七年級(jí)數(shù)學(xué)下期中測(cè)試題
數(shù)學(xué)期中考試前的復(fù)習(xí)很累，但是我們要堅(jiān)持，決定成果的應(yīng)該是堅(jiān)持。努力堅(jiān)持到最后你會(huì)成功的，以下是學(xué)習(xí)啦小編為你整理的七年級(jí)數(shù)學(xué)下期中測(cè)試題，希望對(duì)大家有幫助!
七年級(jí)數(shù)學(xué)下期中測(cè)試卷
一、選擇題：(每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把你認(rèn)為正確的答案填在答題卷相應(yīng)的空格內(nèi))
1.下列圖形中，不能通過(guò)其中一個(gè)四邊形平移得到的是( )
A. B. C. D.
2.若A是五次多項(xiàng)式，B是三次多項(xiàng)式，則A+B一定是( )
A.五次整式 B.八次多項(xiàng)式 C.三次多項(xiàng)式 D.次數(shù)不能確定
3.下列計(jì)算正確的是( )
A.a2•a3=a6 B.a6÷a3=a2 C.(a2)3=a6 D.(2a)3=6a3
4.9x2﹣mxy+16y2是一個(gè)完全平方式，那么m的值是( )
A.12 B.﹣12 C.±12 D.±24
5.下列各式從左到右的變形，是因式分解的是( )
A.x2﹣9+6x=(x+3)(x﹣3)+6x B.x2﹣8x+16=(x﹣4)2
C.(x+5)(x﹣2)=x2+3x﹣10 D.6ab=2a•3b
6.根據(jù)籃球比賽規(guī)則：贏一場(chǎng)得2分，輸一場(chǎng)得1分，在某次中學(xué)生籃球聯(lián)賽中，某球隊(duì)賽了12場(chǎng)，贏了x場(chǎng)輸了y場(chǎng)，得20分，則可以列出方程組( )
A. B.
C. D.
7.已知三角形的周長(zhǎng)小于13，各邊長(zhǎng)均為整數(shù)且三邊各不相等，那么這樣的三角形個(gè)數(shù)共有( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8.關(guān)于x、y的方程組 的解是方程3x+2y=17的一個(gè)解，那么m的值是( )
A.2 B.﹣1 C.1 D.﹣2
9.如圖，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，∠BEF的平分線交CD于點(diǎn)G，若∠EFG=72°，則∠EGF等于( )
A.36° B.54° C.72° D.108°
10.如圖，△ABC，∠ABC、∠ACB的三等分線交于點(diǎn)E、D，若∠BFC=132°，∠BGC=118°，則∠A的度數(shù)為( )
A.65° B.66° C.70° D.78°
二、填空題：(每小題2分，共16分，把你的答案填在答題卷相應(yīng)的橫線上)
11.計(jì)算： = .
12.遺傳物質(zhì)脫氧核糖核酸(DNA)的分子直徑為0.000 0002cm，用科學(xué)記數(shù)法表示為 cm.
13.已知一個(gè)五邊形的4個(gè)內(nèi)角都是100°，則第5個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是 度.
14.已知2n=a，3n=b，則6n= .
15.已知s+t=4，則s2﹣t2+8t= .
16.如圖，小明從點(diǎn)A向北偏東75°方向走到B點(diǎn)，又從B點(diǎn)向南偏西30°方向走到點(diǎn)C，則∠ABC的度數(shù)為 .
17.若關(guān)于x、y的二元一次方程組 的解是 ，則關(guān)于x、y的二元一次方程組 的解是 .
18.將1，2，3，…，100這100個(gè)自然數(shù)，任意分為50組，每組兩個(gè)數(shù)，現(xiàn)將每組的兩個(gè)數(shù)中任一數(shù)值記作a，另一個(gè)記作b，代入代數(shù)式 中進(jìn)行計(jì)算，求出其結(jié)果，50組數(shù)代入后可求得50個(gè)值，則這50個(gè)值的和的最大值是 .
