高一數學集合間的基本關系的知識點

　　集合是高一數學的學習內容，將集合的知識點歸納總結，也是學習集合的一種方法，下面是學習啦小編給大家?guī)淼挠嘘P于高一集合的基本關系的知識點的具體介紹，希望能夠幫助到大家。

　　高一數學集合間的基本關系的知識點介紹

　　1.1.2　集合間的基本關系

　　1.Venn圖

　　在數學中，用平面上封閉曲線的內部代表集合，這種圖稱為Venn圖.

　　比如，中國的直轄市組成的集合為A，用Venn圖表示如圖所示.

　　【例1】試用Venn圖表示集合A={x|x2-16=0}.

　　解：集合A是方程x2-16=0的解集，解方程x2-16=0，得x1=4，x2=-4，所以A={-4,4}，用Venn圖表示如圖所示.

　　對Venn圖的理解　Venn圖表示集合直觀、明確，封閉曲線可以是矩形、橢圓或圓等等，沒有限制.

　　2.子集

　　定義 一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合A為集合B的子集. 記法

　　與讀法 記作AB(或BA)，讀作“A含于B”(或“B包含A”). 圖示 或 示例 具有北京市東城區(qū)戶口的人組成集合M，具有北京市戶口的人組成集合P，由于任意一個具有北京市東城區(qū)戶口的人都具有北京市戶口，所以有MP. 結論 (1)任何一個集合是它本身的子集，即AA.

　　(2)對于集合A，B，C，若AB，且BC，則AC. 對子集的理解　(1)“AB”的含義：若xA就能推出xB.

　　(2)集合A是集合B的子集不能理解為集合A是由集合B中的“部分元素”組成的，因為集合A可能是空集，也可能是集合B.

　　(3)如果集合A中存在著不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A.此時記作AB或BA.

　　(4)注意符號“”與“”的區(qū)別：“”只用于集合與集合之間，如{0}N，而不能寫成{0}N;“”只能用于元素與集合之間，如0N，而不能寫成0N.

　　【例2-1】已知集合M={0,1}，集合N={0,2,1-m}，若MN，則實數m=__________.

　　解析：由題意知MN，又集合M={0,1}，因此1N，即1-m=1.故m=0.

　　答案：0

　　【例2-2】已知集合M={xZ|-1≤x<3}，N={x|x=|y|，yM}，試判斷集合M，N的關系.

　　解：∵xZ，且-1≤x<3，

　　∴x的可能取值為-1,0,1,2.

　　∴M={-1,0,1,2}.

　　又∵yM，

　　∴|y|分別是0,1,2.

　　∴N={0,1,2}.

　　∴NM.

　　3.集合相等

　　如果集合A是集合B的子集(AB)，且集合B是集合A的子集(BA)，那么集合A與集合B相等，記作A=B.用Venn圖表示如圖所示.

　　對集合相等的理解　(1)A=BAB，且BA，這是證明兩個集合相等的重要依據;

　　(2)集合相等還可以用元素的觀點來定義：只要構成兩個集合的元素是一樣的，即這兩個集合中的元素完全相同，就稱這兩個集合相等;

　　(3)同一個集合，可以有不同的表示方法，這也是定義兩個集合相等的意義所在;

　　(4)集合中的關系與實數中的結論類比

　　實數 集合 a≤b包含兩層含義：a=b，或a

　　A.P={1,4,7}，Q={1,4,6}

　　B.P={x|2x+2=0}，Q={-1}

　　C.3P,3Q

　　D.PQ

　　解析：對于A項，7P，而7Q，故P≠Q;對于B項，P={x|2x+2=0}={-1}=Q;對于C項，由3P,3Q，不能確定PQ，QP是否同時成立;對于D項，僅由PQ無法確定P與Q是否相等.

　　答案：B

　　【例3-2】設集合A={x，y}，B={0，x2}，若A=B，求實數x，y的值.

　　解：由集合相等的定義，得或

　　(1)由得x=0，y=0，不滿足集合中元素的互異性，故舍去;

　　(2)由得x=0，y=0或x=1，y=0，由(1)知x=0，y=0應舍去，x=1，y=0符合集合中元素的互異性.

　　綜上，可得x=1，y=0.

