河南省高考數(shù)學(xué)一?？荚嚲?2)
河南省高考數(shù)學(xué)一模考試卷答案
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是渡河題目要求的.
1.設(shè)全集U={x∈N*|x≤4}，集合A={1，4}，B={2，4}，則∁U(A∩B)=( )
A.{1，2，3} B.{1，2，4} C.{1，3，4} D.{2，3，4}
【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.
【分析】由已知中全集U={x∈N*|x≤4}，A={1，4}，B={2，4}，根據(jù)補(bǔ)集的性質(zhì)及運(yùn)算方法，我們求出A∩B，再求出其補(bǔ)集，即可求出答案.
【解答】解：∵全集U={x∈N*|x≤4}={1，2，3，4}，A={1，4}，B={2，4}
∴A∩B={4}，
∴∁U(A∩B)={1，2，3}
故選：A.
2.設(shè)z=1+i(i是虛數(shù)單位)，則 ﹣ =( )
A.i B.2﹣i C.1﹣i D.0
【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.
【分析】把復(fù)數(shù)z代入，然后直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)求值
【解答】解：z=1+i(i是虛數(shù)單位)，則 ﹣ = ﹣(1﹣i)= ﹣1+i=1﹣i﹣1+i=0，
故選：D.
3.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若 = ，則cosB=( )
A.﹣ B. C.﹣ D.
【考點(diǎn)】正弦定理;余弦定理.
【分析】由已知及正弦定理可得 = ，解得tanB= ，結(jié)合范圍0
【解答】解：∵ = ，
又∵由正弦定理可得： ，
∴ = ，解得： cosB=sinB，
∴tanB= ，0
∴B= ，cosB= .
故選：B.
4.函數(shù)f(x)=excosx在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程是( )
A.x+y+1=0 B.x+y﹣1=0 C.x﹣y+1=0 D.x﹣y﹣1=0
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式方程可得所求切線的方程.
【解答】解：函數(shù)f(x)=excosx的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=ex(cosx﹣sinx)，
即有在點(diǎn)(0，f(0))處的切線斜率為k=e0(cos0﹣sin0)=1，
切點(diǎn)為(0，1)，
則在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y﹣1=x﹣0，即為x﹣y+1=0.
故選C.
5.已知函數(shù)f(x)=( )x﹣cosx，則f(x)在[0，2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理.
【分析】分別作出y=( )x和y=cosx在[0，2π]上的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)判斷.
【解答】解：令f(x)=0得( )x=cosx，
分別作出y=( )x和y=cosx的函數(shù)圖象，
由圖象可知y=( )x和y=cosx在[0，2π]上有3個(gè)交點(diǎn)，
∴f(x)在[0，2π]上有3個(gè)零點(diǎn).
故選：C.
6.按如下程序框圖，若輸出結(jié)果為273，則判斷框內(nèi)?處應(yīng)補(bǔ)充的條件為( )
A.i>7 B.i≥7 C.i>9 D.i≥9
【考點(diǎn)】程序框圖.
【分析】按照程序框圖的流程寫(xiě)出前三次循環(huán)的結(jié)果，直到第三次按照已知條件需要輸出，根據(jù)循環(huán)的i的值得到判斷框中的條件.
【解答】解：經(jīng)過(guò)第一次循環(huán)得到S=3，i=3
經(jīng)過(guò)第二次循環(huán)得到S=3+33=30，i=5
經(jīng)過(guò)第三次循環(huán)得到S=30+35=273，i=7
此時(shí)，需要輸出結(jié)果，此時(shí)的i滿足判斷框中的條件
故選：B.
7.設(shè)雙曲線 + =1的一條漸近線為y=﹣2x，且一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y= x2的焦點(diǎn)相同，則此雙曲線的方程為( )
A. x2﹣5y2=1 B.5y2﹣ x2=1 C.5x2﹣ y2=1 D. y2﹣5x2=1
【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).