三、解答題：(本大題共9小題，共64分，)
19.計(jì)算：
(1)(﹣3)2﹣2﹣3+30;
(2) .
20.把下列各式分解因式：
(1)2x2﹣8xy+8y2
(2)4x3﹣4x2y﹣(x﹣y)
21.解方程組：
(1) ;
(2) .
22.先化簡(jiǎn)，再求值 (x﹣2)2+2(x+2)(x﹣4)﹣(x﹣3)(x+3)，其中x=﹣1.
23.如圖：在正方形網(wǎng)格中有一個(gè)△ABC，按要求進(jìn)行下列作圖(只能借助于網(wǎng)格)：
(1)畫出△ABC中BC邊上的高(需寫出結(jié)論);
(2)畫出先將△ABC向右平移6格，再向上平移3格后的△DEF;
(3)畫一個(gè)銳角△MNP(要求各頂點(diǎn)在格點(diǎn)上)，使其面積等于△ABC的面積.
24.利用圖形來(lái)表示數(shù)量或數(shù)量關(guān)系，也可以利用數(shù)量或數(shù)量關(guān)系來(lái)描述圖形特征或圖形之間的關(guān)系，這種思想方法稱為數(shù)形結(jié)合.我們剛學(xué)過(guò)的《從面積到乘法公式》就很好地體現(xiàn)了這一思想方法，你能利用數(shù)形結(jié)合的思想解決下列問(wèn)題嗎?
如圖，一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，依次取正方形的 ，根據(jù)圖示我們可以知道：第一次取走 后還剩 ，即 =1﹣ ;前兩次取走 + 后還剩 ，即 + =1﹣ ;前三次取走 + + 后還剩 ，即 + + =1﹣ ;…前n次取走后，還?！ ?，即 = .
利用上述計(jì)算：
(1) = .
(2) = .
(3)2﹣22﹣23﹣24﹣25﹣26﹣…﹣22011+22012 (本題寫出解題過(guò)程)
25.某鎮(zhèn)水庫(kù)的可用水量為12000萬(wàn)立方米，假設(shè)年降水量不變，能維持該鎮(zhèn)16萬(wàn)人20年的用水量.實(shí)施城市化建設(shè)，新遷入4萬(wàn)人后，水庫(kù)只夠維持居民15年的用水量.
(1)問(wèn)：年降水量為多少萬(wàn)立方米?每人年平均用水量多少立方米?
(2)政府號(hào)召節(jié)約用水，希望將水庫(kù)的保用年限提高到25年，則該鎮(zhèn)居民人均每年需節(jié)約多少立方米才能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)?
26.如圖，直線OM⊥ON，垂足為O，三角板的直角頂點(diǎn)C落在∠MON的內(nèi)部，三角板的另兩條直角邊分別與ON、OM交于點(diǎn)D和點(diǎn)B.
(1)填空：∠OBC+∠ODC= ;
(2)如圖1：若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，求證：DE⊥BF：
(3)如圖2：若BF、DG分別平分∠OBC、∠ODC的外角，判斷BF與DG的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.
27.某次初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題中，有16道5分題和10道7分題，滿分為150分.批改時(shí)每道題若答對(duì)得滿分，答錯(cuò)得0分，沒(méi)有其它分值.
(1)如果曉敏同學(xué)答對(duì)了m道7分題和n道5分題，恰好得分為70分，列出關(guān)于m、n的方程，并寫出這個(gè)方程符合實(shí)際意義的所有的解.
(2)假設(shè)某同學(xué)這份競(jìng)賽試卷的得分為k(0≤k≤150)，那么k的值有多少種不同大小?請(qǐng)直接寫出答案.
七年級(jí)數(shù)學(xué)下期中測(cè)試題答案
一、選擇題：(每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把你認(rèn)為正確的答案填在答題卷相應(yīng)的空格內(nèi))
1.下列圖形中，不能通過(guò)其中一個(gè)四邊形平移得到的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】生活中的平移現(xiàn)象.