　　4.真子集

　　定義 如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我們稱集合A是集合B的真子集. 記法 記作AB(或BA). 圖示 結論 (1)AB且BC，則AC;

　　(2)AB且A≠B，則AB. 對真子集的理解　(1)若集合A是集合B的子集，則集合A中所有元素都屬于集合B，并且集合B中至少有一個元素不屬于集合A;

　　(2)子集包括集合相等與真子集兩種情況，真子集是以子集為前提的.若集合A不是集合B的子集，則集合A一定不是集合B的真子集;

　　(3)與任何集合是它自身的子集不同，任何集合都不是它自身的真子集.

　　【例4】已知集合P={2 012,2 013}，Q={2 011,2 012，2 013，2 014}，則有(　　)

　　A.P=Q B.QP

　　C.PQ D.QP

　　解析：很明顯，集合P中的元素都屬于集合Q，則PQ，但是2 014Q,2 014P，所以PQ.

　　答案：C

　　5.空集

　　定義 我們把不含任何元素的集合，叫做空集. 記法 規(guī)定 空集是任何集合的子集，即A 特性 (1)空集只有一個子集，即它本身，

　　(2)是任何非空集合的真子集，即若A≠，則A {0}與的區(qū)別

　　{0}與

　　的區(qū)別 {0}是含有一個元素的集合 是不含任何元素的集合，因此{0}，注意不能寫成={0}，{0} 【例5-1】下列集合為空集的是(　　)

　　A.{0} B.{1}

　　C.{x|x<0} D.{x|1+x2=0}

　　解析：很明顯{0}和{1}都不是空集;因為{x|x<0}是全體負數組成的集合，所以{x|x<0}也不是空集;集合{x|1+x2=0}是一元二次方程1+x2=0的解集，但是方程1+x2=0無實數解，所以{x|1+x2=0}=.

　　答案：D

　　【例5-2】有下列命題：①空集沒有子集;②任一集合至少有兩個子集;③空集是任何集合的真子集;④若A，則A≠.其中正確的有(　　)

　　A.0個 B.1個 C.2個 D.3個

　　解析：對于①，空集是任何集合的子集，故，①錯;對于②，只有一個子集，是其自身，②錯;對于③，空集不是空集的真子集，③錯;空集是任何非空集合的真子集，④正確.

　　答案：B

　　6.集合間的關系判斷

　　(1)集合A，B間的關系

　　(2)判斷兩集合間關系的關鍵是弄清所給集合是由哪些元素組成的，也就是把抽象的集合具體化，這就要求熟練地用自然語言、符號語言(列舉法和描述法)、圖形語言(Venn圖)來表示集合.

　　(3)判斷集合間的關系，其方法主要有三種：

　?、僖灰涣信e觀察;

　?、诩显靥卣鞣ǎ菏紫却_定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判斷關系.

　　一般地，設集合A={x|p(x)}，B={x|q(x)}，若p(x)推出q(x)，則AB;若q(x)推出p(x)，則BA;若p(x)，q(x)互相推出，則A=B;若p(x)推不出q(x)，q(x)也推不出p(x)，則集合A，B無包含關系.

　?、蹟敌谓Y合法：利用數軸或Venn圖.

　　(4)當MN和MN均成立時，MN比MN更準確地反映了集合M和N的關系.當MN和M=N均成立時，M=N比MN更準確地反映了集合M和N的關系.

　　例如，集合M={1}，集合N={1,2}，這時MN和MN均成立，MN比MN更準確地反映了集合M={1}和集合N={1,2}的關系.又例如，集合M={3}，集合N={3}，這時MN，NM，M=N均成立，M=N比MN更準確地反映了集合M={3}和集合N={3}的關系.【例6-1】指出下列各對集合之間的關系：

　　(1)A={-1,1}，B={(-1，-1)，(-1,1)，(1，-1)，(1,1)};

　　(2)A={x|x是等邊三角形}，B={x|x是等腰三角形};

　　(3)A={x|-1

　　(4)M={x|x=2n-1，nN*}，N={x|x=2n+1，nN*}.

　　分析：先找到集合中元素的特征，再由特征判斷集合之間的關系.