【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，確定雙曲線的焦點(diǎn)，求出a，b，c，即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
【解答】解：∵雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y= x2的焦點(diǎn)相同，
∴雙曲線的焦點(diǎn)在y軸，且焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，1)，即c=1，
則雙曲線 + =1標(biāo)準(zhǔn)方程形式為 ﹣ =1，
則b>0，a<0，
由 ﹣ =0得y2= x2，
則雙曲線的漸近線為y=± x，
∵雙曲線一條漸近線為y=﹣2x，
∴ =2，即 =4，則b=﹣4a，
∵b+(﹣a)=c2=1，
∴﹣5a=1，則a=﹣ ，b= ，
則雙曲線的方程為 =1，即 y2﹣5x2=1，
故選：D
8.正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中的a1，a4031是函數(shù)f(x)= x3﹣4x2+6x﹣3的極值點(diǎn)，則 =( )
A.1 B.2 C. D.﹣1
【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.
【分析】f′(x)=x2﹣8x+6=0，由于a1，a4031是函數(shù)f(x)= x3﹣4x2+6x﹣3的極值點(diǎn)，可得a1•a4031=6，a2016= .即可得出.
【解答】解：f(x)= x3﹣4x2+6x﹣3，
∴f′(x)=x2﹣8x+6=0，
∵a1，a4031是函數(shù)f(x)= x3﹣4x2+6x﹣3的極值點(diǎn)，
∴a1•a4031=6，又an>0，
∴a2016= = .
∴ =1.
故選：A.
9.如圖是一個(gè)四面體的三視圖，這個(gè)三視圖均是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，正視圖和俯視圖中的虛線是三角形的中線，則該四面體的體積為( )
A. B. C. D.2
【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.
【分析】由四面體的三視圖得該四面體為棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中的三棱錐C1﹣BDE，其中E是CD中點(diǎn)，由此能求出該四面體的體積.
【解答】解：由四面體的三視圖得該四面體為棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中的三棱錐C1﹣BDE，
其中E是CD中點(diǎn)，
△BDE面積 ，三棱錐C1﹣BDE的高h(yuǎn)=CC1=2，
∴該四面體的體積：
V= = .
故選：A.
10.已知函數(shù)f(x)=x+ ，g(x)=2x+a，若∀x1∈[ ，1]，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.a≤1 B.a≥1 C.a≤2 D.a≥2
【考點(diǎn)】全稱命題.
【分析】由∀x1∈[﹣1，2]，都∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，可得f(x)=x2+1在x1∈[﹣1，2]的最小值不小于g(x)=ax+2在x2∈[1，2]的最小值，構(gòu)造關(guān)于a的不等式組，可得結(jié)論.
【解答】解：當(dāng)x1∈[ ，1]時(shí)，由f(x)=x+ 得，f′(x)= ，
令f′(x)>0，解得：x>2，令f′(x)<0，解得：x<2，
∴f(x)在[ ，1]單調(diào)遞減，
∴f(1)=5是函數(shù)的最小值，
當(dāng)x2∈[2，3]時(shí)，g(x)=2x+a為增函數(shù)，
∴g(2)=a+4是函數(shù)的最小值，
又∵∀x1∈[ ，1]，都∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，
可得f(x)在x1∈[ ，1]的最小值不小于g(x)在x2∈[2，3]的最小值，
即5≥a+4，解得：a≤1，
故選：A.
11.已知橢圓 + =1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若△F1AB是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則離心率為 ( )
A. B.2﹣ C. ﹣2 D. ﹣
【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).
【分析】設(shè)|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1構(gòu)成以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則|AB|=|AF1|=m，|BF1|= m，再由橢圓的定義和周長(zhǎng)的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，求得 ，開(kāi)方得答案.
【解答】解：如圖，設(shè)|F1F2|=2c，|AF1|=m，
若△ABF1構(gòu)成以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
則|AB|=|AF1|=m，|BF1|= m，
由橢圓的定義可得△ABF1的周長(zhǎng)為4a，
即有4a=2m+ m，即m=2(2﹣ )a，
則|AF2|=2a﹣m=(2 ﹣2)a，
在直角三角形AF1F2中，
|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，
即4c2=4(2﹣ )2a2+4( ﹣1)2a2，
∴c2=(9﹣6 )a2，
則e2= =9﹣6 = ，
∴e= .
故選：D.
12.已知函數(shù)f(x)= ，若關(guān)于x的不等式[f(x)]2+af(x)﹣b2<0恰有1個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的最大值是( )
A.2 B.3 C.5 D.8
【考點(diǎn)】一元二次不等式的解法.