【分析】根據(jù)平移與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出.
【解答】解：A、能通過(guò)其中一個(gè)四邊形平移得到，錯(cuò)誤;
B、能通過(guò)其中一個(gè)四邊形平移得到，錯(cuò)誤;
C、能通過(guò)其中一個(gè)四邊形平移得到，錯(cuò)誤;
D、不能通過(guò)其中一個(gè)四邊形平移得到，需要一個(gè)四邊形旋轉(zhuǎn)得到，正確.
故選D.
2.若A是五次多項(xiàng)式，B是三次多項(xiàng)式，則A+B一定是( )
A.五次整式 B.八次多項(xiàng)式 C.三次多項(xiàng)式 D.次數(shù)不能確定
【考點(diǎn)】多項(xiàng)式.
【分析】利用合并同類項(xiàng)法則判斷即可得到結(jié)果.
【解答】解：若A是五次多項(xiàng)式，B是三次多項(xiàng)式，則A+B一定是五次整式;
故選：A.
3.下列計(jì)算正確的是( )
A.a2•a3=a6 B.a6÷a3=a2 C.(a2)3=a6 D.(2a)3=6a3
【考點(diǎn)】同底數(shù)冪的除法;同底數(shù)冪的乘法;冪的乘方與積的乘方.
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法、冪的乘方和積的乘方計(jì)算判斷即可.
【解答】解：A、a2•a3=a5，錯(cuò)誤;
B、a6÷a3=a3，錯(cuò)誤;
C、(a2)3=a6，正確;
D、(2a)3=8a3，錯(cuò)誤;
故選C
4.9x2﹣mxy+16y2是一個(gè)完全平方式，那么m的值是( )
A.12 B.﹣12 C.±12 D.±24
【考點(diǎn)】完全平方式.
【分析】根據(jù)(3x±4y)2=9x2±24xy+16y2可以求出m的值.
【解答】解：∵(3x±4y)2=9x2±24xy+16y2，
∴在9x2+mxy+16y2中，m=±24.
故選答案D.
5.下列各式從左到右的變形，是因式分解的是( )
A.x2﹣9+6x=(x+3)(x﹣3)+6x B.x2﹣8x+16=(x﹣4)2
C.(x+5)(x﹣2)=x2+3x﹣10 D.6ab=2a•3b
【考點(diǎn)】因式分解的意義.
【分析】根據(jù)因式分解就是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式的定義，利用排除法求解.
【解答】解：A、右邊不是積的形式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、是運(yùn)用完全平方公式，x2﹣8x+16=(x﹣4)2，故本選項(xiàng)正確;
C、是多項(xiàng)式乘法，不是因式分解，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、6ab不是多項(xiàng)式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選B.
6.根據(jù)籃球比賽規(guī)則：贏一場(chǎng)得2分，輸一場(chǎng)得1分，在某次中學(xué)生籃球聯(lián)賽中，某球隊(duì)賽了12場(chǎng)，贏了x場(chǎng)輸了y場(chǎng)，得20分，則可以列出方程組( )
A. B.
C. D.
【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組.
【分析】根據(jù)此題的等量關(guān)系：①共12場(chǎng);②贏了x場(chǎng)輸了y場(chǎng)，得20分列出方程組解答即可.
【解答】解：設(shè)贏了x場(chǎng)輸了y場(chǎng)，可得： ，
故選C
7.已知三角形的周長(zhǎng)小于13，各邊長(zhǎng)均為整數(shù)且三邊各不相等，那么這樣的三角形個(gè)數(shù)共有( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系.
【分析】首先根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊以及三角形的周長(zhǎng)，得到三角形的三邊都不能大于6.5;再結(jié)合三角形的兩邊之差小于第三邊進(jìn)行分析出所有符合條件的整數(shù).
