七年級數(shù)學下段考試卷及答案
面對七年級數(shù)學下段考試要有堅韌的精神，撐過去就是康莊大道啊。愿你七年級數(shù)學考出好結果，以下是學習啦小編為你整理的七年級數(shù)學下段考試卷，希望對大家有幫助!
七年級數(shù)學下段考試卷
一、選擇題(每小題3分，共30分)
1.下列長度的各組線段，能組成直角三角形的是( )
A.12，15，18 B.12，35，36 C.0.3，0.4，0.5 D.2，3，4
2.下列實數(shù) ，﹣ ，0. ， ， ，( ﹣1)0，﹣ ，0.1010010001中，其中無理數(shù)共有( )
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
3.如圖，直徑為1個單位長度的圓從原點沿數(shù)軸向右無滑動地滾動一周，原點滾到了點A，下列說法正確的( )
A.點A所表示的是π
B.OA上只有一個無理數(shù)π
C.數(shù)軸上無理數(shù)和有理數(shù)一樣多
D.數(shù)軸上的有理數(shù)比無理數(shù)要多一些
4.如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，AC的垂直平分線分別交AC、AD、AB于點E、O、F，則圖中全等三角形的對數(shù)是( )
A.1對 B.2對 C.3對 D.4對
5.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是28°，則頂角是( )
A.28° B.118° C.62° D.62°或118°
6.在下列各組條件中，不能說明△ABC≌△DEF的是( )
A.AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F B.AC=DF，BC=EF，∠A=∠D
C.AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E D.AB=DE，BC=EF，AC=DF
7.如圖，正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點，已知A、B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則點C的個數(shù)有( )
A.4個 B.6個 C.8個 D.10個
8.如圖，∠MON=30°，點A1、A2、A3…在射線ON上，點B1、B2、B3…在射線OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均為等邊三角形，從左起第1個等邊三角形的邊長記為a1，第2個等邊三角形的邊長記為a2，以此類推.若OA1=1，則a2015=( )
A.22013 B.22014 C.22015 D.22016
9.如圖，點P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC的邊AB、BC上的動點(其中P、Q不與端點重合)，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，連接AQ、CP交于點M，則在P、Q運動的過程中，下列結論：(1)BP=CM;(2)△ABQ≌△CAP;(3)∠CMQ的度數(shù)始終等于60°;(4)當?shù)?秒或第 秒時，△PBQ為直角三角形.其中正確的結論有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
10.如圖是一張足夠長的矩形紙條ABCD，以點A所在直線為折痕，折疊紙條，使點B落在邊AD上，折痕與邊BC交于點E;然后將其展平，再以點E所在直線為折痕，使點A落在邊BC上，折痕EF交邊AD于點F.則∠AFE的大小是( )
A.22.5° B.45° C.60° D.67.5°
二、填空題(每空2分，共16分)
11.近似數(shù)3.40×105精確到 位.
12.當a2=64時， = .
13.如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中點.若AD=6，DE=5，則CD的長等于 .
14.一個正數(shù)的平方根為﹣m﹣3和2m﹣3，則這個數(shù)為 .
15.如圖，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，則∠EFC= °.
16.如圖，在△ABC和△BDE中，點C在邊BD上，邊AC交邊BE于點F.若AC=BD，AB=ED，BC=BE，∠D=60°，∠ABE=28°，則∠ACB= .
17.如圖，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，將邊AC沿CE翻折，使點A落在AB上的點D處;再將邊BC沿CF翻折，使點B落在CD的延長線上的點B′處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點E、F，則線段B′F的長為 .
18.如圖，在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長為 .
三、解答題(共10大題，共84分)
19.(1)計算：
(2)求x的值：5(x﹣1)2=20.
20.因式分解：
(1)3a5﹣12a4+9a3
(2)3a2﹣6ab+3b2﹣12c2.
21.如圖，OC是∠AOB的角平分線，P是OC上一點.PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F(xiàn)是OC上的另一點，連接DF，EF.求證：DF=EF.