【分析】畫(huà)出函數(shù)f(x)= 的圖象，對(duì)b，a分類討論，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用數(shù)形結(jié)合即可得出.
【解答】解：函數(shù)f(x)= ，如圖所示，
?、佼?dāng)b=0時(shí)，[f(x)]2+af(x)﹣b2<0化為[f(x)]2+af(x)<0，
當(dāng)a>0時(shí)，﹣a
由于關(guān)于x的不等式[f(x)]2+af(x)﹣b2<0恰有1個(gè)整數(shù)解，
因此其整數(shù)解為3，又f(3)=﹣9+6=﹣3，
∴﹣a<﹣3<0，﹣a≥f(4)=﹣8，
則8≥a>3，
a≤0不必考慮.
?、诋?dāng)b≠0時(shí)，對(duì)于[f(x)]2+af(x)﹣b2<0，
△=a2+4b2>0，
解得：
只考慮a>0，
則 <0< ，
由于f(x)=0時(shí)，不等式的解集中含有多與一個(gè)整數(shù)解(例如，0，2)，舍去.
綜上可得：a的最大值為8.
故選：D.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13.二項(xiàng)式 的展開(kāi)式中，x2項(xiàng)的系數(shù)為 60 .
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)題意，可得 的通項(xiàng)為Tr+1=C6r•(x)6﹣r•(﹣ )r=(﹣1)rC6r•2r•(x)6﹣2r，令6﹣2r=2，可得r=2，將r=2代入通項(xiàng)可得T3=60x2，即可得答案.
【解答】解：根據(jù)二項(xiàng)式定理， 的通項(xiàng)為Tr+1=C6r•(x)6﹣r•(﹣ )r=(﹣1)rC6r•2r•(x)6﹣2r，
當(dāng)6﹣2r=2時(shí)，即r=2時(shí)，可得T3=60x2，
即x2項(xiàng)的系數(shù)為60，
故答案為60.
14.若不等式x2+y2≤2所表示的區(qū)域?yàn)镸，不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)镹，現(xiàn)隨機(jī)向區(qū)域N內(nèi)拋一粒豆子，則豆子落在區(qū)域M內(nèi)的概率為 .
【考點(diǎn)】幾何概型;簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.
【分析】由題意，所求概率滿足幾何概型的概率，只要分別求出S陰影，SN，求面積比即可.
【解答】解：由題，圖中△OCD表示N區(qū)域，其中C(6，6)，D(2，﹣2)
所以SN= × =12，S陰影= = ，
所以豆子落在區(qū)域M內(nèi)的概率為 .
故答案為： .
15.△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C，若 =tan(﹣ π)，則2cosB+sin2C的最大值為 .
【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值.
【分析】由條件利用兩角和差的正切公式，誘導(dǎo)公式，求得 A= .余弦函數(shù)的值域，二次函數(shù)的性質(zhì)求得2cosB+sin2C 的最大值.
【解答】解：△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C，若 =tan(﹣ π)，
則 =﹣tan(A+ )=tan(﹣ π)=﹣tan π，
∴A+ =kπ+ ，∴A=kπ+ ，k∈Z，∴A= .
則2cosB+sin2C=2cosB+sin2[π﹣(A+B)]=2cosB+sin2[π﹣( +B)]=2cosB+sin( ﹣2B)
2cosB﹣cos2B=2cosB﹣(2cos2B﹣1)=﹣2cos2B+2cosB+1=﹣2 + ，
由于B∈(0， )，cosB∈(﹣ ，1)，故當(dāng)cosB= 時(shí)，2cosB+sin2C取得最大為 ，
故答案為： .
16.已知點(diǎn)A(0，﹣1)，B(3，0)，C(1，2)，平面區(qū)域P是由所有滿足 =λ +μ (2<λ≤m，2<μ≤n)的點(diǎn)M組成的區(qū)域，若區(qū)域P的面積為6，則m+n的最小值為 4+ .
【考點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義.
【分析】設(shè)M(x，y)，作出M點(diǎn)所在的平面區(qū)域，根據(jù)面積得出關(guān)于m，n的等式，利用基本不等式便可得出m+n的最小值.
