及高端裝備 消費(fèi)電子及家電 汽車 服裝服飾及日用消費(fèi)品 食品及農(nóng)產(chǎn)品 醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健 服務(wù)貿(mào)易
展區(qū)的企業(yè)數(shù)(家) 400 60 70 650 1670 300 450
備受關(guān)注百分比 25% 20% 10% 23% 18% 8% 24%
備受關(guān)注百分比指：一個(gè)展區(qū)中受到所有相關(guān)人士關(guān)注(簡稱備受關(guān)注)的企業(yè)數(shù)與該展區(qū)的企業(yè)數(shù)的比值.
(Ⅰ)從企業(yè)產(chǎn)品展7個(gè)展區(qū)的企業(yè)中隨機(jī)選取1家，求這家企業(yè)是選自“智能及高端裝備”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)的概率;
(Ⅱ)從“消費(fèi)電子及家電”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)和“醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)中，任選2家接受記者采訪.
(i)記 為這2家企業(yè)中來自于“消費(fèi)電子及家電”展區(qū)的企業(yè)數(shù)，求隨機(jī)變量 的分布列;
(ii)假設(shè)表格中7個(gè)展區(qū)的備受關(guān)注百分比均提升10%.記 為這2家企業(yè)中來自于“消費(fèi)電子及家電”展區(qū)的企業(yè)數(shù).試比較隨機(jī)變量 的均值 和 的大小.(只需寫出結(jié)論)
18.(本小題14分)
已知橢圓C: 的右焦點(diǎn)為 ，離心率為 ，直線 與橢圓C交于不同兩點(diǎn) ，直線 分別交 軸于 兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)求證： .
19.(本小題13分)
設(shè)函數(shù) .
(Ⅰ)當(dāng) 時(shí)，求證： ;
(Ⅱ)如果 恒成立，求實(shí)數(shù) 的最小值.
20.(本小題13分)
將 階數(shù)陣 記作 (其中，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)， ).如果對于任意的 ，當(dāng) 時(shí)，都有 ，那么稱數(shù)陣 具有性質(zhì) .
(Ⅰ)寫出一個(gè)具有性質(zhì) 的數(shù)陣 ，滿足以下三個(gè)條件：① ，②數(shù)列 是公差為2的等差數(shù)列，③數(shù)列 是公比為 的等比數(shù)列;
(Ⅱ)將一個(gè)具有性質(zhì)A的數(shù)陣 的每一列原有的各數(shù)按照從上到下遞增的順序排列，形成一個(gè)新的 階數(shù)陣，記作數(shù)陣 .試判斷數(shù)陣 是否具有性質(zhì)A，并說明理由.
高三數(shù)學(xué)(理科)參考答案及評分參考
一、選擇題(共8小題，每小題5分，共40分)
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B C D A D C
二、填空題(共6小題，每小題5分，共30分。有兩空的小題，第一空3分，第二空2分)
9. 10. 11. 滿足 且 即可
12.1 13. 14.2; 且
三、解答題(共6小題，共80分)
15.(共13分)
解：(Ⅰ)在△ 中，因?yàn)?， ， ，
由余弦定理 ， ……………….2分
可得 ， ……………….4分
所以 ，或 (舍). ……………….6分
(Ⅱ)因?yàn)?，
所以 .
所以 的面積 . …………….13分
16.(共14分)
解：(Ⅰ)因?yàn)?底面 ， 底面 ，
所以 ，
正方形 中 ，
又因?yàn)?，
所以 平面 ，
因?yàn)?平面 ，
所以 . …………….4分
(Ⅱ)正方形 中 ，側(cè)棱 底面 .
如圖建立空間直角坐標(biāo)系 ，不妨設(shè) .
依題意，則 ，
所以 .
設(shè)平面 的法向量 ，
因?yàn)?，
所以 .
令 ，得 ，即 ，
所以 ，
所以直線 與平面 所成角的正弦值為 ; ………………11分
(Ⅲ)由(Ⅰ)知 平面 ，所以 為平面 的法向量，
因?yàn)?， 且二面角 為銳角，
所以二面角 的余弦值為 . …………………14分
17.(共13分)
解：(Ⅰ)7個(gè)展區(qū)企業(yè)數(shù)共400+60+70+650+1670+300+450=3600家，
其中備受關(guān)注的智能及高端裝備企業(yè)共 家，
設(shè)從各展區(qū)隨機(jī)選1家企業(yè)，這家企業(yè)是備受關(guān)注的智能及高端裝備為事件A,
所以 . ………………4分
(Ⅱ)消費(fèi)電子及家電備受關(guān)注的企業(yè)有 家，
醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健備受關(guān)注的企業(yè)有 家，共36家.
的可能取值為0，1，2.
所以隨機(jī)變量 的分布列為：
0 1 2
………………11分
(Ⅲ) ………………13分
18.(共14分)
解：(Ⅰ)由題意得 解得
所以橢圓C的方程為 ………………5分
(Ⅱ)設(shè) .