22.如圖，正方形網(wǎng)格中每個小正方形邊長都是1.
(1)在直線l上找一點P，使PB+PC的值最小;
(2)連接PA、PC，計算四邊形PABC的面積;
(3)若圖中的格點Q到直線BC的距離等于 ，則圖中所有滿足條件的格點Q有 個.
23.已知a，b，c為△ABC的三條邊的長，且滿足b2+2ab=c2+2ac.
(1)試判斷△ABC的形狀，并說明理由;
(2)若a=6，b=5，求△ABC的面積.
24.如圖，∠ABC=90°，D、E分別在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，點F是AE的中點，F(xiàn)D與AB相交于點M.
(1)求證：∠FMC=∠FCM;
(2)AD與MC垂直嗎?并說明理由.
25.仔細閱讀下面例題，解答問題：
例題：已知關于x的多項式x2﹣4x+m有一個因式是(x+3)，求另一個因式以及m的值.
解：設另一個因式為(x+n)，得：x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)，則x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n，
∴ ，解得：n=﹣7，m=﹣21.
∴另一個因式為(x﹣7)，m的值為﹣21.
問題：仿照以上方法解答下面問題：
(1)已知關于x的多項式2x2+3x﹣k有一個因式是(x+4)，求另一個因式以及k的值.
(2)已知關于x的多項式2x3+5x2﹣x+b有一個因式為x+2，求b的值.
26.如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，F(xiàn)為BC中點，BE與DF，DC分別交于點G，H，∠ABE=∠CBE.
(1)求證：BH=AC;
(2)求證：BG2﹣GE2=EA2.
27.如圖1，長方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，且 ，點P、Q分別是邊AD、AB上的動點.
(1)求BD的長;
(2)①如圖2，在P、Q運動中是否能使△CPQ成為等腰直角三角形?若能，請求出PA的長;若不能，請說明理由;
?、谌鐖D3，在BC上取一點E，使EC=5，那么當△EPC為等腰三角形時，求出PA的長.
28.【閱讀】如圖1，四邊形OABC中，OA=a，OC=3，BC=2，
∠AOC=∠BCO=90°，經(jīng)過點O的直線l將四邊形分成兩部分，直線l與OC所成的角設為θ，將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊，點C落在點D處，我們把這個操作過程記為FZ[θ，a].
【理解】
若點D與點A重合，則這個操作過程為FZ[45°，3];
【嘗試】
(1)若點D恰為AB的中點(如圖2)，求θ;
(2)經(jīng)過FZ[45°，a]操作，點B落在點E處，若點E在四邊形OABC的邊AB上，求出a的值;若點E落在四邊形OABC的外部，直接寫出a的取值范圍.
七年級數(shù)學下段考試卷答案
一、選擇題(每小題3分，共30分)
1.下列長度的各組線段，能組成直角三角形的是( )
A.12，15，18 B.12，35，36 C.0.3，0.4，0.5 D.2，3，4
【考點】勾股定理的逆定理.
【分析】驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方;應先認真分析所給邊的大小關系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關系，進而作出判斷即可.
【解答】解：A、因為122+152≠182，所以不能組成直角三角形，故選項錯誤;
B、因為122+352≠362，所以不能組成直角三角形，故選項錯誤;
C、因為0.32+0.42=0.52，所以能組成直角三角形，故選項正確;
D、因為22+32≠42，所以不能組成直角三角形，故選項錯誤;
故選：C.
2.下列實數(shù) ，﹣ ，0. ， ， ，( ﹣1)0，﹣ ，0.1010010001中，其中無理數(shù)共有( )
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
【考點】無理數(shù).
【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù).理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分數(shù)的統(tǒng)稱.即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù).由此即可判定選擇項.
【解答】解：無理數(shù)有： ，﹣ ， 共有3個.
故選B.
3.如圖，直徑為1個單位長度的圓從原點沿數(shù)軸向右無滑動地滾動一周，原點滾到了點A，下列說法正確的( )
A.點A所表示的是π
B.OA上只有一個無理數(shù)π
C.數(shù)軸上無理數(shù)和有理數(shù)一樣多
D.數(shù)軸上的有理數(shù)比無理數(shù)要多一些
【考點】實數(shù)與數(shù)軸.