【解答】解：設(shè)M(x，y)， ， ;
∴ ， ;
令 ，以AE，AF為鄰邊作平行四邊形AENF，令 ，以AP，AQ為鄰邊作平行四邊形APGQ;
∵ ;
∴符合條件的M組成的區(qū)域是平行四邊形NIGH，如圖所示;
∴ ;
∴ ;
∵ ;
∴ ;
∴3≤(m+n﹣4)2;
∴ ;
∴m+n的最小值為 .
故答案為：4+ .
三、解答題(滿分60分)
17.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和Sn，且數(shù)列{ }是公差為2的等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=(﹣1)nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
【考點(diǎn)】數(shù)列的求和;等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【分析】(1)運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得Sn=n(2n﹣1)，再由n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1，即可得到所求通項(xiàng);
(2)求得bn=(﹣1)nan=(﹣1)n•(4n﹣3).討論n為偶數(shù)，n為奇數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式計(jì)算即可得到所求和.
【解答】解：(1)由數(shù)列{ }是公差為2的等差數(shù)列，
可得 =1+2(n﹣1)=2n﹣1，
即Sn=n(2n﹣1)，
n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=n(2n﹣1)﹣(n﹣1)(2n﹣3)=4n﹣3，
對(duì)n=1時(shí)，上式也成立.
故an=4n﹣3;
(2)bn=(﹣1)nan=(﹣1)n•(4n﹣3).
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，前n項(xiàng)和Tn=﹣1+5﹣9+13﹣…﹣(4n﹣7)+(4n﹣3)
=4× =2n;
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，前n項(xiàng)和Tn=Tn﹣1+(﹣4n+3)
=2(n﹣1)﹣4n+3=1﹣2n.
則Tn= .
18.某中藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一、周二兩天內(nèi)采摘完畢，基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘，由于下雨會(huì)影響藥材品質(zhì)，基地收益如下表所示：
周一 無(wú)雨 無(wú)雨 有雨 有雨
周二 無(wú)雨 有雨 無(wú)雨 有雨
收益 20萬(wàn) 15萬(wàn) 10萬(wàn) 7.5萬(wàn)
若基地額外聘請(qǐng)工人，可在周一當(dāng)天完成全部采摘任務(wù);無(wú)雨時(shí)收益為20萬(wàn)元;有雨時(shí)收益為10萬(wàn)元，額外聘請(qǐng)工人的成本為a萬(wàn)元.已知下周一和下周二有雨的概率相同，兩天是否下雨互不影響，基地收益為20萬(wàn)元的概率為0.36.(1)若不額外聘請(qǐng)工人，寫(xiě)出基地收益X的分布列及基地的預(yù)期收益;
(2)該基地是否應(yīng)該外聘工人，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差;離散型隨機(jī)變量及其分布列.
【分析】(1)解設(shè)下周一有雨的概率為p，由題意，p2=0.36，p=0.6，基地收益x的可能取值為20，15，10，7.5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出基地收益X的分布列和基地的預(yù)期收益.
(2)設(shè)基地額外聘請(qǐng)工人時(shí)的收益為Y萬(wàn)元，其預(yù)期收益E(Y)=16﹣a(萬(wàn)元)，E(Y)﹣E(X)=1.6﹣a，由此能求出結(jié)果.
【解答】解：(1)設(shè)下周一有雨的概率為p，
由題意，p2=0.36，p=0.6，基地收益x的可能取值為20，15，10，7.5，
則P(X=20)=0.36，
P(X=15)=0.24，
P(X=10)=0.24，
P(X=7.5)=0.16，
所以基地收益X的分布列為：
X 20 15 10 7.5
P 0.36 0.24 0.24 0.16
基地的預(yù)期收益EX=20×0.36+15×0.24+10×0.24+7.5×0.16=14.4，
∴基地的預(yù)期收益為14.4萬(wàn)元.
(2)設(shè)基地額外聘請(qǐng)工人時(shí)的收益為Y萬(wàn)元，
則其預(yù)期收益E(Y)=20×0.6+10×0.4﹣a=16﹣a(萬(wàn)元)，
E(Y)﹣E(X)=1.6﹣a，
綜上，當(dāng)額外聘請(qǐng)工人的成本高于1.6萬(wàn)元時(shí)，不外聘工人;
成本低于1.6萬(wàn)元時(shí)，外聘工人;
成本恰為1.6萬(wàn)元時(shí)，是否外聘工人均可以.
