高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)歸納總結(jié)
對(duì)于剛踏入高中的新生，一開(kāi)始接觸高中的數(shù)學(xué)，是不是對(duì)函數(shù)感到很頭疼，因?yàn)楹瘮?shù)不僅有它的定義和性質(zhì)，還要結(jié)合圖像和值去解題。其實(shí)函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)并不復(fù)雜，難的是解題思路，，最好能自己總結(jié)和歸納數(shù)學(xué)函數(shù)的知識(shí)。下面小編就對(duì)高中數(shù)學(xué)函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行了歸納和總結(jié)。
高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)：一次函數(shù)
一、定義與定義式：
自變量x和因變量y有如下關(guān)系：
y=kx+b
則此時(shí)稱(chēng)y是x的一次函數(shù)。
特別地，當(dāng)b=0時(shí)，y是x的正比例函數(shù)。
即：y=kx (k為常數(shù)，k≠0)
二、一次函數(shù)的性質(zhì)：
1.y的變化值與對(duì)應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k
即：y=kx+b (k為任意不為零的實(shí)數(shù) b取任何實(shí)數(shù))
2.當(dāng)x=0時(shí)，b為函數(shù)在y軸上的截距。
三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)：
1.作法與圖形：通過(guò)如下3個(gè)步驟
(1)列表;
(2)描點(diǎn);
(3)連線(xiàn)，可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線(xiàn)。因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道2點(diǎn)，并連成直線(xiàn)即可。(通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點(diǎn))
2.性質(zhì)：(1)在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)P(x，y)，都滿(mǎn)足等式：y=kx+b。(2)一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是(0，b)，與x軸總是交于(-b/k，0)正比例函數(shù)的圖像總是過(guò)原點(diǎn)。
3.k，b與函數(shù)圖像所在象限：
當(dāng)k>0時(shí)，直線(xiàn)必通過(guò)一、三象限，y隨x的增大而增大;
當(dāng)k<0時(shí)，直線(xiàn)必通過(guò)二、四象限，y隨x的增大而減小。
當(dāng)b>0時(shí)，直線(xiàn)必通過(guò)一、二象限;
當(dāng)b=0時(shí)，直線(xiàn)通過(guò)原點(diǎn)
當(dāng)b<0時(shí)，直線(xiàn)必通過(guò)三、四象限。
特別地，當(dāng)b=O時(shí)，直線(xiàn)通過(guò)原點(diǎn)O(0，0)表示的是正比例函數(shù)的圖像。
這時(shí)，當(dāng)k>0時(shí)，直線(xiàn)只通過(guò)一、三象限;當(dāng)k<0時(shí)，直線(xiàn)只通過(guò)二、四象限。
四、確定一次函數(shù)的表達(dá)式：
已知點(diǎn)A(x1，y1);B(x2，y2)，請(qǐng)確定過(guò)點(diǎn)A、B的一次函數(shù)的表達(dá)式。
(1)設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式(也叫解析式)為y=kx+b。
(2)因?yàn)樵谝淮魏瘮?shù)上的任意一點(diǎn)P(x，y)，都滿(mǎn)足等式y(tǒng)=kx+b。所以可以列出2個(gè)方程：y1=kx1+b …… ① 和y2=kx2+b …… ②
(3)解這個(gè)二元一次方程，得到k，b的值。
(4)最后得到一次函數(shù)的表達(dá)式。
五、一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用：
1.當(dāng)時(shí)間t一定，距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。
2.當(dāng)水池抽水速度f(wàn)一定，水池中水量g是抽水時(shí)間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量S。g=S-ft。
六、常用公式：(不全，希望有人補(bǔ)充)
1.求函數(shù)圖像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)
2.求與x軸平行線(xiàn)段的中點(diǎn)：|x1-x2|/2
3.求與y軸平行線(xiàn)段的中點(diǎn)：|y1-y2|/2
4.求任意線(xiàn)段的長(zhǎng)：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 (注：根號(hào)下(x1-x2)與(y1-y2)的平方和)
高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)：二次函數(shù)
I.定義與定義表達(dá)式
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：
y=ax^2+bx+c
(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上，a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下,IaI還可以決定開(kāi)口大小,IaI越大開(kāi)口就越小,IaI越小開(kāi)口就越大.)