【分析】首先根據(jù)圓周長公式求出圓的周長，然后結合數(shù)軸的特點即可確定A表示的數(shù).
【解答】解：A、∵圓的周長為π，∴滾動一圈的路程即π，∴點A所表示的是π，故選項正確;
B、數(shù)軸上不只有一個無理數(shù)π，故選項錯誤;
C、數(shù)軸上既有無理數(shù)，也有有理數(shù)，故選項錯誤;
D、數(shù)軸上的有理數(shù)與無理數(shù)多少無法比較，故選項錯誤;
故選A.
4.如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，AC的垂直平分線分別交AC、AD、AB于點E、O、F，則圖中全等三角形的對數(shù)是( )
A.1對 B.2對 C.3對 D.4對
【考點】全等三角形的判定;線段垂直平分線的性質;等腰三角形的性質.
【分析】根據(jù)已知條件“AB=AC，D為BC中點”，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分線分別交AC、AD、AB于點E、O、F，推出△AOE≌△EOC，從而根據(jù)“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到難，不重不漏.
【解答】解：∵AB=AC，D為BC中點，
∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD;
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC，AE=CE，
在△AOE和△COE中，
，
∴△AOE≌△COE;
在△BOD和△COD中，
，
∴△BOD≌△COD;
在△AOC和△AOB中，
，
∴△AOC≌△AOB;
故選：D.
5.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是28°，則頂角是( )
A.28° B.118° C.62° D.62°或118°
【考點】等腰三角形的性質.
【分析】等腰三角形的高相對于三角形有三種位置關系，三角形內(nèi)部，三角形的外部，三角形的邊上.根據(jù)條件可知第三種高在三角形的邊上這種情況不成立，因而可分兩種情況進行討論.
【解答】解：分兩種情況：
?、佼敻咴谌切蝺?nèi)部時(如圖1)，
∵∠ABD=28°，
∴頂角∠A=90°﹣28°=62°;
②當高在三角形外部時(如圖2)，
∵∠ABD=28°，
∴頂角∠CAB=90°+28°=118°.
故選D.
6.在下列各組條件中，不能說明△ABC≌△DEF的是( )
A.AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F B.AC=DF，BC=EF，∠A=∠D
C.AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E D.AB=DE，BC=EF，AC=DF
【考點】全等三角形的判定.
【分析】根據(jù)題目所給的條件結合判定三角形全等的判定定理分別進行分析即可.
【解答】解：A、AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F，可以利用AAS定理證明△ABC≌△DEF，故此選項不合題意;
B、AC=DF，BC=EF，∠A=∠D不能證明△ABC≌△DEF，故此選項符合題意;
C、AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E，可以利用ASA定理證明△ABC≌△DEF，故此選項不合題意;
D、AB=DE，BC=EF，AC=DF可以利用SSS定理證明△ABC≌△DEF，故此選項不合題意;
故選：B.
7.如圖，正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點，已知A、B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則點C的個數(shù)有( )
A.4個 B.6個 C.8個 D.10個
【考點】等腰三角形的判定.
【分析】根據(jù)AB的長度確定C點的不同位置，由已知條件，利用勾股定理可知AB= ，然后即可確定C點的位置.
【解答】解：如圖，AB= = ，
∴當△ABC為等腰三角形，則點C的個數(shù)有8個，
故選C.
8.如圖，∠MON=30°，點A1、A2、A3…在射線ON上，點B1、B2、B3…在射線OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均為等邊三角形，從左起第1個等邊三角形的邊長記為a1，第2個等邊三角形的邊長記為a2，以此類推.若OA1=1，則a2015=( )
A.22013 B.22014 C.22015 D.22016
【考點】等邊三角形的性質.
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質以及平行線的性質得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及a2=2a1，得出a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16a1…進而得出答案.