　　解：(1)集合A的代表元素是數，集合B的代表元素是有序實數對，故A與B之間無包含關系.

　　(2)等邊三角形是三邊相等的三角形，等腰三角形是兩邊相等的三角形，故AB.

　　(3)集合B={x|x<5}，用數軸表示集合A，B如圖所示，由圖可知AB.

　　(4)由列舉法知M={1,3,5,7，…}，N={3,5,7,9，…}，故NM.

　　怎樣用數軸表示集合　對于連續(xù)實數組成的集合，通常用數軸來表示，這也屬于集合表示的圖示法.注意在數軸上，若端點值是集合的元素，則用實心點表示;若端點值不是集合的元素，則用空心點表示.

　　【例6-2】已知集合，，則集合M，N的關系是(　　)

　　A.MNB.MN

　　C.NMD.NM

　　解析：設n=2m或2m+1，mZ，

　　則有

　　.

　　又∵，

　　∴MN.

　　答案：B

　　7.求已知集合的子集(或真子集)

　　(1)在寫出某個集合的子集時，可以按照集合中元素的個數從無到有、從少到多的順序依次寫出，要做到不重不漏.一定要考慮這一特殊的集合，因為是任何集合的子集;若是要求寫出某個集合的真子集，則不能將集合自身計算在內，因為任何一個集合都是它自身的子集，但不是它自身的真子集.

　　例如：寫出集合{1,2,3}的所有子集和真子集.我們可以按照元素個數從少到多依次寫出，其中元素個數分別為0,1,2,3.可以得到集合{1,2,3}的所有子集為，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3};所有真子集為，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}.

　　(2)當集合A中含有n個元素時，其子集的個數為2n，真子集的個數為2n-1，非空子集的個數為2n-1，非空真子集的個數為2n-2.

　　【例7-1】已知集合M滿足{1,2}M{1,2,3,4,5}，請寫出集合M.

　　分析：根據題目給出的條件可知，集合M中至少含有元素1,2，至多含有元素1,2,3,4,5，且M中必須含有元素1,2，故可按M中所含元素的個數分類寫出集合M.

　　解：(1)當M中含有兩個元素時，M為{1,2};

　　(2)當M中含有三個元素時，M為{1,2,3}，{1,2,4}，{1，2,5};

　　(3)當M中含有四個元素時，M為{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5};

　　(4)當M中含有五個元素時，M為{1,2,3,4,5}.

　　因此滿足條件的集合M為：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}.

　　有限集合子集的確定技巧　(1)確定所求的集合;

　　(2)合理分類，按照子集所含元素的個數依次寫出;

　　(3)注意兩個特殊的集合，即空集和集合自身，看它們是否能取到.

　　【例7-2】設集合A={a，b，c}，B={T|TA}，求集合B.

　　解：∵A={a，b，c}，又TA，

　　∴T可能為，{a}，，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}.

　　∴B={，{a}，，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}}.

　　【例7-3】已知集合A={1,3,5}，求集合A的所有子集的元素之和.

　　解：集合A的子集分別是：，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}.注意到A中的每個元素分別出現在A的4個子集中，即在其和中出現4次.故所求之和為(1+3+5)×4=36.

　　集合所有子集的元素之和的計算公式　若集合A={a1，a2，a3，…，an}，則A的所有子集的元素之和為(a1+a2+…+an)·2n-1.

　　8.集合間的基本關系與方程的綜合問題

　　集合間的基本關系與方程的綜合問題，通常是已知兩個表示方程解集的集合間的關系，求方程中未知參數的取值范圍.解決此類問題應注意：

　　(1)要明確表示方程解集的集合中哪個字母是方程中的未知數.集合{x|f(x)=0}表示關于x的方程的解集，x是未知數，其他字母是常數.例如集合{x|mx2-x+23=0}表示關于x的方程mx2-x+23=0的解集，其中x是未知數，m是常數.此方程易錯認為是一元二次方程，其原因是忽視了其中的參數m的取值.當m=0時，該方程為-x+23=0，是一元一次方程;當m≠0時，該方程為mx2-x+23=0，此時才是關于x的一元二次方程.

　　(2)正確理解集合包含關系的含義，特別是AB的含義.當B≠時，對于AB，通常要分A=和A≠兩種情況進行討論，此時，容易忽視A=的情況.