【解答】解：根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊以及三角形的周長(zhǎng)小于13，則其中的任何一邊不能超過(guò)6.5;
再根據(jù)兩邊之差小于第三邊，則這樣的三角形共有3，4，2;4，5，2;3，4，5三個(gè).
故選B.
8.關(guān)于x、y的方程組 的解是方程3x+2y=17的一個(gè)解，那么m的值是( )
A.2 B.﹣1 C.1 D.﹣2
【考點(diǎn)】二元一次方程組的解.
【分析】將m看做已知數(shù)求出方程組的解得到x與y，代入已知方程計(jì)算即可求出m的值.
【解答】解：解方程組 ，得： ，
∵方程組的解是方程3x+2y=17的一個(gè)解，
∴21m﹣4m=17，
解得：m=1，
故選：C.
9.如圖，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，∠BEF的平分線交CD于點(diǎn)G，若∠EFG=72°，則∠EGF等于( )
A.36° B.54° C.72° D.108°
【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì);角平分線的定義.
【分析】根據(jù)平行線及角平分線的性質(zhì)解答.
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFG=180°，
∴∠BEF=180﹣72=108°;
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG=54°;
∵AB∥CD，
∴∠EGF=∠BEG=54°.
故選B.
10.如圖，△ABC，∠ABC、∠ACB的三等分線交于點(diǎn)E、D，若∠BFC=132°，∠BGC=118°，則∠A的度數(shù)為( )
A.65° B.66° C.70° D.78°
【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理.
【分析】先根據(jù)三等份角得出結(jié)論，再利用三角形的內(nèi)角和列出方程，兩方程相加即可求出∠ABC+∠ACB即可.
【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的三等分線交于點(diǎn)E、D，
∴∠CBG=∠EBG=∠ABE= ∠ABC，
∠BCF=∠ECF=∠ACE= ∠ACB，
在△BCG中，∠BGC=118°，
∴∠CBG+∠BCE=180°﹣∠BGC，
∴∠CBG+∠2∠BCF=62°①
在△BCF中，∠BFC=132°，
∴∠BCF+∠CBF=180°﹣∠BFC，
∴∠BCF+2∠CBG=48°②，
①+②得，3∠BCF+3∠CBG=110°，
∴∠A=180°﹣(∠BCF+∠CBG)=70°，
故選C.
二、填空題：(每小題2分，共16分，把你的答案填在答題卷相應(yīng)的橫線上)
11.計(jì)算： = .
【考點(diǎn)】?jī)绲某朔脚c積的乘方.
【分析】先算冪的乘方，再根據(jù)積的乘方逆運(yùn)算求解即可.
【解答】解：
=(﹣ )2004×32003×3
=(﹣ )2003×32003×(﹣ )
=(﹣ ×3)2003×(﹣ )
=(﹣1)2003×(﹣ )
=﹣1×(﹣ )
= .
故答案為： .
12.遺傳物質(zhì)脫氧核糖核酸(DNA)的分子直徑為0.000 0002cm，用科學(xué)記數(shù)法表示為 2×10﹣7 cm.
【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù).
【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)的相反數(shù)即是n的值.
【解答】解：0.000 0002=2×10﹣7.
故答案為：2×10﹣7.
13.已知一個(gè)五邊形的4個(gè)內(nèi)角都是100°，則第5個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是 140 度.
【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角.
【分析】利用多邊形的內(nèi)角和定理即可求出答案.
【解答】解：因?yàn)槲暹呅蔚膬?nèi)角和是(5﹣2)180°=540°，4個(gè)內(nèi)角都是100°，
所以第5個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是540﹣100×4=140°.
14.已知2n=a，3n=b，則6n= ab .
【考點(diǎn)】?jī)绲某朔脚c積的乘方.
【分析】利用冪的乘方與積的乘方的法則求解即可.
【解答】解：∵2n=a，3n=b，
∴6n=2n•3n=ab.
故答案為：ab.
15.已知s+t=4，則s2﹣t2+8t= 16 .
【考點(diǎn)】完全平方公式.