【解答】解：∵△A1B1A2是等邊三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1=1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等邊三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴a2=2a1，a3=4a1=4，
a4=8a1=8，a5=16a1，
以此類推：a2015=22014.
故選B.
9.如圖，點P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC的邊AB、BC上的動點(其中P、Q不與端點重合)，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，連接AQ、CP交于點M，則在P、Q運動的過程中，下列結論：(1)BP=CM;(2)△ABQ≌△CAP;(3)∠CMQ的度數(shù)始終等于60°;(4)當?shù)?秒或第 秒時，△PBQ為直角三角形.其中正確的結論有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【考點】全等三角形的判定與性質;等邊三角形的性質.
【分析】易證△ABQ≌△CAP，可得∠AQB=∠CPA，即可求得∠AMP=∠B=60°，易證∠CQM≠60°，可得CQ≠CM，根據(jù)t的值易求BP，BQ的長，即可求得PQ的長，即可解題.
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，
根據(jù)題意得：AP=BQ，
在△ABQ和△CAP中，
，
∴△ABQ≌△CAP(SAS)，(2)正確;
∴∠AQB=∠CPA，
∵∠BAQ+∠APC+∠AMP=180°，∠BAQ+∠B+∠AQB=180°，
∴∠AMP=∠B=60°，
∴∠QMC=60°，(3)正確;
∵∠QMC=60°，∠QCM≠60°，
∴∠CQM≠60°，
∴CQ≠CM，
∵BP=CQ，
∴CM≠BP，(1)錯誤;
當t= 時，BQ= ，BP=4﹣ = ，
∵PQ2=BP2+BQ2﹣2BP•BQcos60°，
∴PQ= ，
∴△PBQ為直角三角形，
同理t= 時，△PBQ為直角三角形仍然成立，(4)正確;
故選 C.
10.如圖是一張足夠長的矩形紙條ABCD，以點A所在直線為折痕，折疊紙條，使點B落在邊AD上，折痕與邊BC交于點E;然后將其展平，再以點E所在直線為折痕，使點A落在邊BC上，折痕EF交邊AD于點F.則∠AFE的大小是( )
A.22.5° B.45° C.60° D.67.5°
【考點】翻折變換(折疊問題).
【分析】先根據(jù)折疊的性質得到∠AEB=45°，繼而得出∠AEC，再由折疊的性質即可得到∠AFE的度數(shù).
【解答】解：以點A所在直線為折痕，折疊紙片，使點B落在AD上，折痕與BC交于E點，∠AEB=45°，
∠FEC=∠FEA= =67.5°.
∵AF∥EC，
∴∠AFE=∠FEC=67.5°.
故選D.
二、填空題(每空2分，共16分)
11.近似數(shù)3.40×105精確到 千 位.
【考點】近似數(shù)和有效數(shù)字.
【分析】近似數(shù)精確到哪一位，應當看末位數(shù)字實際在哪一位.
【解答】解：近似數(shù)3.40×105精確到千位.
故答案是：千.
12.當a2=64時， = ±2 .
【考點】立方根;算術平方根.
【分析】由于a2=64時，根據(jù)平方根的定義可以得到a=±8，再利用立方根的定義即可計算a的立方根.
【解答】解：∵a2=64，
∴a=±8.
∴ =±2.
13.如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中點.若AD=6，DE=5，則CD的長等于 8 .
【考點】勾股定理;直角三角形斜邊上的中線.
【分析】由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”求得AC=2DE=10;然后在直角△ACD中，利用勾股定理來求線段CD的長度即可.
【解答】解：如圖，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中點，DE=5，
∴DE= AC=5，
∴AC=10.
在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，則根據(jù)勾股定理，得
CD= = =8.
故答案是：8.
14.一個正數(shù)的平方根為﹣m﹣3和2m﹣3，則這個數(shù)為 81 .
【考點】平方根.
【分析】根據(jù)一個正數(shù)的平方根互為相反數(shù)，即可得到一個關于x的方程，即可求得x，進而求得所求的正數(shù).