則稱(chēng)y為x的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。
II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式
一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)
頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2+k [拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P(h，k)]
交點(diǎn)式：y=a(x-x?)(x-x ?) [僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x? ，0)和 B(x?，0)的拋物線(xiàn)]
注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:
h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
III.二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像，
可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線(xiàn)。
IV.拋物線(xiàn)的性質(zhì)
1.拋物線(xiàn)是軸對(duì)稱(chēng)圖形。對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)
x= -b/2a。
對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)唯一的交點(diǎn)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P。
特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是y軸(即直線(xiàn)x=0)
2.拋物線(xiàn)有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為
P( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )
當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上;當(dāng)Δ= b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。
3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向和大小。
當(dāng)a>0時(shí)，拋物線(xiàn)向上開(kāi)口;當(dāng)a<0時(shí)，拋物線(xiàn)向下開(kāi)口。
|a|越大，則拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。
4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱(chēng)軸的位置。
當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸左;
當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸右。
5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)。
拋物線(xiàn)與y軸交于(0，c)
6.拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)
Δ= b^2-4ac>0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。
Δ= b^2-4ac=0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。
Δ= b^2-4ac<0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個(gè)式子除以2a)
V.二次函數(shù)與一元二次方程
特別地，二次函數(shù)(以下稱(chēng)函數(shù))y=ax^2+bx+c，
當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱(chēng)方程)，
即ax^2+bx+c=0
此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。
函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。
1.二次函數(shù)y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱(chēng)軸如下表：
解析式 頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì) 稱(chēng) 軸
y=ax^2(0，0) x=0
y=a(x-h)^2(h，0) x=h
y=a(x-h)^2+k(h，k) x=h
y=ax^2+bx+c(-b/2a，[4ac-b^2]/4a) x=-b/2a
當(dāng)h>0時(shí)，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線(xiàn)y=ax^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到，
當(dāng)h<0時(shí)，則向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位得到.
當(dāng)h>0,k>0時(shí)，將拋物線(xiàn)y=ax^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;
當(dāng)h>0,k<0時(shí)，將拋物線(xiàn)y=ax^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;
當(dāng)h<0,k>0時(shí)，將拋物線(xiàn)向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;
當(dāng)h<0,k<0時(shí)，將拋物線(xiàn)向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;
因此，研究拋物線(xiàn) y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過(guò)配方，將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸，拋物線(xiàn)的大體位置就很清楚了.這給畫(huà)圖象提供了方便.
2.拋物線(xiàn)y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當(dāng)a>0時(shí)，開(kāi)口向上，當(dāng)a<0時(shí)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=-b/2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).
3.拋物線(xiàn)y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，當(dāng)x ≤ -b/2a時(shí)，y隨x的增大而減小;當(dāng)x ≥ -b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大.若a<0，當(dāng)x ≤ -b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大;當(dāng)x ≥ -b/2a時(shí)，y隨x的增大而減小.
4.拋物線(xiàn)y=ax^2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：
(1)圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c);
(2)當(dāng)△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=
(a≠0)的兩根.這兩點(diǎn)間的距離AB=|x?-x?|
當(dāng)△=0.圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)△<0.圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn).當(dāng)a>0時(shí)，圖象落在x軸的上方，x為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y>0;當(dāng)a<0時(shí)，圖象落在x軸的下方，x為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y<0.
5.拋物線(xiàn)y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當(dāng)x= -b/2a時(shí)，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是取得最值時(shí)的自變量值，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，是最值的取值.
6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過(guò)三個(gè)已知點(diǎn)或已知x、y的三對(duì)對(duì)應(yīng)值時(shí)，可設(shè)解析式為一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0).
(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ(chēng)軸時(shí)，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2+k(a≠0).
(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).
7.二次函數(shù)知識(shí)很容易與其它知識(shí)綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識(shí)為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考題，往往以大題形式出現(xiàn).
