高一數(shù)學(xué)必修四知識(shí)點(diǎn)梳理

時(shí)間：2022-08-22 10:44:26 贊銳0由分享

要盡快適應(yīng)高中學(xué)習(xí)，同學(xué)們必須在了解高中學(xué)習(xí)特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，掌握科學(xué)的學(xué)習(xí)方法。掌握科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，應(yīng)做到主動(dòng)預(yù)習(xí)、正確聽(tīng)課、有效復(fù)習(xí)。以下是小編給大家整理的高一數(shù)學(xué)必修四知識(shí)點(diǎn)梳理，希望能幫助到你!

高一數(shù)學(xué)必修四知識(shí)點(diǎn)梳理1

【公式一】

設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：

sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)

cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)

tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)

cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)

【公式二】

設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tan(π+α)=tanα

cot(π+α)=cotα

【公式三】

任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα

tan(-α)=-tanα

cot(-α)=-cotα

【公式四】

利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin(π-α)=sinα

cos(π-α)=-cosα

tan(π-α)=-tanα

cot(π-α)=-cotα

【公式五】

利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin(2π-α)=-sinα

cos(2π-α)=cosα

tan(2π-α)=-tanα

cot(2π-α)=-cotα

【公式六】

π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin(π/2+α)=cosα

cos(π/2+α)=-sinα

tan(π/2+α)=-cotα

cot(π/2+α)=-tanα

sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2-α)=sinα

tan(π/2-α)=cotα

cot(π/2-α)=tanα

sin(3π/2+α)=-cosα

cos(3π/2+α)=sinα

tan(3π/2+α)=-cotα

cot(3π/2+α)=-tanα

sin(3π/2-α)=-cosα

cos(3π/2-α)=-sinα

tan(3π/2-α)=cotα

cot(3π/2-α)=tanα

(以上k∈Z)

高一數(shù)學(xué)必修四知識(shí)點(diǎn)梳理2

問(wèn)題提出

1.函數(shù)是研究?jī)蓚€(gè)變量之間的依存關(guān)系的一種數(shù)量形式.對(duì)于兩個(gè)變量,如果當(dāng)一個(gè)變量的取值一定時(shí)，另一個(gè)變量的取值被惟一確定，則這兩個(gè)變量之間的關(guān)系就是一個(gè)函數(shù)關(guān)系.

2.在中學(xué)校園里，有這樣一種說(shuō)法：“如果你的數(shù)學(xué)成績(jī)好,那么你的物理學(xué)習(xí)就不會(huì)有什么大問(wèn)題.”按照這種說(shuō)法,似乎學(xué)生的物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)之間存在著某種關(guān)系,我們把數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)看成是兩個(gè)變量,那么這兩個(gè)變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎?

3.我們不能通過(guò)一個(gè)人的數(shù)學(xué)成績(jī)是多少就準(zhǔn)確地?cái)喽ㄆ湮锢沓煽?jī)能達(dá)到多少,學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)時(shí)間、教學(xué)水平等,也是影響物理成績(jī)的一些因素,但這兩個(gè)變量是有一定關(guān)系的,它們之間是一種不確定性的關(guān)系.類(lèi)似于這樣的兩個(gè)變量之間的關(guān)系,有必要從理論上作些探討,如果能通過(guò)數(shù)學(xué)成績(jī)對(duì)物理成績(jī)進(jìn)行合理估計(jì),將有著非常重要的現(xiàn)實(shí)意義.

知識(shí)探究(一)：變量之間的相關(guān)關(guān)系

思考1:考察下列問(wèn)題中兩個(gè)變量之間的關(guān)系:

(1)商品銷(xiāo)售收入與廣告支出經(jīng)費(fèi);

(2)糧食產(chǎn)量與施肥量;

(3)人體內(nèi)的脂肪含量與年齡.

這些問(wèn)題中兩個(gè)變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎?

思考2：“名師出高徒”可以解釋為教師的水平越高，學(xué)生的水平就越高，那么學(xué)生的學(xué)業(yè)成績(jī)與教師的教學(xué)水平之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎?你能舉出類(lèi)似的描述生活中兩個(gè)變量之間的這種關(guān)系的成語(yǔ)嗎?

思考3:上述兩個(gè)變量之間的關(guān)系是一種非確定性關(guān)系,稱(chēng)之為相關(guān)關(guān)系,那么相關(guān)關(guān)系的含義如何?

自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系，叫做相關(guān)關(guān)系.