【解答】解：根據(jù)題意得：(﹣m﹣3)+(2m﹣3)=0，
解得：m=6，
則這個數(shù)是：(﹣3﹣6)2=81.
故答案是：81.
15.如圖，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，則∠EFC= 45 °.
【考點】等腰三角形的性質;線段垂直平分線的性質.
【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AE=BE，然后求出△ABE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質求出∠BAE=∠ABE=45°，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ABC，然后求出∠CBE，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質可得BF=CF，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BF=EF，根據(jù)等邊對等角求出∠BEF=∠CBE，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即可得解.
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵BE⊥AC，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE=∠ABE=45°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC= = =67.5°，
∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=67.5°﹣45°=22.5°，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=CF，
∵EF= BC(直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半)，
∴BF=EF=CF，
∴∠BEF=∠CBE=22.5°，
∴∠EFC=∠BEF+∠CBE=22.5°+22.5°=45°.
故答案為：45.
16.如圖，在△ABC和△BDE中，點C在邊BD上，邊AC交邊BE于點F.若AC=BD，AB=ED，BC=BE，∠D=60°，∠ABE=28°，則∠ACB= 46° .
【考點】全等三角形的判定與性質.
【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質，可得∠ACB與∠DBE的關系，根據(jù)三角形外角的性質，可得答案.
【解答】解：在△ABC和△DEB中，
，
∴△ABC≌△DEB (SSS)，
∴∠ACB=∠DBE.
∵∠AFB是△BFC的外角，
∴∠ACB+∠DBE=∠AFB，
∠ACB= ∠AFB=46°.
故答案為：46°.
17.如圖，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，將邊AC沿CE翻折，使點A落在AB上的點D處;再將邊BC沿CF翻折，使點B落在CD的延長線上的點B′處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點E、F，則線段B′F的長為 .
【考點】翻折變換(折疊問題).
【分析】首先根據(jù)折疊可得CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，然后求得△ECF是等腰直角三角形，進而求得∠B′FD=90°，CE=EF= ，ED=AE= ，從而求得B′D=1，DF= ，在Rt△B′DF中，由勾股定理即可求得B′F的長.
【解答】解：根據(jù)折疊的性質可知CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，
∴B′D=4﹣3=1，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=45°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF=CE，∠EFC=45°，
∴∠BFC=∠B′FC=135°，
∴∠B′FD=90°，
∵S△ABC= AC•BC= AB•CE，
∴AC•BC=AB•CE，
∵根據(jù)勾股定理求得AB=5，
∴CE= ，
∴EF= ，ED=AE= ，
∴DF=EF﹣ED= ，
∴B′F= .
故答案為： .
18.如圖，在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長為 .
【考點】全等三角形的判定與性質;勾股定理;等腰直角三角形.
【分析】根據(jù)等式的性質，可得∠BAD與∠CAD′的關系，根據(jù)SAS，可得△BAD與△CAD′的關系，根據(jù)全等三角形的性質，可得BD與CD′的關系，根據(jù)勾股定理，可得答案.
【解答】解：作AD′⊥AD，AD′=AD，連接CD′，DD′，如圖：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD與△CAD′中，
，
∴△BAD≌△CAD′(SAS)，
∴BD=CD′.
∠DAD′=90°
由勾股定理得DD′= ，
∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得CD′= ，
∴BD=CD′= ，
故答案為： .
三、解答題(共10大題，共84分)
19.(1)計算：
(2)求x的值：5(x﹣1)2=20.
【考點】實數(shù)的運算;平方根.
【分析】此題涉及有理數(shù)的乘方、平方根、立方根的求法，在計算時，需要針對每個考點分別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結果即可.
【解答】解：(1)
=﹣2+3﹣8
=﹣7
(2)∵5(x﹣1)2=20，
∴(x﹣1)2=4，
∴x﹣1=2或x﹣1=﹣2，
解得x=3或x=﹣1.
20.因式分解：
(1)3a5﹣12a4+9a3
(2)3a2﹣6ab+3b2﹣12c2.
