廣州市文科數(shù)學一模考試卷(2)
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一、選擇題(共12小題，每小題5分，滿分60分)
1.設集合S={x|x<﹣5或x>5}，T={x|﹣7
A.{x|﹣7
【考點】交集及其運算.
【分析】利用交集定義和不等式性質(zhì)求解.
【解答】解：∵集合S={x|x<﹣5或x>5}，T={x|﹣7
∴S∩T={x|﹣7
故選：A.
2.在區(qū)間[﹣1，m]上隨機選取一個數(shù)x，若x≤1的概率為 ，則實數(shù)m的值為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考點】幾何概型.
【分析】利用幾何概型的公式，利用區(qū)間長度的比值得到關于m 的等式解之.
【解答】解：由題意x≤1的概率為 ，則 ，解得m=4;
故選C.
3.設f(x)= ，則f(f(2))的值為( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【考點】分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法.
【分析】考查對分段函數(shù)的理解程度，f(2)=log3(22﹣1)=1，所以f(f(2))=f(1)=2e1﹣1=2.
【解答】解：f(f(2))=f(log3(22﹣1))=f(1)=2e1﹣1=2，故選C.
4.已知雙曲線 ﹣ =1的左、右焦點分別為F1、F2，且F2為拋物線y2=2px的焦點，設P為兩曲線的一個公共點，則△PF1F2的面積為( )
A.18 B.18 C.36 D.36
【考點】雙曲線的簡單性質(zhì).
【分析】求出P的坐標，即可求出△PF1F2的面積.
【解答】解：由題意， =6，p=12，
雙曲線方程與拋物線方程聯(lián)立，可得P(9，6 )，
∴△PF1F2的面積為 =36 ，
故選D.
5.若實數(shù)x、y滿足 ，則z=2x﹣y的最大值為( )
A. B. C.1 D.2
【考點】簡單線性規(guī)劃.
【分析】作出可行域，變形目標函數(shù)，平移直線y=2x可得結(jié)論.
【解答】解：作出約束條件 ，所對應的可行域(如圖△ABO)，
變形目標函數(shù)可得y=2x﹣z，平移直線y=2x可知當直線經(jīng)過點A時，
直線的截距最小，z取最大值，由 可得 ，A( ， )
代值計算可得z=2x﹣y的最大值為1，
故選：C.
6.已知命題p：∀x∈R，x2﹣2xsinθ+1≥0;命題q：∃α，β∈R，sin(α+β)≤sinα+sinβ，則下列命題中的真命題為( )
A.(￢p)∧q B.￢(p∧q) C.(￢p)∨q D.p∧(￢q)
【考點】復合命題的真假.
【分析】分別判斷出p，q的真假，從而判斷出復合命題的真假即可.
【解答】解：關于命題p：∀x∈R，x2﹣2xsinθ+1≥0，△=4sin2θ﹣4≤0，故p是真命題，
關于命題q：∃α，β∈R，sin(α+β)≤sinα+sinβ，是真命題，
∴(￢p)∨q是真命題，
故選：C.
7.若函數(shù)f(x)為區(qū)間D上的凸函數(shù)，則對于D上的任意n個值x1、x2、…、xn，總有f(x1)+f(x2)+…+f(xn)≤nf( )，現(xiàn)已知函數(shù)f(x)=sinx在[0， ]上是凸函數(shù)，則在銳角△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值為( )
A. B. C. D.
【考點】三角函數(shù)的化簡求值.
【分析】利用凸函數(shù)對于D上的任意n個值x1、x2、…、xn，總有f(x1)+f(x2)+…+f(xn)≤nf( )，將函數(shù)f(x)=sinx在[0， ]，sinA+sinB+sinC ，得到所求.
【解答】解：由已知凸函數(shù)的性質(zhì)得到sinA+sinB+sinC =3sin = ;
所以在銳角△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值為 ;
故選D.
8.三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，若該三棱柱的所有頂點都在同一球面上，則該球的表面積為( )
A.48π B.32π C.12π D.8π
【考點】球的體積和表面積.
【分析】以AB，BC，AA1為棱構(gòu)造一個正方體，則該三棱柱的所有頂點都在該正方體的外接球上，由此能求出該球的表面積.
【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，
∴以AB，BC，AA1為棱構(gòu)造一個正方體，
則該三棱柱的所有頂點都在該正方體的外接球上，
該球的半徑R= = ，
∴該球的表面積為S=4πR2=4π×3=12π.
故選：C.
9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若x∈[a，b]，y∈[0，4]，則b﹣a的最小值為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考點】程序框圖.
【分析】寫出分段函數(shù)，利用x∈[a，b]，y∈[0，4]，即可b﹣a的最小值.