1、球的體積和球的半徑具有()

A函數(shù)關(guān)系B相關(guān)關(guān)系

C不確定關(guān)系D無(wú)任何關(guān)系

2、下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系不是

函數(shù)關(guān)系的是()

A角的度數(shù)和正弦值

B速度一定時(shí)，距離和時(shí)間的關(guān)系

C正方體的棱長(zhǎng)和體積

D日照時(shí)間和水稻的畝產(chǎn)量AD練:知識(shí)探究(二)：散點(diǎn)圖

【問(wèn)題】在一次對(duì)人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中,研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù):

其中各年齡對(duì)應(yīng)的脂肪數(shù)據(jù)是這個(gè)年齡人群脂肪含量的樣本平均數(shù).

思考1:對(duì)某一個(gè)人來(lái)說(shuō),他的體內(nèi)脂肪含量不一定隨年齡增長(zhǎng)而增加或減少,但是如果把很多個(gè)體放在一起，就可能表現(xiàn)出一定的規(guī)律性.觀察上表中的數(shù)據(jù),大體上看,隨著年齡的增加，人體脂肪含量怎樣變化?

思考2:為了確定年齡和人體脂肪含量之間的更明確的關(guān)系,我們需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,通過(guò)作圖可以對(duì)兩個(gè)變量之間的關(guān)系有一個(gè)直觀的印象.以x軸表示年齡,y軸表示脂肪含量,你能在直角坐標(biāo)系中描出樣本數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的圖形嗎?

思考3：上圖叫做散點(diǎn)圖，你能描述一下散點(diǎn)圖的含義嗎?

在平面直角坐標(biāo)系中，表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)圖形，稱(chēng)為散點(diǎn)圖.

思考4:觀察散點(diǎn)圖的大致趨勢(shì),人的年齡的與人體脂肪含量具有什么相關(guān)關(guān)系?

思考5：在上面的散點(diǎn)圖中,這些點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域,對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系,我們將它稱(chēng)為正相關(guān).一般地,如果兩個(gè)變量成正相關(guān)，那么這兩個(gè)變量的變化趨勢(shì)如何?

思考6：如果兩個(gè)變量成負(fù)相關(guān)，從整體上看這兩個(gè)變量的變化趨勢(shì)如何?其散點(diǎn)圖有什么特點(diǎn)?

一個(gè)變量隨另一個(gè)變量的變大而變小，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域.

一般情況下兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系成正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，類(lèi)似于函數(shù)的單調(diào)性.

知識(shí)探究(一)：回歸直線(xiàn)

思考1:一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是樣本數(shù)據(jù)的中心,那么散點(diǎn)圖中樣本點(diǎn)的中心如何確定?它一定是散點(diǎn)圖中的點(diǎn)嗎?

思考2:在各種各樣的散點(diǎn)圖中,有些散點(diǎn)圖中的點(diǎn)是雜亂分布的,有些散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布有一定的規(guī)律性,年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布有什么特點(diǎn)?

這些點(diǎn)大致分布在一條直線(xiàn)附近.

思考3:如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布,從整體上看大致在一條直線(xiàn)附近,則稱(chēng)這兩個(gè)變量之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,這條直線(xiàn)叫做回歸直線(xiàn).對(duì)具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量,其回歸直線(xiàn)一定通過(guò)樣本點(diǎn)的中心嗎?

思考4:對(duì)一組具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù),你認(rèn)為其回歸直線(xiàn)是一條還是幾條?

思考5:在樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中，能否用直尺準(zhǔn)確畫(huà)出回歸直線(xiàn)?借助計(jì)算機(jī)怎樣畫(huà)出回歸直線(xiàn)?

知識(shí)探究(二)：回歸方程

在直角坐標(biāo)系中，任何一條直線(xiàn)都有相應(yīng)的方程，回歸直線(xiàn)的方程稱(chēng)為回歸方程.對(duì)一組具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)，如果能夠求出它的回歸方程，那么我們就可以比較具體、清楚地了解兩個(gè)相關(guān)變量的內(nèi)在聯(lián)系，并根據(jù)回歸方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì).

思考1：回歸直線(xiàn)與散點(diǎn)圖中各點(diǎn)的位置應(yīng)具有怎樣的關(guān)系?

整體上最接近

思考2:對(duì)于求回歸直線(xiàn)方程，你有哪些想法?