【分析】根據(jù)平方差公式可得s2﹣t2+8t=(s+t)(s﹣t)+8t，把s+t=4代入可得原式=4(s﹣t)+8t=4(s+t)，再代入即可求解.
【解答】解：∵s+t=4，
∴s2﹣t2+8t
=(s+t)(s﹣t)+8t
=4(s﹣t)+8t
=4(s+t)
=16.
故答案為：16.
16.如圖，小明從點(diǎn)A向北偏東75°方向走到B點(diǎn)，又從B點(diǎn)向南偏西30°方向走到點(diǎn)C，則∠ABC的度數(shù)為 45° .
【考點(diǎn)】方向角;平行線.
【分析】根據(jù)題意畫出方位角，利用平行線的性質(zhì)解答.
【解答】解：如圖，∠1=75°，
∵N1A∥N2B，
∴∠1=∠2+∠3=75°，
∵∠3=30°，
∴∠2=75°﹣∠3=75°﹣30°=45°，
即∠ABC=45°.
17.若關(guān)于x、y的二元一次方程組 的解是 ，則關(guān)于x、y的二元一次方程組 的解是 .
【考點(diǎn)】二元一次方程組的解.
【分析】本題先代入解求出得 ，再將其代入二元一次方程組 ，解出即可.
【解答】解：把 代入二元一次方程組 ，
解得： ，
把 代入二元一次方程組 ，
解得： ，
故答案為： .
18.將1，2，3，…，100這100個(gè)自然數(shù)，任意分為50組，每組兩個(gè)數(shù)，現(xiàn)將每組的兩個(gè)數(shù)中任一數(shù)值記作a，另一個(gè)記作b，代入代數(shù)式 中進(jìn)行計(jì)算，求出其結(jié)果，50組數(shù)代入后可求得50個(gè)值，則這50個(gè)值的和的最大值是 3775 .
【考點(diǎn)】整數(shù)問(wèn)題的綜合運(yùn)用.
【分析】先分別討論a和b的大小關(guān)系，分別得出代數(shù)式的值，進(jìn)而舉例得出規(guī)律，然后以此規(guī)律可得出符合題意的組合，求解即可.
【解答】解：①若a≥b，則代數(shù)式中絕對(duì)值符號(hào)可直接去掉，
∴代數(shù)式等于a，
?、谌鬮>a則絕對(duì)值內(nèi)符號(hào)相反，
∴代數(shù)式等于b
由此可見(jiàn)輸入一對(duì)數(shù)字，可以得到這對(duì)數(shù)字中大的那個(gè)數(shù)(這跟誰(shuí)是a誰(shuí)是b無(wú)關(guān))
既然是求和，那就要把這五十個(gè)數(shù)加起來(lái)還要最大，
我們可以枚舉幾組數(shù)，找找規(guī)律，
如果100和99一組，那么99就被浪費(fèi)了，
因?yàn)檩斎?00和99這組數(shù)字，得到的只是100，
如果我們?nèi)山M數(shù)字100和1一組，99和2一組，
則這兩組數(shù)字代入再求和是199，
如果我們這樣取100和99 2和1，
則這兩組數(shù)字代入再求和是102，
這樣，可以很明顯的看出，應(yīng)避免大的數(shù)字和大的數(shù)字相遇這樣就可以使最后的和最大，
由此一來(lái)，只要100個(gè)自然數(shù)里面最大的五十個(gè)數(shù)字從51到100任意倆個(gè)數(shù)字不同組，
這樣最終求得五十個(gè)數(shù)之和最大值就是五十個(gè)數(shù)字從51到100的和，
51+52+53+…+100=3775.
故答案為：3775.
三、解答題：(本大題共9小題，共64分，)
19.計(jì)算：
(1)(﹣3)2﹣2﹣3+30;
(2) .
【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算;零指數(shù)冪;負(fù)整數(shù)指數(shù)冪.