【解答】解：由題意，y= ，
x∈[a，b]，y∈[0，4]，則b﹣a的最小值為2，此時區(qū)間為[0，2]或[2，4]，
故選A.
10.已知向量 、 、 滿足 = + ，| |=2，| |=1，E、F分別是線段BC、CD的中點，若 • =﹣ ，則向量 與 的夾角為( )
A. B. C. D.
【考點】平面向量數(shù)量積的運算.
【分析】由題意畫出圖形，結(jié)合 • 求得< ， >的值，即可求出向量 與 的夾角.
【解答】解：如圖所示，
• =( ﹣ )•( ﹣ )= • ﹣ ﹣ =﹣ ;
由| |=| |=2，| |=| |=1，
可得 • =1，
∴cos< ， >= ，
∴< ， >= ，
即向量 與 的夾角為 .
故選：B.
11.一塊邊長為6cm的正方形鐵皮按如圖(1)所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正三棱錐形容器，將該容器按如圖(2)放置，若其正視圖為等腰直角三角形(如圖(3))，則該容器的體積為( )
A. B. C. D.
【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積.
【分析】推導出PM+PN=6，且PM=PN，MN=3 ，PM=3，設MN中點為O，則PO⊥平面ABCD，由此能求出該容器的體積.
【解答】解：如圖(2)，△PMN是該四棱錐的正視圖，
由圖(1)知：PM+PN=6，且PM=PN，
由△PMN為等腰直角三角形，知MN=3 ，PM=3，
設MN中點為O，則PO⊥平面ABCD，∴PO= ，
∴該容器的體積為 = =9 .
故選：D.
12.已知橢圓E： + =1的一個頂點為C(0，﹣2)，直線l與橢圓E交于A、B兩點，若E的左焦點為△ABC的重心，則直線l的方程為( )
A.6x﹣5y﹣14=0 B.6x﹣5y+14=0 C.6x+5y+14=0 D.6x+5y﹣14=0
【考點】橢圓的簡單性質(zhì).
【分析】先由橢圓左焦點F1恰為△ABC的重心，得相交弦AB的中點坐標，再由點A、B在橢圓上，利用點差法，將中點坐標代入即可的直線l的斜率，最后由直線方程的點斜式寫出直線方程即可.
【解答】解：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，橢圓 + =1的左焦點為(﹣1，0)，
∵點C(0，﹣2)，且橢圓左焦點F1恰為△ABC的重心
∴ =﹣1， =0
∴x1+x2=﹣3，y1+y2=2 ①
∵ ， ，
∴兩式相減得： + =0
將①代入得： = ，即直線l的斜率為k= = ，
∵直線l 過AB中點(﹣ ，1)
∴直線l的方程為y﹣1= (x+ )
故答案為6x﹣5y+14=0，
故選B.
二、填空題(共4小題，每小題5分，滿分20分)
13.若復數(shù)a+i是純虛數(shù)，則實數(shù)a= 0 .
【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算.
【分析】利用純虛數(shù)的定義即可得出.
【解答】解：∵復數(shù)a+i是純虛數(shù)，則實數(shù)a=0.
故答案為：0.
14.曲線y=sinx+1在點(0，1)處的切線方程為 x﹣y+1=0 .
【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程.
【分析】先對函數(shù)y=sinx+1進行求導，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出曲線y=sinx+1在點x=0處的切線斜率，由點斜式方程進而可得到切線方程.
【解答】解：∵y′=cosx，
∴切線的斜率k=y′|x=0=1，
∴切線方程為y﹣1=x﹣0，
即x﹣y+1=0.
故答案為：x﹣y+1=0.
15.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(x)滿足f(x+2)=﹣f(x)，當0≤x≤1時，f(x)=x，則f(37.5)等于 ﹣0.5 .
【考點】抽象函數(shù)及其應用.
【分析】根據(jù)題意，由f(x+2)=﹣f(x)可得f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為4，即有f(37.5)=f(1.5)，結(jié)合題意可得f(1.5)=f[2+(﹣0.5)]=﹣f(﹣0.5)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得f(0.5)=﹣f(﹣0.5)，進而結(jié)合函數(shù)在0≤x≤1上的解析式可得f(0.5)的值，綜合即可得答案.
【解答】解：根據(jù)題意，由于f(x+2)=﹣f(x)，則有f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為4，
則有f(37.5)=f(1.5+4×9)=f(1.5)，
又由f(x+2)=﹣f(x)，則有f(1.5)=f[2+(﹣0.5)]=﹣f(﹣0.5)，
又由函數(shù)為奇函數(shù)，則f(0.5)=﹣f(﹣0.5)，
又由當0≤x≤1時，f(x)=x，則f(0.5)=0.5;
則有f(37.5)=f(1.5)=﹣f(﹣0.5)=f(0.5)=0.5，
故f(37.5)=0.5;
故答案為：0.5.