高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)：反比例函數(shù)
形如 y=k/x(k為常數(shù)且k≠0) 的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)。
自變量x的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù)。
反比例函數(shù)圖像性質(zhì)：
反比例函數(shù)的圖像為雙曲線(xiàn)。
由于反比例函數(shù)屬于奇函數(shù)，有f(-x)=-f(x),圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。
另外，從反比例函數(shù)的解析式可以得出，在反比例函數(shù)的圖像上任取一點(diǎn)，向兩個(gè)坐標(biāo)軸作垂線(xiàn)，這點(diǎn)、兩個(gè)垂足及原點(diǎn)所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。
如圖，上面給出了k分別為正和負(fù)(2和-2)時(shí)的函數(shù)圖像。
當(dāng)K>0時(shí)，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)一，三象限，是減函數(shù)
當(dāng)K<0時(shí)，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)二，四象限，是增函數(shù)
反比例函數(shù)圖像只能無(wú)限趨向于坐標(biāo)軸，無(wú)法和坐標(biāo)軸相交。
知識(shí)點(diǎn)：
1.過(guò)反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線(xiàn)段，這兩條垂線(xiàn)段與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為| k |。
2.對(duì)于雙曲線(xiàn)y=k/x ，若在分母上加減任意一個(gè)實(shí)數(shù) (即 y=k/(x±m(xù))m為常數(shù))，就相當(dāng)于將雙曲線(xiàn)圖象向左或右平移一個(gè)單位。(加一個(gè)數(shù)時(shí)向左平移，減一個(gè)數(shù)時(shí)向右平移)
對(duì)數(shù)函數(shù)
對(duì)數(shù)函數(shù)的一般形式為，它實(shí)際上就是指數(shù)函數(shù) 的反函數(shù)。因此指數(shù)函數(shù)里對(duì)于a的規(guī)定，同樣適用于對(duì)數(shù)函數(shù)。
右圖給出對(duì)于不同大小a所表示的函數(shù)圖形：
可以看到對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形只不過(guò)的指數(shù)函數(shù)的圖形的關(guān)于直線(xiàn)y=x的對(duì)稱(chēng)圖形，因?yàn)樗鼈兓榉春瘮?shù)。
(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的實(shí)數(shù)集合。
(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)槿繉?shí)數(shù)集合。
(3)函數(shù)總是通過(guò)(1，0)這點(diǎn)。
(4)a大于1時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，并且上凸;a小于1大于0時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，并且下凹。
(5)顯然對(duì)數(shù)函數(shù)無(wú)界。
高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)：指數(shù)函數(shù)
指數(shù)函數(shù)的一般形式為，從上面我們對(duì)于冪函數(shù)的討論就可以知道，要想使得x能夠取整個(gè)實(shí)數(shù)集合為定義域，則只有使得
如圖所示為a的不同大小影響函數(shù)圖形的情況。
可以看到：
(1) 指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)樗袑?shí)數(shù)的集合，這里的前提是a大于0，對(duì)于a不大于0的情況，則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因此我們不予考慮。
(2) 指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)榇笥?的實(shí)數(shù)集合。
(3) 函數(shù)圖形都是下凹的。
(4) a大于1，則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增;a小于1大于0，則為單調(diào)遞減的。
(5) 可以看到一個(gè)顯然的規(guī)律，就是當(dāng)a從0趨向于無(wú)窮大的過(guò)程中(當(dāng)然不能等于0)，函數(shù)的曲線(xiàn)從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置，趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負(fù)半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中水平直線(xiàn)y=1是從遞減到遞增的一個(gè)過(guò)渡位置。
(6) 函數(shù)總是在某一個(gè)方向上無(wú)限趨向于X軸,永不相交。
(7) 函數(shù)總是通過(guò)(0，1)這點(diǎn)。
(8) 顯然指數(shù)函數(shù)無(wú)界。
奇偶性
1.定義
一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)
(1)如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。
(2)如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。
(3)如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時(shí)成立，那么函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，稱(chēng)為既奇又偶函數(shù)。
(4)如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立，那么函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，稱(chēng)為非奇非偶函數(shù)。
說(shuō)明：①奇、偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對(duì)整個(gè)定義域而言
②奇、偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，如果一個(gè)函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)函數(shù)一定不是奇(或偶)函數(shù)。
(分析：判斷函數(shù)的奇偶性，首先是檢驗(yàn)其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，然后再?lài)?yán)格按照奇、偶性的定義經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)、整理、再與f(x)比較得出結(jié)論)
③判斷或證明函數(shù)是否具有奇偶性的根據(jù)是定義
2.奇偶函數(shù)圖像的特征：
定理 奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖表，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸或軸對(duì)稱(chēng)圖形。
f(x)為奇函數(shù)《==》f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
點(diǎn)(x,y)→(-x,-y)
奇函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對(duì)稱(chēng)區(qū)間上也是單調(diào)遞增。
偶函數(shù) 在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對(duì)稱(chēng)區(qū)間上單調(diào)遞減。
3.奇偶函數(shù)運(yùn)算
(1). 兩個(gè)偶函數(shù)相加所得的和為偶函數(shù).