【考點】因式分解﹣分組分解法;提公因式法與公式法的綜合運用.
【分析】(1)利用提供因式法和十字相乘分式分解因式;
(2)利用提公因式法和分組分解法分解因式.
【解答】解：(1)原式=3a3(a2﹣4a+3)
=3a3(a﹣3)(a﹣1).
(2)原式=3(a2﹣2ab+b2﹣4c2)
=3[(a﹣b)2﹣4c2]
=3(a﹣b+2c)(a﹣b﹣2c).
21.如圖，OC是∠AOB的角平分線，P是OC上一點.PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F(xiàn)是OC上的另一點，連接DF，EF.求證：DF=EF.
【考點】角平分線的性質;全等三角形的判定與性質.
【分析】先根據(jù)點P在∠AOB的角平分線OC上，PE⊥OB可求出PD=PE，∠DOP=∠EOP，∠PDO=∠PEO=90°，由全等三角形的判定定理可得出△DPF≌△EPF，進而可得出答案.
【解答】證明：∵點P在∠AOB的角平分線OC上，PE⊥OB，PD⊥AO，
∴PD=PE，∠DOP=∠EOP，∠PDO=∠PEO=90°，
∴∠DPF=90°﹣∠DOP，∠EPF=90°﹣∠EOP，
∴∠DPF=∠EPF，
在△DPF和△EPF中
(SAS)，
∴△DPF≌△EPF
∴DF=EF.
22.如圖，正方形網(wǎng)格中每個小正方形邊長都是1.
(1)在直線l上找一點P，使PB+PC的值最小;
(2)連接PA、PC，計算四邊形PABC的面積;
(3)若圖中的格點Q到直線BC的距離等于 ，則圖中所有滿足條件的格點Q有 16 個.
【考點】軸對稱﹣最短路線問題;點到直線的距離.
【分析】(1)找到B點對稱點B′，再連接B′C交直線l于點P，即可得出答案;
(2)直接將四邊形分割為兩個三角形，進而求出其面積;
(3)利用勾股定理結合網(wǎng)格得出平行于直線BC且到直線BC的距離為 的直線，即可得出答案.
【解答】解：(1)如圖所示：點P即為所求;
(2)四邊形PABC的面積為： ×3×5+ ×4×1=9.5;
(3)圖中所有滿足條件的格點Q有：16個.
故答案為：16.
23.已知a，b，c為△ABC的三條邊的長，且滿足b2+2ab=c2+2ac.
(1)試判斷△ABC的形狀，并說明理由;
(2)若a=6，b=5，求△ABC的面積.
【考點】因式分解的應用.
【分析】(1)由已知條件得出b2﹣c2+2ab﹣2ac=0，用分組分解法進行因式分解得出(b﹣c)(b+c+2a)=0，得出b﹣c=0，因此b=c，即可得出結論;
(2)作△ABC底邊BC上的高AD.根據(jù)等腰三角形三線合一的性質得出BD=DC= BC=3，利用勾股定理求出AD= =4，再根據(jù)三角形的面積公式即可求解.
【解答】解：(1)△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵a，b，c為△ABC的三條邊的長，b2+2ab=c2+2ac，
∴b2﹣c2+2ab﹣2ac=0，
因式分解得：(b﹣c)(b+c+2a)=0，
∴b﹣c=0，
∴b=c，
∴△ABC是等腰三角形;
(2)如圖，作△ABC底邊BC上的高AD.
∵AB=AC=5，AD⊥BC，
∴BD=DC= BC=3，
∴AD= =4，
∴△ABC的面積= BC•AD= ×6×4=12.
24.如圖，∠ABC=90°，D、E分別在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，點F是AE的中點，F(xiàn)D與AB相交于點M.
(1)求證：∠FMC=∠FCM;
(2)AD與MC垂直嗎?并說明理由.
【考點】全等三角形的判定與性質;等腰直角三角形.
