高中數(shù)學反證法例題

時間：2017-07-13 18:08:48 麗儀1102由分享

　　反證法首先假設某命題不成立(即在原命題的題設下，結(jié)論不成立)，然后推理出明顯矛盾的結(jié)果，從而下結(jié)論說假設不成立，原命題得證。下面由學習啦小編給你帶來關(guān)于高中數(shù)學反證法例題，希望對你有幫助!

　　高中數(shù)學反證法例題一

　　選擇題

　　1.否定結(jié)論“至多有兩個解”的說法中，正確的是(　　)

　　A.有一個解

　　B.有兩個解

　　C.至少有三個解

　　D.至少有兩個解

　　[答案]　C

　　[解析]　在邏輯中“至多有n個”的否定是“至少有n+1個”，所以“至多有兩個解”的否定為“至少有三個解”，故應選C.

　　2.否定“自然數(shù)a、b、c中恰有一個偶數(shù)”時的正確反設為(　　)

　　A.a、b、c都是奇數(shù)

　　B.a、b、c或都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)

　　C.a、b、c都是偶數(shù)

　　D.a、b、c中至少有兩個偶數(shù)

　　[答案]　B

　　[解析]　a，b，c三個數(shù)的奇、偶性有以下幾種情況：①全是奇數(shù);②有兩個奇數(shù)，一個偶數(shù);③有一個奇數(shù)，兩個偶數(shù);④三個偶數(shù).因為要否定②，所以假設應為“全是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)”.故應選B.

　　3.用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60°”時，反設正確的是(　　)

　　A.假設三內(nèi)角都不大于60°

　　B.假設三內(nèi)角都大于60°

　　C.假設三內(nèi)角至多有一個大于60°

　　D.假設三內(nèi)角至多有兩個大于60°

　　[答案]　B

　　[解析]　“至少有一個不大于”的否定是“都大于60°”.故應選B.

　　4.用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個是偶數(shù)”時，下列假設正確的是(　　)

　　A.假設a，b，c都是偶數(shù)

　　B.假設a、b，c都不是偶數(shù)

　　C.假設a，b，c至多有一個偶數(shù)

　　D.假設a，b，c至多有兩個偶數(shù)

　　[答案]　B

　　[解析]　“至少有一個”反設詞應為“沒有一個”，也就是說本題應假設為a，b，c都不是偶數(shù).

　　5.命題“△ABC中，若∠A>∠B，則a>b”的結(jié)論的否定應該是(　　)

　　A.a

　　B.a≤b

　　C.a=b

　　D.a≥b

　　[答案]　B

　　[解析]　“a>b”的否定應為“a=b或a

　　6.已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b的位置關(guān)系為(　　)

　　A.一定是異面直線

　　B.一定是相交直線

　　C.不可能是平行直線

　　D.不可能是相交直線

　　[答案]　C

　　[解析]　假設c∥b，而由c∥a，可得a∥b，這與a，b異面矛盾，故c與b不可能是平行直線.故應選C.

　　7.設a，b，c∈(-∞，0)，則三數(shù)a+1b，c+1a，b+1c中(　　)

　　A.都不大于-2

　　B.都不小于-2

　　C.至少有一個不大于-2

　　D.至少有一個不小于-2

　　[答案]　C

　　[解析]　a+1b+c+1a+b+1c

　　=a+1a+b+1b+c+1c

　　∵a，b，c∈(-∞，0)，

　　∴a+1a=--a+-1a≤-2

　　b+1b=--b+-1b≤-2

　　c+1c=--c+-1c≤-2

　　∴a+1b+c+1a+b+1c≤-6

　　∴三數(shù)a+1b、c+1a、b+1c中至少有一個不大于-2，故應選C.

　　8.若P是兩條異面直線l、m外的任意一點，則(　　)

　　A.過點P有且僅有一條直線與l、m都平行

　　B.過點P有且僅有一條直線與l、m都垂直

　　C.過點P有且僅有一條直線與l、m都相交

　　D.過點P有且僅有一條直線與l、m都異面

　　[答案]　B

　　[解析]　對于A，若存在直線n，使n∥l且n∥m

　　則有l(wèi)∥m，與l、m異面矛盾;對于C，過點P與l、m都相交的直線不一定存在，反例如圖(l∥α);對于D，過點P與l、m都異面的直線不唯一.