19.如圖，矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD= CD，BE⊥DF.
(1)若M位EA的中點(diǎn)，求證：AC∥平面MDF;
(2)求平面EAD與平面EBC所成的銳二面角的大小.
【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法;直線與平面平行的判定.
【分析】(1)設(shè)EC與DF交于點(diǎn)N，連結(jié)MN，則MN∥AC，由此能證明AC∥平面MDF.
(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面EAD與EBC所成銳二面角的大小.
【解答】證明：(1)設(shè)EC與DF交于點(diǎn)N，連結(jié)MN，
在矩形CDEF中，點(diǎn)N為EC中點(diǎn)，
因?yàn)镸為EA中點(diǎn)，所以MN∥AC，
又因?yàn)锳C⊄平面MDF，MN⊂平面MDF，
所以AC∥平面MDF.﹣﹣﹣﹣﹣
解：(2)因?yàn)槠矫鍯DEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD=CD，
DE⊂平面CDEF，DE⊥CD，
所以DE⊥平面ABCD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)DA=a，DE=b，B(a，a，0)，E(0，0，b)，C(0，2a，0)，F(xiàn)(0，2a，b)，
，
因?yàn)锽E⊥DF，
所以 ， ，﹣﹣
設(shè)平面EBC的法向量 ，
由 ，取a=1，得 ，
平面EAD的法向量 ，﹣﹣
而 ，
所以，平面EAD與EBC所成銳二面角的大小為60°.
20.已知點(diǎn)M(﹣1，0)，N(1，0)，曲線E上任意一點(diǎn)到點(diǎn)M的距離均是到點(diǎn)N的距離的 倍.
(1)求曲線E的方程;
(2)已知m≠0，設(shè)直線l：x﹣my﹣1=0交曲線E于A，C兩點(diǎn)，直線l2：mx+y﹣m=0交曲線E于B，D兩點(diǎn)，C，D兩點(diǎn)均在x軸下方，當(dāng)CD的斜率為﹣1時(shí)，求線段AB的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】直線和圓的方程的應(yīng)用.
【分析】(1)設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，由題目條件進(jìn)行計(jì)算即可;
(2)由直線EP：y=x﹣2，設(shè)直線CD：y=﹣x+t，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，解得t的值.又C，D兩點(diǎn)均在x軸下方，直線CD：y=﹣x，解得C，D的坐標(biāo)，進(jìn)而可以解得m的值.
【解答】解：(1)設(shè)曲線E上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，
由題意， ，﹣﹣﹣﹣﹣
整理得x2+y2﹣4x+1=0，即(x﹣2)2+y2=3為所求.﹣﹣﹣﹣﹣
(2)由題知l1⊥l2，且兩條直線均恒過(guò)點(diǎn)N(1，0)，
設(shè)曲線E的圓心為E，則E(2，0)，線段CD的中點(diǎn)為P，
則直線EP：y=x﹣2，設(shè)直線CD：y=﹣x+t，
由 ，解得點(diǎn) ，﹣﹣﹣﹣﹣
由圓的幾何性質(zhì)， ，
而 ，|ED|2=3， ，解之得t=0或t=3，
又C，D兩點(diǎn)均在x軸下方，直線CD：y=﹣x.
由 解得 或
不失一般性，設(shè) ，﹣﹣
由 消y得：(u2+1)x2﹣2(u2+2)x+u2+1=0，(1)
方程(1)的兩根之積為1，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo) ，
又因?yàn)辄c(diǎn) 在直線l1：x﹣my﹣1=0上，解得 ，
直線 ，所以 ，﹣﹣
同理可得， ，所以線段AB的長(zhǎng)為 .﹣﹣
21.設(shè)函數(shù)f(x)= x2﹣mlnx，g(x)=x2﹣(m+1)x.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)m≥1時(shí)，討論函數(shù)f(x)與g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;函數(shù)的圖象.
【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論m的范圍，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(2)令F(x)=f(x)﹣g(x)，問(wèn)題等價(jià)于求F(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及m的范圍，求出即可.
【解答】解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，+∞)，
f′(x)=x﹣ = ，
m≤0時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(0，+∞)遞增，
m>0時(shí)， ，…
當(dāng) 時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減，
當(dāng) 時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增.