【分析】(1)根據(jù)零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪計(jì)算即可;
(2)根據(jù)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘方計(jì)算即可.
【解答】解：(1)(﹣3)2﹣2﹣3+30=9﹣ +1=
(2) = .
20.把下列各式分解因式：
(1)2x2﹣8xy+8y2
(2)4x3﹣4x2y﹣(x﹣y)
【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.
【分析】(1)首先提取公因式2，再利用完全平方公式進(jìn)行二次分解即可.
(2)首先把前兩項(xiàng)組合提取公因式4x2，然后再提取公因式(x﹣y)進(jìn)行二次分解，最后利用平方差公式進(jìn)行三次分解即可.
【解答】解：(1)2x2﹣8xy+8y2=2(x2﹣4xy+4y2 )=2(x﹣2y)2;
(2)4x3﹣4x2y﹣(x﹣y)=4x2(x﹣y)﹣(x﹣y)=(x﹣y)(4x2﹣1)=(x﹣y)(2x+1)(2x﹣1).
21.解方程組：
(1) ;
(2) .
【考點(diǎn)】解二元一次方程組.
【分析】(1)先用加減消元法求出x的值，再用代入消元法求出y的值即可;
(2)先把方程組中的方程化為不含分母及括號(hào)的方程，再用加減消元法或代入消元法求解即可.
【解答】解：(1) ，①×2﹣②得，x=﹣5，把x=﹣5代入①得，﹣10﹣y=0，解得y=﹣10，
故方程組的解為 ;
(2)原方程組可化為 ，①+②得，6x=18，解得x=3，把x=3代入①得，9﹣2y=8，解得y= ，
故方程組的解為 .
22.先化簡(jiǎn)，再求值 (x﹣2)2+2(x+2)(x﹣4)﹣(x﹣3)(x+3)，其中x=﹣1.
【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算—化簡(jiǎn)求值.
【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，去括號(hào)合并得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把x的值代入計(jì)算即可求出值.
【解答】解：原式=x2﹣4x+4+2x2﹣4x﹣16﹣x2+9=2x2﹣8x﹣3，
當(dāng)x=﹣1時(shí)，原式=2+8﹣3=7.
23.如圖：在正方形網(wǎng)格中有一個(gè)△ABC，按要求進(jìn)行下列作圖(只能借助于網(wǎng)格)：
(1)畫出△ABC中BC邊上的高(需寫出結(jié)論);
(2)畫出先將△ABC向右平移6格，再向上平移3格后的△DEF;
(3)畫一個(gè)銳角△MNP(要求各頂點(diǎn)在格點(diǎn)上)，使其面積等于△ABC的面積.
【考點(diǎn)】作圖﹣平移變換.
【分析】(1)過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，AG就是所求的△ABC中BC邊上的高;
(2)把△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)向右平移6格，再向上平移3格即可得到所求的△DEF;
(3)畫一個(gè)面積為3的銳角三角形即可.
【解答】解：
如圖所示，AG就是所求的△ABC中BC邊上的高.
24.利用圖形來(lái)表示數(shù)量或數(shù)量關(guān)系，也可以利用數(shù)量或數(shù)量關(guān)系來(lái)描述圖形特征或圖形之間的關(guān)系，這種思想方法稱為數(shù)形結(jié)合.我們剛學(xué)過(guò)的《從面積到乘法公式》就很好地體現(xiàn)了這一思想方法，你能利用數(shù)形結(jié)合的思想解決下列問(wèn)題嗎?
如圖，一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，依次取正方形的 ，根據(jù)圖示我們可以知道：第一次取走 后還剩 ，即 =1﹣ ;前兩次取走 + 后還剩 ，即 + =1﹣ ;前三次取走 + + 后還剩 ，即 + + =1﹣ ;…前n次取走后，還剩 ，即 + + +… = 1﹣ .
利用上述計(jì)算：
(1) = 1﹣ .
(2) = 1﹣ .