16.函數(shù)f(x)=sinωx+ cosωx+1(ω>0)的最小正周期為π，當x∈[m，n]時，f(x)至少有5個零點，則n﹣m的最小值為 2π .
【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應用;正弦函數(shù)的圖象.
【分析】將函數(shù)化簡為f(x)=2sin(2ωx+ )+1.的最小正周期為π，可得f(x)=2sin(2x+ )+1.可知在y軸左側(cè)的第一個零點為 ，右側(cè)的第一個零點為 ，x∈[m，n]時，f(x)至少有5個零點，可得n﹣m的最小值.
【解答】解：函數(shù)f(x)=sinωx+ cosωx+1(ω>0)
化簡可得：f(x)=2sin(2ωx+ )+1.
∵最小正周期為π，即T=π，
∴ ，可得ω=1.
∴f(x)=2sin(2x+ )+1.
根據(jù)正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知：函數(shù)f(x)的y軸左側(cè)的第一個零點為 ，右側(cè)的第一個零點為 ，x∈[m，n]時，f(x)至少有5個零點，不妨設m= ，則n= .
此時n﹣m可得最小值為2π.
故答案為2π.
三、解答題(共6小題，滿分70分)
17.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，已知A=60°，b=5，c=4.
(1)求a;
(2)求sinBsinC的值.
【考點】余弦定理;正弦定理.
【分析】(1)由題意和余弦定理列出式子，即可求出a的值;
(2)由條件和正弦定理求出sinB和sinC的值，代入式子求出答案.
【解答】解：(1)因為A=60°，b=5，c=4，
所以由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA
=25+16﹣ =21，
則a= ;
(2)由正弦定理得， = = ，
所以sinB= = ，sinC= =
所以sinBsinC= × = .
18.設等差數(shù)列{an}的公差為d，且2a1=d，2an=a2n﹣1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設bn= ，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
【考點】數(shù)列遞推式;數(shù)列的求和.
【分析】(1)利用遞推關系、等差數(shù)列的通項公式即可得出.
(2)利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出.
【解答】解：(1)∵等差數(shù)列{an}的公差為d，2an=a2n﹣1.
取n=1，則2a1=a2﹣1=a1+d﹣1，與2a1=d聯(lián)立，解得d=2，a1=1.
∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1.
(2)bn= = = ，
∴數(shù)列{bn}的前n項和Sn= +…+ ，
= +…+ + ，
∴ = +…+ ﹣ = ﹣ ，
∴Sn=2﹣ .
19.某市為了解各校(同學)課程的教學效果，組織全市各學校高二年級全體學生參加了國學知識水平測試，測試成績從高到低依次分為A、B、C、D四個等級，隨機調(diào)閱了甲、乙兩所學校各60名學生的成績，得到如圖所示分布圖：
(Ⅰ)試確定圖中實數(shù)a與b的值;
(Ⅱ)若將等級A、B、C、D依次按照90分、80分、60分、50分轉(zhuǎn)換成分數(shù)，試分別估計兩校學生國學成績的均值;
(Ⅲ)從兩校獲得A等級的同學中按比例抽取5人參加集訓，集訓后由于成績相當，決定從中隨機選2人代表本市參加省級比賽，求兩人來自同一學校的概率.
【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.
【分析】(Ⅰ)由甲校樣本頻數(shù)分布條形圖能求出a，由乙校樣本頻率分布條形圖能求出b.
(Ⅱ)由樣本數(shù)據(jù)能求出甲校的平均值和乙校的平均值.
(Ⅲ)由樣本數(shù)據(jù)可知集訓的5人中甲校抽2人，分別記作E，F(xiàn)，乙校抽3人，分別記作M，N，Q，從5人中任選2人，利用列舉法能求出兩人來自同一學校的概率.
【解答】解：(Ⅰ)∵測試成績從高到低依次分為A、B、C、D四個等級，
隨機調(diào)閱了甲、乙兩所學校各60名學生的成績，
∴由甲校樣本頻數(shù)分布條形圖知：
6+a+33+6=60，解得a=15，
由乙校樣本頻率分布條形圖得：0.15+b+0.2+0.15=1，解得b=0.5.
(Ⅱ)由數(shù)據(jù)可得甲校的平均值為 = =67，
乙校的平均值為 =90×0.15+80×0.5+60×0.2+50×0.15=73.
(Ⅲ)由樣本數(shù)據(jù)可知集訓的5人中甲校抽2人，分別記作E，F(xiàn)，乙校抽3人，分別記作M，N，Q，
從5人中任選2人，一共有10個基本事件，分別為：
EF，EM，EN，EQ，F(xiàn)M
其中2 人來自同一學校包含中EF，MN
∴兩人來自同一學校的概率p= .