【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質得出DF⊥AE，DF=AF=EF，進而利用全等三角形的判定得出△DFC≌△AFM(AAS)，即可得出答案;
(2)由(1)知，∠MFC=90°，F(xiàn)D=EF，F(xiàn)M=FC，即可得出∠FDE=∠FMC=45°，即可理由平行線的判定得出答案.
【解答】(1)證明：∵△ADE是等腰直角三角形，F(xiàn)是AE中點，
∴DF⊥AE，DF=AF=EF，
又∵∠ABC=90°，
∠DCF，∠AMF都與∠MAC互余，
∴∠DCF=∠AMF，
在△DFC和△AFM中，
，
∴△DFC≌△AFM(AAS)，
∴CF=MF，
∴∠FMC=∠FCM;
(2)AD⊥MC，
理由：由(1)知，∠MFC=90°，F(xiàn)D=FA=FE，F(xiàn)M=FC，
∴∠FDE=∠FMC=45°，
∴DE∥CM，
∴AD⊥MC.
25.仔細閱讀下面例題，解答問題：
例題：已知關于x的多項式x2﹣4x+m有一個因式是(x+3)，求另一個因式以及m的值.
解：設另一個因式為(x+n)，得：x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)，則x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n，
∴ ，解得：n=﹣7，m=﹣21.
∴另一個因式為(x﹣7)，m的值為﹣21.
問題：仿照以上方法解答下面問題：
(1)已知關于x的多項式2x2+3x﹣k有一個因式是(x+4)，求另一個因式以及k的值.
(2)已知關于x的多項式2x3+5x2﹣x+b有一個因式為x+2，求b的值.
【考點】因式分解﹣十字相乘法等;解二元一次方程組.
【分析】(1)設另一個因式是(2x+b)，則(x+4)(2x+b)=2x2+bx+8x+4b=2x2+(b+8)x+4b=2x2+3x﹣k，根據(jù)對應項的系數(shù)相等即可求得b和k的值;
(2)設另一個因式是(2x2+mx+n)，利用多項式的乘法運算法則展開，然后根據(jù)對應項的系數(shù)相等列式求出b的值即可得解.
【解答】解：(1)設另一個因式是(2x+b)，則
(x+4)(2x+b)=2x2+bx+8x+4b=2x2+(b+8)x+4b=2x2+3x﹣k，
則 ，
解得： .
則另一個因式是：2x﹣5，k=20.
(2)設另一個因式是(2x2+mx+n)，則
(x+2)(2x2+mx+n)=2x3+(m+4)x2+(2m+n)x+2n=2x3+5x2﹣x+b，
則 ，
解得 .
故b的值是﹣6.
26.如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，F(xiàn)為BC中點，BE與DF，DC分別交于點G，H，∠ABE=∠CBE.
(1)求證：BH=AC;
(2)求證：BG2﹣GE2=EA2.
【考點】全等三角形的判定與性質;線段垂直平分線的性質;勾股定理.
【分析】(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BCD=∠ABC，∠ABE=∠DCA，推出DB=CD，根據(jù)ASA證出△DBH≌△DCA即可;
(2)根據(jù)DB=DC和F為BC中點，得出DF垂直平分BC，推出BG=CG，根據(jù)BE⊥AC和∠ABE=∠CBE得出AE=CE，在Rt△CGE中，由勾股定理即可推出答案.
【解答】證明：(1)∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BCD=180°﹣90°﹣45°=45°=∠ABC
∴DB=DC，
∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°，
∴∠HBD=∠ACD，
∵在△DBH和△DCA中，
，
∴△DBH≌△DCA(ASA)，
∴BH=AC.
(2)連接CG，
由(1)知，DB=CD，
∵F為BC的中點，
∴DF垂直平分BC，
∴BG=CG，
∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，
∴△ABE≌△CBE，
∴EC=EA，
在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2﹣GE2=CE2，
∵CE=AE，BG=CG，
∴BG2﹣GE2=EA2.
27.如圖1，長方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，且 ，點P、Q分別是邊AD、AB上的動點.