　　(3)對于二次項系數中含有參數的方程的解集問題，注意要對二次項系數是否為零進行討論.【例8-1】若集合A={x|x2+x-6=0}，B={x|mx+1=0}且BA，求m的值.

　　分析：由于BA，因此集合B的所有元素都是集合A的元素，但由于集合B的元素x滿足mx+1=0，又字母m的范圍不明確，m是否為0題目沒有明示，因此要進行分類討論.本題應弄清楚兩個問題：一是集合B有沒有元素;二是集合B有元素時，元素是什么.

　　解：A={x|x2+x-6=0}={-3,2}.

　　因為BA，所以方程mx+1=0的解可以是-3或2或無解.

　　當mx+1=0的解為-3時，由-3m+1=0得;

　　當mx+1=0的解為2時，由2m+1=0得;

　　當mx+1=0無解時，m=0.

　　綜上可知，m的值為或或0.

　　【例8-2】設集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}，若BA，求實數a的值或取值范圍.

　　解：由題意得A={0，-4}，BA.

　　(1)當A=B時，即B={0，-4}.

　　由此知，0，-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的兩根，

　　由韋達定理知解得a=1.

　　(2)當B=時，Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0，解得a<-1.

　　(3)當B為單元素集時，Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0，解得a=-1.

　　當a=-1時，B={x|x2=0}={0}A，滿足條件.

　　綜上所述，所求實數a的取值范圍為a≤-1或a=1.9.集合間的基本關系與不等式的綜合問題

　　用圖形來表示數，形象而直觀，因此數形結合的思想在數學中廣泛應用.數軸是表示實數的，任何一個實數在數軸上均可用一個點來表示，反之，數軸上任何一點都代表一個實數，在數軸上表示一個不等式的取值范圍，形象而直觀.

　　在數軸上表示集合時，要注意端點用實心點還是空心點，若包含端點，則用實心點表示，若不包含端點，則用空心點表示.

　　集合間的基本關系與不等式的綜合問題，通常是已知兩個不等式解集的關系，求不等式中參數的值(或取值范圍)，解決此類問題應注意：

　　(1)要明確表示不等式解集的集合中哪個字母是不等式的未知數.集合{x|f(x)>0}，{x|f(x)<0}，{x|f(x)≥0}，{x|f(x)≤0}均表示關于x的不等式的解集，x是未知數，其他字母是常數.例如，集合{x|-nx+3<0}表示關于x的不等式-nx+3<0的解集，x是未知數，n是常數.這個方程易錯認為是一元一次不等式，其原因是忽視了其中的參數n的取值.當n=0時，該不等式為3<0，不是一元一次不等式;當n≠0時，該不等式才是關于x的一元一次不等式.

　　(2)用不等號連接的式子稱為不等式，例如2<3和3<2都是不等式，有了這種對不等式概念的正確理解就不會認為m+1

　　分析：集合A中是一個用具體數字表示的不等式，集合B中是一個用字母m表示的不等式，集合A給出的不等式在數軸上表示為-2到5的線段(去掉兩個端點)，集合B給出的不等式，m+1與2m-1的大小關系有兩種情形：當m+1≥2m-1時x，所以BA一定成立;當m+1<2m-1時，可借助于數軸來分析解決.

　　解：∵BA，A≠，∴B=或B≠.

　　當B=時，m+1≥2m-1，解得m≤2.

　　B≠時，如數軸所示.

　　則有解得

　　因此2

　　綜上所述，m的取值范圍為m≤2或2

　　【例9-2】已知集合A={x|x<-1，或x>4}，B={x|2a≤x≤a+3}，若BA，求實數a的取值范圍.

　　分析：對集合B是否為空集進行分類討論求解.

　　解：當B=時，只需2a>a+3，即a>3;

　　當B≠時，根據題意作出如圖所示的數軸，

　　可得或解得a<-4或2

　　綜上可得，實數a的取值范圍為a<-4或a>2.

　　利用子集關系求參數時易疏忽端點的驗證　利用子集關系求參數的問題，在借助數軸分析時，要注意驗證參數能否取到端點值.例如本題中在B≠時，解得a<-4或2

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