(3)2﹣22﹣23﹣24﹣25﹣26﹣…﹣22011+22012 (本題寫出解題過(guò)程)
【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算.
【分析】(1)根據(jù)題意畫出圖形，依次取正方形面積的 ， ， …找出規(guī)律即可;
(2)根據(jù)題意畫出圖形，依次取正方形面積的 ， ， …找出規(guī)律即可;
(3)根據(jù)同底數(shù)冪的乘法進(jìn)行計(jì)算即可.
【解答】解：∵第一次取走 后還剩 ，即 =1﹣ ;
前兩次取走 + 后還剩 ，即 + =1﹣ ;
前三次取走 + + 后還剩 ，即 + + =1﹣ ;
∴前n次取走后，還剩 ，即 + + +… =1﹣ ;
故答案為： ， + + +… =1﹣ ;
(1)如圖所示：
由圖可知， + + +…+ =1﹣ .
故答案為：1﹣ ;
(2)如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，根據(jù)圖示
由圖可知， + + +…+ =1﹣ ，
故答案為：1﹣ ;
(3)2﹣22﹣23﹣24﹣25﹣26﹣…﹣22011+22012
=2﹣22012(2﹣2010+2﹣2009+2﹣2008+…+2﹣1)+22012
=2﹣22012(1﹣2﹣2010)+22012
=2﹣22012+4+22012
=6.
25.某鎮(zhèn)水庫(kù)的可用水量為12000萬(wàn)立方米，假設(shè)年降水量不變，能維持該鎮(zhèn)16萬(wàn)人20年的用水量.實(shí)施城市化建設(shè)，新遷入4萬(wàn)人后，水庫(kù)只夠維持居民15年的用水量.
(1)問(wèn)：年降水量為多少萬(wàn)立方米?每人年平均用水量多少立方米?
(2)政府號(hào)召節(jié)約用水，希望將水庫(kù)的保用年限提高到25年，則該鎮(zhèn)居民人均每年需節(jié)約多少立方米才能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)?
【考點(diǎn)】二元一次方程組的應(yīng)用;一元一次方程的應(yīng)用.
【分析】(1)設(shè)年降水量為x萬(wàn)立方米，每人每年平均用水量為y立方米，根據(jù)儲(chǔ)水量+降水量=總用水量建立方程求出其解就可以了;
(2)設(shè)該城鎮(zhèn)居民年平均用水量為z立方米才能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，同樣由儲(chǔ)水量+25年降水量=25年20萬(wàn)人的用水量為等量關(guān)系建立方程求出其解即可.
【解答】解：(1)設(shè)年降水量為x萬(wàn)立方米，每人每年平均用水量為y立方米，由題意，得
，
解得：
答：年降水量為200萬(wàn)立方米，每人年平均用水量為50立方米.
(2)設(shè)該城鎮(zhèn)居民年平均用水量為z立方米才能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，由題意，得
12000+25×200=20×25z，
解得：z=34
則50﹣34=16(立方米).
答：該城鎮(zhèn)居民人均每年需要節(jié)約16立方米的水才能實(shí)現(xiàn)目標(biāo).
26.如圖，直線OM⊥ON，垂足為O，三角板的直角頂點(diǎn)C落在∠MON的內(nèi)部，三角板的另兩條直角邊分別與ON、OM交于點(diǎn)D和點(diǎn)B.
(1)填空：∠OBC+∠ODC= 180° ;
(2)如圖1：若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，求證：DE⊥BF：
(3)如圖2：若BF、DG分別平分∠OBC、∠ODC的外角，判斷BF與DG的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.
【考點(diǎn)】垂線;平行線的判定.