(1)求BD的長;
(2)①如圖2，在P、Q運動中是否能使△CPQ成為等腰直角三角形?若能，請求出PA的長;若不能，請說明理由;
?、谌鐖D3，在BC上取一點E，使EC=5，那么當△EPC為等腰三角形時，求出PA的長.
【考點】四邊形綜合題.
【分析】(1)由條件可求得AB=4，BC=6，由勾股定理可求出BD的長;
(2)①由題可知只能有∠QPC為直角，當PQ=PC時，可證得Rt△PDC≌Rt△QAP，可求得AP的長;②分PC=EC、PC=PE和PE=EC三種情況分別利用等腰三角形的性質和勾股定理求解即可.
【解答】解：
(1)如圖1，連接BD，
∵ ，
∴AB=4，BC=6，
則在Rt△ABD中，由勾股定理可求得BD= =2 ;
(2)①能，AP=4，理由如下：
如圖2，由圖形可知∠PQC和∠PCQ不可能為直角，所以只有∠QPC=90°，則∠QPA+∠CPD=∠PCD+∠CPD，
∴∠QPA=∠PCD，
當PQ=PC時，
在Rt△APQ和Rt△DCP中
∴△APQ≌△DCP(AAS)，
∴AP=CD=4，
故在P、Q運動中是否能使△CPQ成為等腰直角三角形，此時AP=4;
②當PC=EC=5時，在Rt△PCD中，CD=4，PC=EC=5，由勾股定理可求得PD=3，所以AP=AB﹣PD=3，
當PC=PE=5時，如圖3，過P作PF⊥BC交BC于點F，則FC=EF=PD= EC=2.5，所以AP=AB﹣PD=6﹣2.5=3.5，
當PE=EC=5時，如圖4，過E作EH⊥AD于點H，由可知AH=BE=1，在Rt△EHD中，EH=AB=4，EP=5，由勾股定理可得HP=3，所以AP=AH+PH=1+3=4，
綜上可知當△EPC為等腰三角形時，求出PA的長為3、3.5或4.
28.【閱讀】如圖1，四邊形OABC中，OA=a，OC=3，BC=2，
∠AOC=∠BCO=90°，經(jīng)過點O的直線l將四邊形分成兩部分，直線l與OC所成的角設為θ，將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊，點C落在點D處，我們把這個操作過程記為FZ[θ，a].
【理解】
若點D與點A重合，則這個操作過程為FZ[45°，3];
【嘗試】
(1)若點D恰為AB的中點(如圖2)，求θ;
(2)經(jīng)過FZ[45°，a]操作，點B落在點E處，若點E在四邊形OABC的邊AB上，求出a的值;若點E落在四邊形OABC的外部，直接寫出a的取值范圍.
【考點】幾何變換綜合題.
【分析】(1)先根據(jù)ASA定理得出△BCD≌△AFD，故可得出CD=FD，即點D為Rt△COF斜邊CF的中點，由折疊可知，OD=OC，故OD=OC=CD，△OCD為等邊三角形，∠COD=60°，根據(jù)等邊三角形三線合一的性質可得出結論;
(2)根據(jù)點E四邊形0ABC的邊AB上可知AB⊥直線l，根據(jù)由折疊可知，OD=OC=3，DE=BC=2.再由θ=45°，AB⊥直線l，得出△ADE為等腰直角三角形，故可得出OA的長，由此可得出結論.
【解答】解：(1)連接CD并延長，交OA延長線于點F.
在△BCD與△AFD中，
，
∴△BCD≌△AFD(ASA).
∴CD=FD，即點D為Rt△COF斜邊CF的中點，
∴OD= CF=CD.
又由折疊可知，OD=OC，
∴OD=OC=CD，
∴△OCD為等邊三角形，∠COD=60°，
∴θ= ∠COD=30°;
(2)∵點E四邊形0ABC的邊AB上，
∴AB⊥直線l
由折疊可知，OD=OC=3，DE=BC=2.
∵θ=45°，AB⊥直線l，
∴△ADE為等腰直角三角形，
∴AD=DE=2，
∴OA=OD+AD=3+2=5，
∴a=5;
由圖可知，當0