高中數(shù)學(xué)數(shù)列通項(xiàng)公式的求法
數(shù)列通項(xiàng)公式是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，那么數(shù)列通項(xiàng)公式的有什么求解方法呢?下面由學(xué)習(xí)啦小編告訴你答案。
高中數(shù)學(xué)數(shù)列通項(xiàng)公式的求法總結(jié)
一、一階線性遞推數(shù)列求通項(xiàng)問題
一階線性遞推數(shù)列主要有如下幾種形式：
1.
這類遞推數(shù)列可通過累加法而求得其通項(xiàng)公式(數(shù)列{f(n)}可求前n項(xiàng)和).
當(dāng)
為常數(shù)時(shí)，通過累加法可求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.而當(dāng)
為等差數(shù)列時(shí)，則
為二階等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式應(yīng)當(dāng)為
形式，注意與等差數(shù)列求和公式一般形式的區(qū)別，后者是
，其常數(shù)項(xiàng)一定為0. 2.
這類遞推數(shù)列可通過累乘法而求得其通項(xiàng)公式(數(shù)列{g(n)}可求前n項(xiàng)積).
當(dāng)
為常數(shù)時(shí)，用累乘法可求得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式. 3.
; 這類數(shù)列通?？赊D(zhuǎn)化為
，或消去常數(shù)轉(zhuǎn)化為二階遞推式
. 例1已知數(shù)列
中，
,求
的通項(xiàng)公式. 解析：解法一：轉(zhuǎn)化為
型遞推數(shù)列. ∵
∴
又
，故數(shù)列{
?。鞘醉?xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.∴
，即
. 解法二：轉(zhuǎn)化為
型遞推數(shù)列. ∵
=2xn-1+1(n≥2) ?、佟 ?there4;
=2xn+1 ② ②-①，得
(n≥2)，故{
｝是首項(xiàng)為x2-x1=2，公比為2的等比數(shù)列，即
，再用累加法得
.
解法三：用迭代法.
當(dāng)然,此題也可用歸納猜想法求之，但要用數(shù)學(xué)歸納法證明. 例2 已知函數(shù)
的反函數(shù)為
求數(shù)列
的通項(xiàng)公式. 解析：由已知得
，則
. 令
=,則
.比較系數(shù)，得
. 即有
.∴數(shù)列{
｝是以
為首項(xiàng)，
為公比的等比數(shù)列，∴
，故
.
評析：此題亦可采用歸納猜想得出通項(xiàng)公式，而后用數(shù)學(xué)歸納法證明之.
(4)
若取倒數(shù),得
，令
，從而轉(zhuǎn)化為(1)型而求之. (5)
; 這類數(shù)列可變換成
，令
，則轉(zhuǎn)化為(1)型一階線性遞推公式. 例3 設(shè)數(shù)列
求數(shù)列
的通項(xiàng)公式. 解析：∵
，兩邊同除以
，得
.令
，則有
.于是，得
，∴數(shù)列
是以首項(xiàng)為
，公比為
的等比數(shù)列，故
，即
，從而
. 例4 設(shè)
求數(shù)列
的通項(xiàng)公式. 解析：設(shè)
用
代入，可解出
. ∴
是以公比為-2，首項(xiàng)為
的等比數(shù)列. ∴
，即
. (6)
這類數(shù)列可取對數(shù)得
，從而轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列型遞推數(shù)列.
二、可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列或一些特殊數(shù)列的二階遞推數(shù)列
例5 設(shè)數(shù)列
求數(shù)列
的通項(xiàng)公式. 解析：由
可得
設(shè)
故
即
用累加法得
或
例6 在數(shù)列
求數(shù)列
的通項(xiàng)公式.
解析：可用換元法將其轉(zhuǎn)化為一階線性遞推數(shù)列.
令
使數(shù)列
是以
為公比的等比數(shù)列(
待定). 即
∴
對照已給遞推式， 有
即
的兩個(gè)實(shí)根. 從而
∴
?、?或
?、?由式①得
;由式②得
. 消去
. 例7 在數(shù)列
求
. 解析：由
?、?，得
?、? 式②+式①，得
，從而有
.∴數(shù)列
是以6為其周期.故
=
=-1.
三、特殊的n階遞推數(shù)列
例8 已知數(shù)列
滿足
，求
的通項(xiàng)公式. 解析：∵
?、?∴
?、?②-①，得
.∴
故有
將這幾個(gè)式子累乘，得
又
例9 數(shù)列{
｝滿足
，求數(shù)列{
?。耐?xiàng)公式. 解析：由
①，得
?、? 式①-式②，得
，或
，故有
. ∴
,
. 將上面幾個(gè)式子累乘，得
，即
. ∵
也滿足上式，∴
.高中數(shù)學(xué)常見數(shù)列通項(xiàng)公式
累加法
遞推公式為a(n+1)=an+f(n)，且f(n)可以求和
例：數(shù)列{an}，滿足a1=1/2，a(n+1)=an+1/(4n^2-1)，求{an}通項(xiàng)公式
解：a(n+1)=an+1/(4n^2-1)=an+[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2
∴an=a1+(1-1/3+1/3-1/5+……+1/(2n-3)-1/(2n-1))
∴an=1/2+1/2 (1-1/(2n-1))=(4n-3)/(4n-2)
累乘法
遞推公式為a(n+1)/an=f(n),且f(n)可求積
例：數(shù)列{an}滿足a(n+1)=(n+2)/n an，且a1=4，求an
解：an/a1=an/a(n-1)×a(n-1)/a(n-2)×……×a2/a1=2n(n+1)
構(gòu)造法
將非等差數(shù)列、等比數(shù)列，轉(zhuǎn)換成相關(guān)的等差等比數(shù)列
連加相減，連乘相除
例：{an}滿足a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2)
解：令bn=a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2)
nan=bn-b(n-1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)
∴an=3(n+1)
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