由 得
依題意 ，即 .
則 ………………8分
因?yàn)?/p>
.
所以直線 的傾斜角與直線 的傾斜角互補(bǔ)，即 .
因?yàn)?，所以 . …………………14分
19.(共13分)
解：(Ⅰ)因?yàn)?，所以 .
當(dāng) 時(shí)， 恒成立，
所以 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，
所以 . . .. …… …….5分
(Ⅱ)因?yàn)?，
所以 .
?、佼?dāng) 時(shí)，由(Ⅰ)知， 對 恒成立;
?、诋?dāng) 時(shí)，因?yàn)?，所以 .
因此 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，
所以 對 恒成立;
?、郛?dāng) 時(shí)，令 ，則 ，
因?yàn)?，所以 恒成立，
因此 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，
且 ，
所以存在唯一 使得 ，即 .
所以任意 時(shí)， ，所以 在 上單調(diào)遞減.
所以 ，不合題意. . .. …… …….12分
綜上可知， 的最小值為1. . .. …… …….13分
20.(共13分)
解：(Ⅰ) (答案不唯一). . .. …… …….4分
(Ⅱ)數(shù)陣 具有性質(zhì)A.
只需證明，對于任意的 ，都有 ，其中 .
下面用反證明法證明：
假設(shè)存在 ，則 都大于 ，即在第 列中，至少有 個(gè)數(shù)大于 ，且 .
根據(jù)題意，對于每一個(gè) ，都至少存在一個(gè) ，使得 ，即在第 列中，至少有 個(gè)數(shù)小于 .
所以，第 列中至少有 個(gè)數(shù)，這與第 列中只有 個(gè)數(shù)矛盾.
所以假設(shè)不成立.
所以數(shù)陣 具有性質(zhì)A. . .. …… …….13分
高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷帶答案
第一部分 (選擇題 共40分)
一、 選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。
1.已知集合 ， ，那么
(A)
(B)
(C)
(D)
2.復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 的值為
(A)
(B)
(C)
(D)
4.若 滿足 則 的最大值是
(A)
(B)
(C)1 (D)4
5.某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的
棱中，最長的棱的長度為
(A)2
(B)
(C)
(D)
6.設(shè) 是非零向量，則“ ”是“ ”的
(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件
(C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件
7.已知拋物線 的焦點(diǎn)與橢圓 的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且橢圓截拋物線的準(zhǔn)線所得線段長為6，那么該橢圓的離心率為
(A)
(B)
(C)
(D)
8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系 中， 是正六邊形
的中心，若 ，則點(diǎn) 的縱坐標(biāo)
為
(A)
(B)
(C)
(D)
第二部分(非選擇題 共110分)
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。
9.已知函數(shù) 的圖象過點(diǎn) ，那么 ____.
10.在△ 中，角 的對邊分別為 .若 ，且 ，則 ____.
11.能夠說明“設(shè) 是任意非零實(shí)數(shù).若 ，則 ”是假命題的一組整數(shù) 的值依次為____.
12.已知雙曲線 的一個(gè)焦點(diǎn)是 ，那么雙曲線 的漸近線方程為____.
13.已知兩點(diǎn) ， ，動(dòng)點(diǎn) 滿足 .若 為直線 上一動(dòng)點(diǎn)，則 的最小值為____.
14.已知函數(shù)
?、?若 ，則函數(shù) 的零點(diǎn)有____個(gè);
?、?若 對任意的實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是____.
三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。
15.(本小題13分)
已知函數(shù) .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)求證：當(dāng) 時(shí)， .
16.(本小題13分)
已知等差數(shù)列 和等比數(shù)列 滿足 ， .
(Ⅰ)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求和： .
17.(本小題14分)
如圖，在四棱柱 中，底面 為正方形，側(cè)棱 底面 ， 為棱 的中點(diǎn)， ， .
(Ⅰ)求證： 平面 ;
(Ⅱ)求證： ;
(Ⅲ)求三棱錐 的體積.
18.(本小題13分)
2018年11月5日上午，首屆中國國際進(jìn)口博覽會拉開大幕，這是中國也是世界上首次以進(jìn)口為主題的國家級博覽會.本次博覽會包括企業(yè)產(chǎn)品展、國家貿(mào)易投資展.其中企業(yè)產(chǎn)品展分為7個(gè)展區(qū)，每個(gè)展區(qū)統(tǒng)計(jì)了備受關(guān)注百分比，如下表：
展區(qū)類型 智能及高端裝備 消費(fèi)電子及家電 汽車 服裝服飾及日用消費(fèi)品 食品及農(nóng)產(chǎn)品 醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健 服務(wù)貿(mào)易
展區(qū)的企業(yè)數(shù)(家) 400 60 70 650 1670 300 450
備受關(guān)注百分比 25% 20% 10% 23% 18% 8% 24%
備受關(guān)注百分比指：一個(gè)展區(qū)中受到所有相關(guān)人士關(guān)注(簡稱備受關(guān)注)的企業(yè)數(shù)與該展區(qū)的企業(yè)數(shù)的比值.