　　9.有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎”，乙說：“甲、丙都未獲獎”，丙說：“我獲獎了”，丁說：“是乙獲獎了”，四位歌手的話只有兩句是對的，則獲獎的歌手是(　　)

　　A.甲

　　B.乙

　　C.丙

　　D.丁

　　[答案]　C

　　[解析]　因為只有一人獲獎，所以丙、丁只有一個說對了，同時甲、乙中只有一人說對了，假設乙說的對，這樣丙就錯了，丁就對了，也就是甲也對了，與甲錯矛盾，所以乙說錯了，從而知甲、丙對，所以丙為獲獎歌手.故應選C.

　　10.已知x1>0，x1≠1且xn+1=xn(x2n+3)3x2n+1(n=1,2…)，試證“數(shù)列{xn}或者對任意正整數(shù)n都滿足xnxn+1”，當此題用反證法否定結(jié)論時，應為(　　)

　　A.對任意的正整數(shù)n，都有xn=xn+1

　　B.存在正整數(shù)n，使xn=xn+1

　　C.存在正整數(shù)n，使xn≥xn+1且xn≤xn-1

　　D.存在正整數(shù)n，使(xn-xn-1)(xn-xn+1)≥0

　　[答案]　D

　　[解析]　命題的結(jié)論是“對任意正整數(shù)n，數(shù)列{xn}是遞增數(shù)列或是遞減數(shù)列”，其反設是“存在正整數(shù)n，使數(shù)列既不是遞增數(shù)列，也不是遞減數(shù)列”.故應選D.

　　高中數(shù)學反證法例題二

　　填空題

　　11.命題“任意多面體的面至少有一個是三角形或四邊形或五邊形”的結(jié)論的否定是________.

　　[答案]　沒有一個是三角形或四邊形或五邊形

　　[解析]　“至少有一個”的否定是“沒有一個”.

　　12.用反證法證明命題“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除”，那么反設的內(nèi)容是________________.

　　[答案]　a，b都不能被5整除

　　[解析]　“至少有一個”的否定是“都不能”.

　　13.用反證法證明命題：“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟：

　?、?ang;A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾，則∠A=∠B=90°不成立;

　?、谒砸粋€三角形中不能有兩個直角;

　?、奂僭O∠A，∠B，∠C中有兩個角是直角，不妨設∠A=∠B=90°.

　　正確順序的序號排列為____________.

　　[答案]　③①②

　　[解析]　由反證法證明的步驟知，先反證即③，再推出矛盾即①，最后作出判斷，肯定結(jié)論即②，即順序應為③①②.

　　14.用反證法證明質(zhì)數(shù)有無限多個的過程如下：

　　假設______________.設全體質(zhì)數(shù)為p1、p2、…、pn，令p=p1p2…pn+1.

　　顯然，p不含因數(shù)p1、p2、…、pn.故p要么是質(zhì)數(shù)，要么含有______________的質(zhì)因數(shù).這表明，除質(zhì)數(shù)p1、p2、…、pn之外，還有質(zhì)數(shù)，因此原假設不成立.于是，質(zhì)數(shù)有無限多個.

　　[答案]　質(zhì)數(shù)只有有限多個　除p1、p2、…、pn之外

　　[解析]　由反證法的步驟可得.

　　高中數(shù)學反證法例題三

　　解答題

　　15.已知：a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0.

　　求證：a>0，b>0，c>0.

　　[證明]　用反證法：

　　假設a，b，c不都是正數(shù)，由abc>0可知，這三個數(shù)中必有兩個為負數(shù)，一個為正數(shù)，

　　不妨設a<0，b<0，c>0，則由a+b+c>0，

　　可得c>-(a+b)，

　　又a+b<0，∴c(a+b)<-(a+b)(a+b)

　　ab+c(a+b)<-(a+b)(a+b)+ab