數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

　　歸納法由有限多個(gè)個(gè)別的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法。那怎么用歸納法來(lái)證明不等式呢? 接下來(lái)學(xué)習(xí)啦小編為你整理了數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，一起來(lái)看看吧。

　　數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的基本知識(shí)

　　數(shù)學(xué)歸納法的基本原理、步驟和使用范圍

　　(1)在數(shù)學(xué)里，常用的推理方法可分為演繹法和歸納法，演繹法一般到特殊，歸納法是由特殊到一般.由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，通常叫歸納法。在歸納時(shí)，如果逐個(gè)考察了某類(lèi)事件的所有可能情況，因而得出一般結(jié)論，那么結(jié)論是可靠的.這種歸納法叫完全歸納法(通常也叫枚舉法)如果考察的只是某件事的部分情況，就得出一般結(jié)論，這種歸納法叫完全歸納法.這時(shí)得出的結(jié)論不一定可靠。數(shù)學(xué)問(wèn)題中，有一類(lèi)問(wèn)題是與自然數(shù)有關(guān)的命題，因?yàn)樽匀粩?shù)有無(wú)限多個(gè)，我們不可能就所有的自然數(shù)一一加以驗(yàn)證，所以用完全歸納法是不可能的.然而只就部分自然數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證所得到的結(jié)論，是不一定可靠的

　　例如一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是an(n25n5)2

　　容易驗(yàn)證a1=1，a2=1，a3=1，a4=1，如果由此作出結(jié)論——對(duì)于任何nN+, an(n25n5)2=1都成立，那是錯(cuò)誤的.

　　事實(shí)上，a5=25≠1.

　　因此，就需要尋求證明這一類(lèi)命題的一種切實(shí)可行、比較簡(jiǎn)便而又滿足邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性要求的新的方法——數(shù)學(xué)歸納法.

　　(2)數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)證明方法，其中遞推思想起主要作用。形象地說(shuō)，多米諾骨牌游戲是遞推思想的一個(gè)模型，數(shù)學(xué)歸納法的基本原理相當(dāng)于有無(wú)限多張牌的多米諾骨牌游戲，其核心是歸納遞推.

　　一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí)，可以用一下兩個(gè)步驟：(1)證明當(dāng)n=n0(例如n0=1或2等)時(shí)命題成立;

　　(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN，且k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.在完成了這兩個(gè)步驟以后，就可以斷定命題對(duì)于不小于n0所有自然數(shù)都成立.這種證明方法稱(chēng)為數(shù)學(xué)歸納法.

　　自然數(shù)公理(皮亞諾公理)中的“歸納公理”是數(shù)學(xué)歸納法的理論根據(jù)，數(shù)學(xué)歸納法的兩步證明恰是驗(yàn)證這條公理所說(shuō)的兩個(gè)性質(zhì).數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍僅限于與自然數(shù)n有關(guān)的命題.這里的n是任意的正整數(shù)，它可取無(wú)限多個(gè)值.

　　附錄：下面是自然數(shù)的皮亞諾公理，供有興趣的同學(xué)閱讀.

　　任何一個(gè)象下面所說(shuō)的非空集合N的元素叫做自然數(shù)，在這個(gè)集合中的某些元素a與b之間存在著一種基本關(guān)系：數(shù)b是數(shù)a后面的一個(gè)“直接后續(xù)”數(shù)，并且滿足下列公理：

　?、?是一個(gè)自然數(shù);

　?、谠谧匀粩?shù)集合中，每個(gè)自然數(shù)a有一個(gè)確定“直接后續(xù)”數(shù)a’;

　　③a’≠1,即1不是任何自然數(shù)的“直接后續(xù)”數(shù);

　?、苡蒩’ =b’推出a=b,這就是說(shuō)，每個(gè)自然數(shù)只能是另一個(gè)自然數(shù)的“直接后續(xù)”數(shù);

　?、菰O(shè)M是自然數(shù)的一個(gè)集合，如果它具有下列性質(zhì)：(Ⅰ)自然數(shù)1屬于M,(Ⅱ)如果自然數(shù)a屬于M，那么它的一個(gè)“直接后續(xù)”數(shù)a’也屬于M，則集合M包含一切自然數(shù).

　　其中第5條公理又叫做歸納公理，它是數(shù)學(xué)歸納法的依據(jù).

　　(3)數(shù)學(xué)歸納法可以證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，但是，并不能簡(jiǎn)單地說(shuō)所有涉及正整數(shù)n的命題都可以用數(shù)學(xué)歸納法證明.

　　例如用數(shù)學(xué)歸納法證明(1+1)n(n N)的單調(diào)性就難以實(shí)現(xiàn).一般來(lái)說(shuō)，n

　　從k=n到k=n+1時(shí)，如果問(wèn)題中存在可利用的遞推關(guān)系，則數(shù)學(xué)歸納法有用武之地，否則使用數(shù)學(xué)歸納法就有困難.

　　數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例題