(2). 兩個(gè)奇函數(shù)相加所得的和為奇函數(shù).
(3). 一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)相加所得的和為非奇函數(shù)與非偶函數(shù).
(4). 兩個(gè)偶函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù).
(5). 兩個(gè)奇函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù).
(6). 一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)相乘所得的積為奇函數(shù).
定義域
(高中函數(shù)定義)設(shè)A,B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f:A--B為集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x),x屬于集合A。其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域;
值域
名稱(chēng)定義
函數(shù)中，應(yīng)變量的取值范圍叫做這個(gè)函數(shù)的值域函數(shù)的值域,在數(shù)學(xué)中是函數(shù)在定義域中應(yīng)變量所有值的集合
常用的求值域的方法
(1)化歸法;(2)圖象法(數(shù)形結(jié)合)，
(3)函數(shù)單調(diào)性法，
(4)配方法，(5)換元法，(6)反函數(shù)法(逆求法)，(7)判別式法，(8)復(fù)合函數(shù)法，(9)三角代換法，(10)基本不等式法等
關(guān)于函數(shù)值域誤區(qū)
定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域是函數(shù)構(gòu)造的三個(gè)基本“元件”。平時(shí)數(shù)學(xué)中，實(shí)行“定義域優(yōu)先”的原則，無(wú)可置疑。然而事物均具有二重性，在強(qiáng)化定義域問(wèn)題的同時(shí)，往往就削弱或談化了，對(duì)值域問(wèn)題的探究，造成了一手“硬”一手“軟”，使學(xué)生對(duì)函數(shù)的掌握時(shí)好時(shí)壞，事實(shí)上，定義域與值域二者的位置是相當(dāng)?shù)模^不能厚此薄皮，何況它們二者隨時(shí)處于互相轉(zhuǎn)化之中(典型的例子是互為反函數(shù)定義域與值域的相互轉(zhuǎn)化)。如果函數(shù)的值域是無(wú)限集的話(huà)，那么求函數(shù)值域不總是容易的，反靠不等式的運(yùn)算性質(zhì)有時(shí)并不能奏效，還必須聯(lián)系函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、有界性、周期性來(lái)考慮函數(shù)的取值情況。才能獲得正確答案，從這個(gè)角度來(lái)講，求值域的問(wèn)題有時(shí)比求定義域問(wèn)題難，實(shí)踐證明，如果加強(qiáng)了對(duì)值域求法的研究和討論，有利于對(duì)定義域內(nèi)函的理解，從而深化對(duì)函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。
“范圍”與“值域”相同嗎?
“范圍”與“值域”是我們?cè)趯W(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到的兩個(gè)概念，許多同學(xué)常常將它們混為一談，實(shí)際上這是兩個(gè)不同的概念?！爸涤颉笔撬泻瘮?shù)值的集合(即集合中每一個(gè)元素都是這個(gè)函數(shù)的取值)，而“范圍”則只是滿(mǎn)足某個(gè)條件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都滿(mǎn)足這個(gè)條件)。也就是說(shuō):“值域”是一個(gè)“范圍”，而“范圍”卻不一定是“值域”。
高中數(shù)學(xué)冪函數(shù)知識(shí)點(diǎn)提綱
一.冪函數(shù)——教學(xué)目標(biāo)：
1.知識(shí)技能
(1)了解冪函數(shù)的概念;
(2)通過(guò)具體實(shí)例了解冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并能進(jìn)行初步的應(yīng)用。
(3)學(xué)會(huì)研究函數(shù)圖象和性質(zhì)的一般方法。
2.過(guò)程與方法
類(lèi)比研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程，掌握冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)。
3.情感、態(tài)度、價(jià)值觀(guān)
(1)進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合與類(lèi)比的思想方法;
(2)體會(huì)冪函數(shù)的變化規(guī)律及蘊(yùn)含其中的對(duì)稱(chēng)性，感受數(shù)學(xué)美。
二、冪函數(shù)——教學(xué)重難點(diǎn)：
1、重點(diǎn)：冪函數(shù)的概念和性質(zhì);
2、難點(diǎn)：函數(shù)指數(shù)的推廣及性質(zhì)的歸納。
三、冪函數(shù)——教學(xué)輔助工具：
PPT課件，幾何畫(huà)板。
四、冪函數(shù)——教學(xué)過(guò)程：
(一)創(chuàng)設(shè)情景
前面我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義，研究了函數(shù)的一般性質(zhì)，并且研究了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)。函數(shù)這個(gè)大家庭有很多成員，今天，我們利用學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的方法，再來(lái)認(rèn)識(shí)一位新成員。
1、如果正方形的邊長(zhǎng)為，那么正方形的面積是= ，是的函數(shù)。
2、如果正方體的邊長(zhǎng)為，那么正方體的體積是 = ，是的函數(shù)。
3、如果正方形場(chǎng)地的面積為，那么正方形的邊長(zhǎng)= ，是的函數(shù)。
4、如果某人s內(nèi)騎車(chē)行進(jìn)了1km，那么他騎車(chē)的平均速度= km/s，是的函數(shù)。
思考：上述函數(shù)解析式有什么共同特征?