20.如圖，三棱錐P﹣ABC中，PA=PC，底面ABC為正三角形.
(Ⅰ)證明：AC⊥PB;
(Ⅱ)若平面PAC⊥平面ABC，AB=2，PA⊥PC，求三棱錐P﹣ABC的體積.
【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積;空間中直線與直線之間的位置關系.
【分析】(Ⅰ)取AC中點O，連接PO，BO，由等腰三角形的性質(zhì)可得PO⊥AC，BO⊥AC，再由線面垂直的判定可得AC⊥平面POB，則AC⊥PB;
(Ⅱ)由面面垂直的性質(zhì)可得PO⊥平面ABC，再由已知求出三角形ABC的面積，即PO的長度，代入棱錐體積公式求得三棱錐P﹣ABC的體積.
【解答】(Ⅰ)證明：如圖，
取AC中點O，連接PO，BO，
∵PA=PC，∴PO⊥AC，
又∵底面ABC為正三角形，∴BO⊥AC，
∵PO∩OB=O，∴AC⊥平面POB，則AC⊥PB;
(Ⅱ)解：∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，
PO⊥AC，∴PO⊥平面ABC，
又AB=2，PA⊥PC，可得PO=1，且 .
∴ .
21.已知圓C：(x﹣6)2+y2=20，直線l：y=kx與圓C交于不同的兩點A、B.
(Ⅰ)求實數(shù)k的取值范圍;
(Ⅱ)若 =2 ，求直線l的方程.
【考點】直線與圓的位置關系.
【分析】(Ⅰ)根據(jù)題意可得圓心C(6，0)到直線l：y=kx的距離小于半徑 ，由此求得k的范圍.
(Ⅱ)把直線l：y=kx代入圓C，化簡后利用韋達定理，再根據(jù) =2 ，可得x2=2x1，從而求得k的值，可得直線l的方程.
【解答】解：(Ⅰ)由題意可得，圓心C(6，0)到直線l：y=kx的距離小于半徑 ，
即 < ，求得﹣
(Ⅱ)把直線l：y=kx代入圓C：(x﹣6)2+y2=20，化簡可得(1+k2)x2﹣12x+16=0，
∴x1+x2= ，x1•x2= .
若 =2 ，則x2=2x1，則x1= ，x2= ，∴則x1•x2= • = ，∴k=±1，
故直線l：y=±x.
22.已知函數(shù)f(x)=alnx+x2﹣x，其中a∈R.
(Ⅰ)若a<0，討論f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當x≥1時，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍.
【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.
【分析】(I)令f′(x)=0求出f(x)的極值點，結(jié)合f(x)的定義域得出f′(x)的符號變換情況，從而得出f(x)的單調(diào)性;
(II)對a進行討論，判斷f(x)在[1，+∞)上的單調(diào)性，得出f(x)在[1，+∞)上的最小值fmin(x)，即可得出結(jié)論.
【解答】解：(I)f(x)的定義域為(0，+∞)，
f′(x)= = ，
令f′(x)=0得2x2﹣x+a=0，
解得x1= ，x2= ，
∵a<0，∴x1<0，x2>0，
∴當0
∴f(x)在(0， )上單調(diào)遞減，在( ，+∞)上單調(diào)遞增.
(II)若a=0時，f(x)=x2﹣x，
∴f(x)在[1，+∞)上單調(diào)遞增，∴fmin(x)=f(1)=0，符合題意.
若a<0，由(I)可知f(x)在(0， )上單調(diào)遞減，在( ，+∞)上單調(diào)遞增，
當 ≤1即﹣1≤a<0時，f(x)在[1，+∞)上單調(diào)遞增，
∴fmin(x)=f(1)=0，符合題意，
當 >1即a<﹣1時，f(x)在[1， )上單調(diào)遞減，在[ ，+∞)上單調(diào)遞增，
∴fmin(x)=f( )
若a>0，令f′(x)=0得2x2﹣x+a=0，
∴當△=1﹣8a≤0即a 時，f′(x)≥0恒成立，∴f(x)在[1，+∞)上單調(diào)遞增，
∴fmin(x)=f(1)=0，符合題意.
若0 ，則2x2﹣x+a=0有兩正實數(shù)解，x1= ，x2= ，
∴f(x)在(0， )上單調(diào)遞增，在( ， )上單調(diào)遞減，在( ，+∞)上單調(diào)遞增，
∵ <1，∴f(x)在[1，+∞)上單調(diào)遞增，
∴fmin(x)=f(1)=0，符合題意，
綜上，a的取值范圍是[﹣1，+∞).
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