高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目（四套ABCD）
高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目（四套ABCD）
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2017年高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目
A題 CT系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定及成像
CT(Computed Tomography)可以在不破壞樣品的情況下，利用樣品對(duì)射線能量的吸收特性對(duì)生物組織和工程材料的樣品進(jìn)行斷層成像，由此獲取樣品內(nèi)部的結(jié)構(gòu)信息。一種典型的二維CT系統(tǒng)如圖1所示，平行入射的X射線垂直于探測(cè)器平面，每個(gè)探測(cè)器單元看成一個(gè)接收點(diǎn)，且等距排列。X射線的發(fā)射器和探測(cè)器相對(duì)位置固定不變，整個(gè)發(fā)射-接收系統(tǒng)繞某固定的旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180次。對(duì)每一個(gè)X射線方向，在具有512個(gè)等距單元的探測(cè)器上測(cè)量經(jīng)位置固定不動(dòng)的二維待檢測(cè)介質(zhì)吸收衰減后的射線能量，并經(jīng)過(guò)增益等處理后得到180組接收信息。
CT系統(tǒng)安裝時(shí)往往存在誤差，從而影響成像質(zhì)量，因此需要對(duì)安裝好的CT系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)標(biāo)定，即借助于已知結(jié)構(gòu)的樣品(稱為模板)標(biāo)定CT系統(tǒng)的參數(shù)，并據(jù)此對(duì)未知結(jié)構(gòu)的樣品進(jìn)行成像。
請(qǐng)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型和算法，解決以下問(wèn)題：
(1) 在正方形托盤上放置兩個(gè)均勻固體介質(zhì)組成的標(biāo)定模板，模板的幾何信息如圖2所示，相應(yīng)的數(shù)據(jù)文件見附件1，其中每一點(diǎn)的數(shù)值反映了該點(diǎn)的吸收強(qiáng)度，這里稱為“吸收率”。對(duì)應(yīng)于該模板的接收信息見附件2。請(qǐng)根據(jù)這一模板及其接收信息，確定CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心在正方形托盤中的位置、探測(cè)器單元之間的距離以及該CT系統(tǒng)使用的X射線的180個(gè)方向。
(2) 附件3是利用上述CT系統(tǒng)得到的某未知介質(zhì)的接收信息。利用(1)中得到的標(biāo)定參數(shù)，確定該未知介質(zhì)在正方形托盤中的位置、幾何形狀和吸收率等信息。另外，請(qǐng)具體給出圖3所給的10個(gè)位置處的吸收率，相應(yīng)的數(shù)據(jù)文件見附件4。
(3) 附件5是利用上述CT系統(tǒng)得到的另一個(gè)未知介質(zhì)的接收信息。利用(1)中得到的標(biāo)定參數(shù)，給出該未知介質(zhì)的相關(guān)信息。另外，請(qǐng)具體給出圖3所給的10個(gè)位置處的吸收率。
(4) 分析(1)中參數(shù)標(biāo)定的精度和穩(wěn)定性。在此基礎(chǔ)上自行設(shè)計(jì)新模板、建立對(duì)應(yīng)的標(biāo)定模型，以改進(jìn)標(biāo)定精度和穩(wěn)定性，并說(shuō)明理由。
(1)-(4)中的所有數(shù)值結(jié)果均保留4位小數(shù)。同時(shí)提供(2)和(3)重建得到的介質(zhì)吸收率的數(shù)據(jù)文件(大小為256×256，格式同附件1，文件名分別為problem2.xls和problem3.xls)
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B題 “拍照賺錢”的任務(wù)定價(jià)
“拍照賺錢”是移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)下的一種自助式服務(wù)模式。用戶下載APP，注冊(cè)成為APP的會(huì)員，然后從APP上領(lǐng)取需要拍照的任務(wù)(比如上超市去檢查某種商品的上架情況)，賺取APP對(duì)任務(wù)所標(biāo)定的酬金。這種基于移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的自助式勞務(wù)眾包平臺(tái)，為企業(yè)提供各種商業(yè)檢查和信息搜集，相比傳統(tǒng)的市場(chǎng)調(diào)查方式可以大大節(jié)省調(diào)查成本，而且有效地保證了調(diào)查數(shù)據(jù)真實(shí)性，縮短了調(diào)查的周期。因此APP成為該平臺(tái)運(yùn)行的核心，而APP中的任務(wù)定價(jià)又是其核心要素。如果定價(jià)不合理，有的任務(wù)就會(huì)無(wú)人問(wèn)津，而導(dǎo)致商品檢查的失敗。
附件一是一個(gè)已結(jié)束項(xiàng)目的任務(wù)數(shù)據(jù)，包含了每個(gè)任務(wù)的位置、定價(jià)和完成情況(“1”表示完成，“0”表示未完成);附件二是會(huì)員信息數(shù)據(jù)，包含了會(huì)員的位置、信譽(yù)值、參考其信譽(yù)給出的任務(wù)開始預(yù)訂時(shí)間和預(yù)訂限額，原則上會(huì)員信譽(yù)越高，越優(yōu)先開始挑選任務(wù)，其配額也就越大(任務(wù)分配時(shí)實(shí)際上是根據(jù)預(yù)訂限額所占比例進(jìn)行配發(fā));附件三是一個(gè)新的檢查項(xiàng)目任務(wù)數(shù)據(jù)，只有任務(wù)的位置信息。請(qǐng)完成下面的問(wèn)題：
1.研究附件一中項(xiàng)目的任務(wù)定價(jià)規(guī)律，分析任務(wù)未完成的原因。
2.為附件一中的項(xiàng)目設(shè)計(jì)新的任務(wù)定價(jià)方案，并和原方案進(jìn)行比較。
3.實(shí)際情況下，多個(gè)任務(wù)可能因?yàn)槲恢帽容^集中，導(dǎo)致用戶會(huì)爭(zhēng)相選擇，一種考慮是將這些任務(wù)聯(lián)合在一起打包發(fā)布。在這種考慮下，如何修改前面的定價(jià)模型，對(duì)最終的任務(wù)完成情況又有什么影響?