(Ⅰ)從企業(yè)產(chǎn)品展7個(gè)展區(qū)的企業(yè)中隨機(jī)選取1家，求這家企業(yè)是選自“智能及高端裝備”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)的概率;
(Ⅱ)某電視臺采用分層抽樣的方法，在“消費(fèi)電子及家電”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)和“醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)中抽取6家進(jìn)行了采訪，若從受訪企業(yè)中隨機(jī)抽取2家進(jìn)行產(chǎn)品展示，求恰有1家來自于“醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健”展區(qū)的概率.
19.(本小題14分)
已知橢圓C: 的右焦點(diǎn)為 ，離心率為 ，直線 與橢圓C交于不同兩點(diǎn) .
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)求證：直線 的傾斜角與直線 的傾斜角互補(bǔ).
20.(本小題13分)
已知函數(shù) .
(Ⅰ)求曲線 在點(diǎn) 處的切線方程;
(Ⅱ)求證：當(dāng) 時(shí)， .
(考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效)
高三數(shù)學(xué)(文科)參考答案及評分參考 2019.01
一、選擇題(共8小題，每小題5分，共40分)
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B D D A D C
二、填空題(共6小題，每小題5分，共30分。有兩空的小題，第一空3分，第二空2分)
9. 10. 11.滿足 且 即可
12. 13. 14.2;
三、解答題(共6小題，共80分)
15.(共13分)
解：(Ⅰ)因?yàn)?/p>
所以 . ……………….6分
(Ⅱ)證明：因?yàn)?，
所以 .
當(dāng) 時(shí)，
即 時(shí)， 取得最小值 .
所以當(dāng) 時(shí)， . ……………….13分
16.(共13分)
解：(Ⅰ)因?yàn)?……………….2分
所以 ……………….4分
從而 . ………………6分
(Ⅱ)因?yàn)?………………8分
所以 ………………10分
所以 ， ………………11分
所以 . ………………13分
17.(共14分)
解：(Ⅰ)設(shè) ， 連接 ，
因?yàn)?中， ， 分別為 ， 的中點(diǎn)，
所以 為 的中位線，即 ， ………………2分
因?yàn)?平面 ， 平面 ，
所以 平面 . ………………4分
(Ⅱ)因?yàn)?側(cè)棱 底面 ， 底面 ，
所以 ， ………………5分
因?yàn)?底面 為正方形，
所以 ， ………………6分
因?yàn)?，
所以 平面 ， ……………… 8分
因?yàn)?平面 ，
所以 . ………………10分
(Ⅲ)因?yàn)?側(cè)棱 底面 于 ， 為棱 的中點(diǎn)，
所以 為三棱錐 的高.
因?yàn)?，
所以 .
因?yàn)?，
所以 .
所以 ， ………………14分
18.(共13分)
解：(Ⅰ)7個(gè)展區(qū)企業(yè)數(shù)共400+60+70+650+1670+300+450=3600家，
其中備受關(guān)注的智能及高端裝備企業(yè)共 家，
設(shè)從各展區(qū)隨機(jī)選1家企業(yè)，這家企業(yè)是備受關(guān)注的智能及高端裝備為事件A，
所以 . ………………5分
(Ⅱ)消費(fèi)電子及家電展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)有 家，醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)有 家，共36家.
所以抽取的6家企業(yè)中，來自消費(fèi)電子及家電展區(qū)企業(yè)有 家，記為 ， ;來自醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健展區(qū)企業(yè)有 家，記為 ， ， ， .
抽取兩家進(jìn)行產(chǎn)品展示的企業(yè)所有可能為：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共15種;
其中滿足恰有1家來自于醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健展區(qū)的有 ， ， ， ， ， ， ， ，共8種;
設(shè)恰有1家來自于醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健展區(qū)為事件 ，
所以 . ………………13分
19.(共14分)
解：(Ⅰ)由題意得 解得
所以橢圓C的方程為 …………………5分
(Ⅱ)設(shè) .
由 得
依題意 ，即 .
則 …………………8分
當(dāng) 或 時(shí)，得 ，不符合題意.
因?yàn)?/p>
.
所以直線 的傾斜角與直線 的傾斜角互補(bǔ). …………………14分
20.(共13分)
解：(Ⅰ)因?yàn)?.
所以 ， ，
所以曲線 在點(diǎn) 處的切線方程 .
整理得： ………………5分
(Ⅱ)先證 .
因?yàn)?， ，
所以 .
所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，
所以 ，
即 .① ………………8分
再證 .
設(shè) ，
則 ，
設(shè) ，
則 ，由①可知 ，
所以 在 上單調(diào)遞減， .
所以 時(shí)， .
所以 在 上單調(diào)遞減， .
即 .②
綜合①②可知:當(dāng) 時(shí)， . ………………13分
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