答：(1)都是函數(shù);
(2)均是以自變量為底的冪;
(3)指數(shù)均為常數(shù);
(4)自變量前的系數(shù)為1。
(二)新課導(dǎo)入
1、冪函數(shù)的定義：
一般地, 叫做冪函數(shù),其中是自變量,是常數(shù)。
2、冪函數(shù)與我們之前學(xué)過(guò)的哪種函數(shù)在形式上接近?
3、冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)有什么區(qū)別?
答：判斷一個(gè)函數(shù)是冪函數(shù)還是指數(shù)函數(shù)的切入點(diǎn)是看未知數(shù)x是做底數(shù)還是做指數(shù)，若是做底數(shù)則是冪函數(shù);若是做指數(shù)則是指數(shù)函數(shù)。
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生分析掌握冪函數(shù)的結(jié)構(gòu)，三要素，區(qū)分冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的異同點(diǎn)。
(三)小試牛刀
1、下列函數(shù)中，哪幾個(gè)函數(shù)是冪函數(shù)?
① ② ③
④ ⑤ ⑥
2、 已知函數(shù)是冪函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值等于_____.
3、 已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則
(四)自主探究
1、請(qǐng)?jiān)谕蛔鴺?biāo)系內(nèi)畫(huà)出冪函數(shù)，，，，的圖象。
2、觀(guān)察圖象，討論歸納冪函數(shù);;;;的性質(zhì)。
定義域
值 域
奇偶性
單調(diào)性
定 點(diǎn)
(五)合作探究
歸納冪函數(shù)的性質(zhì)：
(1)冪函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn) 。
(2)函數(shù)、、是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)
(3)冪函數(shù),在第 象限都有圖象。我們就先來(lái)研究?jī)绾瘮?shù)在第 象限上的性質(zhì)，函數(shù)的奇偶性能夠幫助我們完成其他象限的圖象。
在區(qū)間上，函數(shù)、、和是增函數(shù)，函數(shù)是減函數(shù)。
推廣：當(dāng)>0時(shí)，函數(shù)在第一象限是增函數(shù)，當(dāng)<0時(shí)，函數(shù)在第一象限是減函數(shù).
(4)在第一象限，函數(shù)的圖象向上與y軸無(wú)限接近，向右與x軸無(wú)限接近
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比前面研究一般的函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等過(guò)程中的思想方法研究?jī)绾瘮?shù);讓學(xué)生通過(guò)觀(guān)察上述圖象，自己嘗試歸納五個(gè)冪函數(shù)的基本性質(zhì)，然后完成表格;進(jìn)而歸納冪函數(shù)的性質(zhì)。
(六)反饋演練
例1、 證明冪函數(shù)上是增函數(shù)
證：任取<則
=
=
因<0，>0
所以，即上是增函數(shù).
例2、 比較下列各組中兩個(gè)值的大?。?/p>
(1)與 ;(2)與;(3)與
(4)與.
例3、已知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，求m的取值.
例題的設(shè)計(jì)意圖：
例題1復(fù)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的證明步驟，例題2復(fù)習(xí)利用指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)來(lái)比較大小的同時(shí)學(xué)會(huì)用冪函數(shù)的方法來(lái)比較大小，體會(huì)一題多解.例題3學(xué)會(huì)利用冪函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解題.
(七)總結(jié)提煉
1、談?wù)勎鍌€(gè)基本冪函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)冪函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性之間的關(guān)系?
2、冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的不同點(diǎn)主要表現(xiàn)在哪些方面?
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