4.對(duì)附件三中的新項(xiàng)目給出你的任務(wù)定價(jià)方案，并評(píng)價(jià)該方案的實(shí)施效果。
附件一：已結(jié)束項(xiàng)目任務(wù)數(shù)據(jù)
附件二：會(huì)員信息數(shù)據(jù)
附件三：新項(xiàng)目任務(wù)數(shù)據(jù)
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C題 顏色與物質(zhì)濃度辨識(shí)
比色法是目前常用的一種檢測(cè)物質(zhì)濃度的方法，即把待測(cè)物質(zhì)制備成溶液后滴在特定的白色試紙表面，等其充分反應(yīng)以后獲得一張有顏色的試紙，再把該顏色試紙與一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)比色卡進(jìn)行對(duì)比，就可以確定待測(cè)物質(zhì)的濃度檔位了。由于每個(gè)人對(duì)顏色的敏感差異和觀測(cè)誤差，使得這一方法在精度上受到很大影響。隨著照相技術(shù)和顏色分辨率的提高，希望建立顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度的數(shù)量關(guān)系，即只要輸入照片中的顏色讀數(shù)就能夠獲得待測(cè)物質(zhì)的濃度。試根據(jù)附件所提供的有關(guān)顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度數(shù)據(jù)完成下列問(wèn)題：
1.附件Data1.xls中分別給出了5種物質(zhì)在不同濃度下的顏色讀數(shù)，討論從這5組數(shù)據(jù)中能否確定顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度之間的關(guān)系，并給出一些準(zhǔn)則來(lái)評(píng)價(jià)這5組數(shù)據(jù)的優(yōu)劣。
2.對(duì)附件Data2.xls中的數(shù)據(jù)，建立顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度的數(shù)學(xué)模型，并給出模型的誤差分析。
探討數(shù)據(jù)量和顏色維度對(duì)模型的影響。
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D題 巡檢線路的排班
某化工廠有26個(gè)點(diǎn)需要進(jìn)行巡檢以保證正常生產(chǎn)，各個(gè)點(diǎn)的巡檢周期、巡檢耗時(shí)、兩點(diǎn)之間的連通關(guān)系及行走所需時(shí)間在附件中給出。
每個(gè)點(diǎn)每次巡檢需要一名工人，巡檢工人的巡檢起始地點(diǎn)在巡檢調(diào)度中心(XJ0022)，工人可以按固定時(shí)間上班，也可以錯(cuò)時(shí)上班，在調(diào)度中心得到巡檢任務(wù)后開始巡檢?，F(xiàn)需要建立模型來(lái)安排巡檢人數(shù)和巡檢路線，使得所有點(diǎn)都能按要求完成巡檢，并且耗費(fèi)的人力資源盡可能少，同時(shí)還應(yīng)考慮每名工人在一時(shí)間段內(nèi)(如一周或一月等)的工作量盡量平衡。
問(wèn)題1. 如果采用固定上班時(shí)間，不考慮巡檢人員的休息時(shí)間，采用每天三班倒，每班工作8小時(shí)左右，每班需要多少人，巡檢線路如何安排，并給出巡檢人員的巡檢線路和巡檢的時(shí)間表。
問(wèn)題2. 如果巡檢人員每巡檢2小時(shí)左右需要休息一次，休息時(shí)間大約是5到10分鐘，在中午12時(shí)和下午6時(shí)左右需要進(jìn)餐一次，每次進(jìn)餐時(shí)間為30分鐘，仍采用每天三班倒，每班需要多少人，巡檢線路如何安排，并給出巡檢人員的巡檢線路和巡檢的時(shí)間表。
問(wèn)題3. 如果采用錯(cuò)時(shí)上班，重新討論問(wèn)題1和問(wèn)題2，試分析錯(cuò)時(shí)上班是否更節(jié)省人力。