思考4：為了從整體上反映n個(gè)樣本數(shù)據(jù)與回歸直線(xiàn)的接近程度，你認(rèn)為選用哪個(gè)數(shù)量關(guān)系來(lái)刻畫(huà)比較合適?20.9%某小賣(mài)部為了了解熱茶銷(xiāo)售量與氣溫

之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)并制作了某6天

賣(mài)出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)照表：

如果某天的氣溫是-50C，你能根據(jù)這些

數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)這天小賣(mài)部賣(mài)出熱茶的杯數(shù)嗎?

實(shí)例探究

為了了解熱茶銷(xiāo)量與

氣溫的大致關(guān)系,我們

以橫坐標(biāo)x表示氣溫，

縱坐標(biāo)y表示熱茶銷(xiāo)量，

建立直角坐標(biāo)系.將表

中數(shù)據(jù)構(gòu)成的6個(gè)數(shù)對(duì)

表示的點(diǎn)在坐標(biāo)系內(nèi)

標(biāo)出，得到下圖。

你發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)有什么規(guī)律?

今后我們稱(chēng)這樣的圖為散點(diǎn)圖(scatterplot).

建構(gòu)數(shù)學(xué)

所以,我們用類(lèi)似于估計(jì)平均數(shù)時(shí)的

思想,考慮離差的平方和

當(dāng)x=-5時(shí)，熱茶銷(xiāo)量約為66杯

線(xiàn)性回歸方程：

一般地,設(shè)有n個(gè)觀察數(shù)據(jù)如下：當(dāng)a,b使2.三點(diǎn)(3,10),(7,20),(11,24)的

線(xiàn)性回歸方程是()D11.69

二、求線(xiàn)性回歸方程

例2：觀察兩相關(guān)變量得如下表：

求兩變量間的回歸方程解1：列表：

閱讀課本P73例1

EXCEL作散點(diǎn)圖

利用線(xiàn)性回歸方程解題步驟：

1、先畫(huà)出所給數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖;

2、觀察散點(diǎn)，如果在一條直線(xiàn)附近，則說(shuō)明所給量具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系

3、根據(jù)公式求出線(xiàn)性回歸方程，并解決其他問(wèn)題。

(1)如果x=3,e=1,分別求兩個(gè)模型中y的值;(2)分別說(shuō)明以上兩個(gè)模型是確定性

模型還是隨機(jī)模型.

模型1：y=6+4x;模型2：y=6+4x+e.

解(1)模型1：y=6+4x=6+4×3=18;

模型2：y=6+4x+e=6+4×3+1=19.C線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性回歸方程小結(jié)1、變量間相關(guān)關(guān)系的散點(diǎn)圖

2、如何利用“最小二乘法”思想求直線(xiàn)的回歸方程

3、學(xué)會(huì)用回歸思想考察現(xiàn)實(shí)生活中變量之間的相關(guān)關(guān)系

高一數(shù)學(xué)必修四知識(shí)點(diǎn)梳理3

定義：

形如y=x^a(a為常數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量?jī)鐬橐蜃兞?，指?shù)為常量的函數(shù)稱(chēng)為冪函數(shù)。

定義域和值域：

當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。當(dāng)x為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域

性質(zhì)：

對(duì)于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來(lái)討論各自的特性：

首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數(shù)，則x^(p/q)=q次根號(hào)(x的p次方)，如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0，+∞)。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時(shí)，設(shè)a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制來(lái)源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：

排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能，即對(duì)于x>0，則a可以是任意實(shí)數(shù);

排除了為0這種可能，即對(duì)于x<0和x>0的所有實(shí)數(shù)，q不能是偶數(shù);

排除了為負(fù)數(shù)這種可能，即對(duì)于x為大于且等于0的所有實(shí)數(shù)，a就不能是負(fù)數(shù)。

總結(jié)起來(lái)，就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：

如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);

如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。

在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。

在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。

而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域。

由于x大于0是對(duì)a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況.

可以看到：

(1)所有的圖形都通過(guò)(1，1)這點(diǎn)。

(2)當(dāng)a大于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞增的，而a小于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。

(3)當(dāng)a大于1時(shí)，冪函數(shù)圖形下凹;當(dāng)a小于1大于0時(shí)，冪函數(shù)圖形上凸。

(4)當(dāng)a小于0時(shí)，a越小，圖形傾斜程度越大。

(5)a大于0，函數(shù)過(guò)(0，0);a小于0，函數(shù)不過(guò)(0，0)點(diǎn)。

(6)顯然冪函數(shù)_。

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