綜上：m≤0時(shí)，f(x)在(0，+∞)遞增;
m>0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是 ，減區(qū)間是 .…
(2)令 ，
問(wèn)題等價(jià)于求函數(shù)F(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，…
，當(dāng)m=1時(shí)，F(xiàn)'(x)≤0，函數(shù)F(x)為減函數(shù)，
注意到 ，F(xiàn)(4)=﹣ln4<0，所以F(x)有唯一零點(diǎn);…
當(dāng)m>1時(shí)，0
所以函數(shù)F(x)在(0，1)和(m，+∞)單調(diào)遞減，在(1，m)單調(diào)遞增，
注意到 ，F(xiàn)(2m+2)=﹣mln(2m+2)<0，
所以F(x)有唯一零點(diǎn); …
綜上，函數(shù)F(x)有唯一零點(diǎn)，即兩函數(shù)圖象總有一個(gè)交點(diǎn).…
請(qǐng)考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.選修4-1：幾何證明選講.
22.如圖，∠BAC的平分線與BC和△ABC的外接圓分別相交于D和E，延長(zhǎng)AC交過(guò)D，E，C三點(diǎn)的圓于點(diǎn)F.
(1)求證：EC=EF;(2)若ED=2，EF=3，求AC•AF的值.
【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段;相似三角形的性質(zhì).
【分析】(1)證明∠ECF=∠EFC，即可證明EC=EF;
(2)證明△CEA∽△DEC，求出EA，利用割線定理，即可求AC•AF的值.
【解答】(1)證明：因?yàn)?ang;ECF=∠CAE+∠CEA=∠CAE+∠CBA，∠EFC=∠CDA=∠BAE+∠CBA，AE平分∠BAC，
所以∠ECF=∠EFC，所以EC=EF.﹣﹣﹣
(2)解：因?yàn)?ang;ECD=∠BAE=∠EAC，∠CEA=∠DEC，
所以△CEA∽△DEC，即 ，﹣﹣﹣
由(1)知，EC=EF=3，所以 ，﹣﹣﹣
所以 .﹣﹣﹣
選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
23.已知曲線C1的參數(shù)方程為 曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2 cos(θ﹣ )，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)求曲線C2上的動(dòng)點(diǎn)M到直線C1的距離的最大值.
【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程;參數(shù)方程化成普通方程.
【分析】(Ⅰ)由ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，x=ρcosθ，能求出C2的直角坐標(biāo)方程.
(Ⅱ)曲線C1消去參數(shù)，得C1的直角坐標(biāo)方程為 ，求出圓心到直線C1的距離，由此能求出動(dòng)點(diǎn)M到曲線C1的距離的最大值.
【解答】解：(Ⅰ) ，…
即ρ2=2(ρcosθ+ρsinθ)，
∴x2+y2﹣2x﹣2y=0，
故C2的直角坐標(biāo)方程為(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.…
(Ⅱ)∵曲線C1的參數(shù)方程為 ，
∴C1的直角坐標(biāo)方程為 ，
由(Ⅰ)知曲線C2是以(1，1)為圓心的圓，
且圓心到直線C1的距離 ，…
∴動(dòng)點(diǎn)M到曲線C1的距離的最大值為 .…
選修4-5：不等式選講
24.已知函數(shù)f(x)=|x﹣2|﹣|x+1|.
(1)解不等式f(x)>1.
(2)當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)g(x)= (a>0)的最小值總大于函數(shù)f(x)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【考點(diǎn)】絕對(duì)值三角不等式;分段函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)分類討論，去掉絕對(duì)值，求得原絕對(duì)值不等式的解集.
(2)由條件利用基本不等式求得 ，f(x)∈[﹣3，1)，再由 ，求得a的范圍.
【解答】(1)解：當(dāng)x>2時(shí)，原不等式可化為x﹣2﹣x﹣1>1，此時(shí)不成立;
當(dāng)﹣1≤x≤2時(shí)，原不等式可化為2﹣x﹣x﹣1>1，即﹣1≤x<0，
當(dāng)x<﹣1時(shí)，原不等式可化為2﹣x+x+1>1，即x<﹣1，
綜上，原不等式的解集是{x|x<0}.
(2)解：因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)， ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)“=”成立，
所以 ， ，所以f(x)∈[﹣3，1)，
∴ ，即a≥1為所求.
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