高1數(shù)學(xué)絕對值三角不等式知識點(diǎn)
高1數(shù)學(xué)絕對值三角不等式知識點(diǎn)
數(shù)學(xué)課本中不等式這一部分包含絕對值三角不等式，同學(xué)們需要重點(diǎn)關(guān)注，下面是學(xué)習(xí)啦小編給大家?guī)淼母?數(shù)學(xué)絕對值三角不等式知識點(diǎn)，希望對你有幫助。
高1數(shù)學(xué)絕對值三角不等式知識點(diǎn)(一)
絕對值三角不等式
絕對值三角不等式：
1、基本形式
如果a，b都是實(shí)數(shù)，則|a+b|≤|a|+|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號成立;
2、變式
如果a，b都是實(shí)數(shù)，則
。
三角不等式的解法
利用三角函數(shù)線或正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象寫出解集.
高1數(shù)學(xué)絕對值三角不等式知識點(diǎn)(二)
絕對值的三角不等式;不等式證明的基本方法
二.教學(xué)目的
1、掌握絕對值的三角不等式;
2、掌握不等式證明的基本方法
三.知識分析
[絕對值的三角不等式]
定理1若a，b為實(shí)數(shù)，則
，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號成立。
幾何說明：(1)當(dāng)ab>0時(shí)，它們落在原點(diǎn)的同一邊，此時(shí)a與-b的距離等于它們到原點(diǎn)距離之和。
(2)如果ab<0，則a，b分別落在原點(diǎn)兩邊，a與-b的距離嚴(yán)格小于a與b到原點(diǎn)距離之和(下圖為ab<0，a>0，b<0的情況，ab<0的其他情況可作類似解釋)。
|a-b|表示a-b與原點(diǎn)的距離，也表示a到b之間的距離。
定理2設(shè)a，b，c為實(shí)數(shù)，則
，等號成立
，即b落在a，c之間。
推論1
推論2
[不等式證明的基本方法]
1、比較法是證明不等式的一種最基本的方法，也是一種常用的方法，基本不等式就是用比較法證得的。
比較法有差值、比值兩種形式，但比值法必須考慮正負(fù)。
比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個(gè)步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細(xì)敘述。
如果作差后的式子可以整理為關(guān)于某一個(gè)變量的二次式，則可考慮用到判別式法證。
2、所謂綜合法，就是從題設(shè)條件和已經(jīng)證明過的基本不等式出發(fā)，不斷用必要條件替換前面的不等式，直至推出要證明的結(jié)論，可簡稱為“由因?qū)Ч?rdquo;，在使用綜合法證明不等式時(shí)，要注意基本不等式的應(yīng)用。
所謂分析法，就是從所要證明的不等式出發(fā)，不斷地用充分條件替換前面的不等式，或者是顯然成立的不等式，可簡稱“執(zhí)果索因”，在使用分析法證明不等式時(shí)，習(xí)慣上用“
”表述。
綜合法和分析法是兩種思路截然相反的證明方法，其中分析法既可以尋找解題思路，如果表述清楚，也是一個(gè)完整的證明過程.注意綜合法與分析法的聯(lián)合運(yùn)用。
3、反證法：從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，證實(shí)結(jié)論的否定是錯(cuò)誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的證明方法。
4、放縮法：欲證A≥B，可通過適當(dāng)放大或縮小，借助一個(gè)或多個(gè)中間量，使得
，
，再利用傳遞性，達(dá)到證明的目的.這種方法叫做放縮法。
【典型例題】
例1、已知函數(shù)
，設(shè)a、b∈R，且a≠b，求證：
思路：本題證法較多，下面用分析法和放縮法給出兩個(gè)證明：
證明：
證法一：
①
當(dāng)ab≤-1時(shí)，式①顯然成立;
當(dāng)ab>-1時(shí)，式①
?、?/p>
∵a≠b，∴式②成立。故原不等式成立。
證法二：當(dāng)a=-b時(shí)，原不等式顯然成立;
當(dāng)a≠-b時(shí)，
∴原不等式成立。
點(diǎn)評：此題還可以用三角代換法，復(fù)數(shù)代換法、數(shù)形結(jié)合等證明，留給讀者去思考。
例2、設(shè)m等于|a|、|b|和1中最大的一個(gè)，當(dāng)|x|>m時(shí)，求證：
。
思路：本題的關(guān)鍵是對題設(shè)條件的理解和運(yùn)用，|a|、|b|和1這三個(gè)數(shù)中哪一個(gè)最大?如果兩兩比較大小，將十分復(fù)雜，但我們可以得到一個(gè)重要的信息：m≥|a|、m≥|b|、m≥1。
證明：
故原不等式成立。
點(diǎn)評：將題設(shè)條件中的文字語言“m等于|a|、|b|、1中最大的一個(gè)”轉(zhuǎn)化為符號的語言“m≥|a|、m≥|b|、m≥1”是證明本題的關(guān)鍵。
例3、函數(shù)
的定義域?yàn)閇0，1]且
。當(dāng)
∈[0，1]，
時(shí)都有
，求證：
。
證明：不妨設(shè)
，以下分兩種情形討論。
若
則
，若
則
綜上所述
點(diǎn)評：對于絕對值符號內(nèi)的式子，采用加減某個(gè)式子后，重新組合，運(yùn)用絕對值不等式的性質(zhì)變形，是證明絕對值不等式的典型方法。
例4、已知a>0，b>0，求證：
。
思路：如果用差值比較法，下一步將是變形，顯然需要通分，是統(tǒng)一通分，還是局部通分?從題目結(jié)構(gòu)特點(diǎn)看，應(yīng)采取局部通分的方法。
證明：
?、?/p>
②
∴原不等式成立。
點(diǎn)評：在上面得到①式后，其分子的符號可由題設(shè)條件作出判斷，但它沒有②明顯，所以，變形越徹底，越有利于最后的判斷，本題還可以用比值比較法證明，留給讀者去完成。
例5、設(shè)x>0，y>0，且x≠y，求證：
思路：注意到x、y的對稱性，可能會想到重要不等式，但后續(xù)思路不好展開，故我們可采用分析法，從消去分?jǐn)?shù)指數(shù)冪入手。
證明：∵x>0，y>0，且x≠y，
點(diǎn)評：在不便運(yùn)用比較法或綜合法時(shí)，應(yīng)考慮用分析法。應(yīng)注意分析法表述方法，其中尋求充分條件的語句常用符號“
”表述。本題應(yīng)用了分析法，既找到了解題思路，又使問題完滿地得到了解決，可謂一舉兩得。