【分析】(1)先利用垂直定義得到∠MON=90°，然后利用四邊形內(nèi)角和求解;
(2)延長(zhǎng)DE交BF于H，如圖，由于∠OBC+∠ODC=180°，∠OBC+∠CBM=180°，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等得到∠ODC=∠CBM，由于DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，則∠CDE=∠FBE，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可得∠BHE=∠C=90°，于是DE⊥BF;
(3)作CQ∥BF，如圖2，由于∠OBC+∠ODC=180°，則∠CBM+∠NDC=180°，再利用BF、DG分別平分∠OBC、∠ODC的外角，則∠GDC+∠FBC=90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)，由CQ∥BF得∠FBC=∠BCQ，加上∠BCQ+∠DCQ=90°，則∠DCQ=∠GDC，于是可判斷CQ∥GD，所以BF∥DG.
【解答】(1)解：∵OM⊥ON，
∴∠MON=90°，
在四邊形OBCD中，∠C=∠BOD=90°，
∴∠OBC+∠ODC=360°﹣90°﹣90°=180°;
故答案為180°;
(2)證明：延長(zhǎng)DE交BF于H，如圖1，
∵∠OBC+∠ODC=180°，
而∠OBC+∠CBM=180°，
∴∠ODC=∠CBM，
∵DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，
∴∠CDE=∠FBE，
而∠DEC=∠BEH，
∴∠BHE=∠C=90°，
∴DE⊥BF;
(3)解：DG∥BF.理由如下：
作CQ∥BF，如圖2，
∵∠OBC+∠ODC=180°，
∴∠CBM+∠NDC=180°，
∵BF、DG分別平分∠OBC、∠ODC的外角，
∴∠GDC+∠FBC=90°，
∵CQ∥BF，
∴∠FBC=∠BCQ，
而∠BCQ+∠DCQ=90°，
∴∠DCQ=∠GDC，
∴CQ∥GD，
∴BF∥DG.
27.某次初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題中，有16道5分題和10道7分題，滿分為150分.批改時(shí)每道題若答對(duì)得滿分，答錯(cuò)得0分，沒(méi)有其它分值.
(1)如果曉敏同學(xué)答對(duì)了m道7分題和n道5分題，恰好得分為70分，列出關(guān)于m、n的方程，并寫出這個(gè)方程符合實(shí)際意義的所有的解.
(2)假設(shè)某同學(xué)這份競(jìng)賽試卷的得分為k(0≤k≤150)，那么k的值有多少種不同大小?請(qǐng)直接寫出答案.
【考點(diǎn)】二元一次方程的應(yīng)用;排列與組合問(wèn)題.
【分析】(1)根據(jù)總分=分值×答對(duì)題目數(shù)即可得出7m+5n=70，即m=10﹣ n，再根據(jù)m、n均為非負(fù)整數(shù)，即可得出二元一次方程的解;
(2)設(shè)答對(duì)x道5分題和答對(duì)y道7分題時(shí)分?jǐn)?shù)相等，即5x=7y，解之即可得出x、y的值，利用k=16×10﹣重復(fù)種數(shù)即可求出結(jié)論.
【解答】解：(1)根據(jù)題意得：7m+5n=70，
∴m=10﹣ n.
∵m、n均為非負(fù)整數(shù)，
∴n=0時(shí)，m=10;n=7時(shí)，m=5;n=14時(shí)，m=0，
∴這個(gè)方程符合實(shí)際意義的所有的解為： ， ， ;
(2)設(shè)答對(duì)x道5分題和答對(duì)y道7分題時(shí)分?jǐn)?shù)相等，
則5x=7y，
當(dāng)x=7時(shí)，y=5;當(dāng)x=14時(shí)，y=10.
∴當(dāng)y=5時(shí)，重復(fù)的分?jǐn)?shù)有16﹣7+1=10(種);當(dāng)x=7時(shí)，重復(fù)的分?jǐn)?shù)有10﹣5=5(種);當(dāng)y=10時(shí)，重復(fù)的分?jǐn)?shù)有16﹣7+1+16﹣14+1=13(種);當(dāng)x=14時(shí)，重復(fù)的分?jǐn)?shù)有10﹣5+10﹣10=5(種);
∴16×10﹣10﹣5﹣13﹣5=127(種).
∴k的值有127種不同大小.