公務(wù)員考試行測排列組合基本計數(shù)原理

公務(wù)員考試行測排列組合基本計數(shù)原理

　　在各省公務(wù)員行測考試中，數(shù)量關(guān)系是每年都會考察的內(nèi)容。這一部分涉及到的內(nèi)容、題型和知識點都非常繁多，是大家一直比較頭痛的部分。其中，排列組合的相關(guān)題目，可能是大家復(fù)習(xí)當(dāng)中的難點。本文是學(xué)習(xí)啦小編整理的，歡迎閱讀。

　　排列組合基本計數(shù)原理

　　排列組合的基本計數(shù)原理有兩個，加法原理和乘法原理。下面讓我們逐一進(jìn)行解釋：

　　加法原理即分類時采用的計數(shù)方法。也就是說，當(dāng)完成一件事情，分成幾類情況時，把每一類的情況數(shù)計算或枚舉出來，那么總的情況數(shù)，就是所有類的情況數(shù)相加。

　　乘法原理即分步時采用的計數(shù)方法。也就是說，當(dāng)完成一件事情，分成先后幾步時，把每一步的情況數(shù)計算或枚舉出來，那么總的情況數(shù)，就是所有步的情況數(shù)相加乘。

　　那么，何為分類，何為分步?讓我們來舉例說明。

　　如果從北京到上海，那么坐飛機(jī)可以，坐高鐵可以，坐汽車可以，自駕也行，此時稱為分類;如果坐飛機(jī)有3個航班合適，坐高鐵有4趟高鐵合適，坐汽車有2趟都行，自駕游也有1種路線，那么從北京到上海，所有的方法數(shù)就是3+4+2+1=10種方法。

　　如果從北京到上海，上海到廣州，廣州再回北京，整個的行程按順序分成了3個步驟，此時即為分步;如果從北京到上海有3種方法，上海到廣州到4條路線，廣州再回北京也有2種方案，那么整個行程，所有的方法數(shù)就是3×4×2=24種方法。

　　我們發(fā)現(xiàn)分類與分步，一定是不同的、有區(qū)別的，它們的區(qū)別就在于：能否獨立完成此事。

　　第一個例子中，想從北京到上海，飛機(jī)、高鐵、汽車、自駕，這4類方案，都可以完成這個行程，即分類當(dāng)中的每一類，都可以獨立完成整個事情。

　　第二個例子中，北京到上海，上海到廣州，廣州再回北京，這是完成整個行程的3步，單獨拿出任何一步來，比如上海到廣州，這1步，并不意味著整個行程就完成了，即分步當(dāng)中的任何一步，都不能獨立完成此事。

　　下面來看一個例題，加深對于分類分步的理解：

　　例題：

　　某人乘車從家直接到藝術(shù)中心有3條路線可選;從家到體育場有4條路線可選，從體育場到藝術(shù)中心有2條路線可選，則他從家到藝術(shù)中心共有幾種不同的路線?

　　通過閱讀題目，我們可以發(fā)現(xiàn)，題目所求的從家到藝術(shù)中心，可以分成兩類情況：要么直接到;要么從體育場中轉(zhuǎn)換乘間接到。第一類直接到，有3條路線可選;第二類間接到，需要分成2小步，第一步從家到體育場，第二步從體育場到藝術(shù)中心，根據(jù)分步相乘，第二類一共有4×2=8條路線。故一共的路線數(shù)=3+8=11種。

　　基本計數(shù)原理

　　一、主要內(nèi)容

　　一般計數(shù)原理部分的考試，分為兩種，一是排列組合二項式定理單獨出題，二是在概率中需要用到排列組合二項式定理。

　　1、基本計數(shù)原理

　　2、排列和組合

　　3、常用方法

　　二、知識梳理

　　1、基本計數(shù)原理

　　(1)分類加法計數(shù)原理

　　從甲地到乙地，可乘坐三類交通工具：可以乘火車，可以坐汽車，還可以乘輪船，假定火車每日1班，汽車每日3班，輪船每日2班，那么一天中從甲地到乙地有多少種不同的走法?(1+3+2=6種)

　　做一件事，完成它有n類辦法，在第一類辦法中，有m1種不同的方法，在第二類辦法中，有m2種不同的方法，以此類推，在第n類辦法中，有mn種不同的方法，那么完成這件事共有Nm1m2...mn種不同的方法。

　　(2)分步乘法計數(shù)原理。

　　某中學(xué)的閱覽室有50本不同的科技書，80本不同的文藝書，現(xiàn)在張三同學(xué)想借1本科技書和1本文藝書，共有多少種借法?(50*80=4000)

　　做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一個步驟有

　　種不同的方法，以此類推，做第n個步驟有m1種不同的方法，m做第二個步驟有2mn種不同的方法，那么完成這件事共有Nm1m2...mn種不同的方法。

　　以上兩個基本計數(shù)原理是解決計數(shù)問題最基本的理論依據(jù)。他們分別給出了兩種不同方式完成一件事的方法總數(shù)的不同計算方法。

　　注意：分類要“不重不漏”，每類的每一種方法都能獨立完成事件;

　　分步要“步驟完整”，每一步不能完成事件，只有各步依次都完成，才能完成事件。

　　2、排列與組合

　　(1)排列

　　有紅球、白球、黃球各一個，現(xiàn)從這三個小球中任取兩個，分別放入甲、乙盒子里，有多少種不同的方法?(3*2=6)

　　我們把被取的對象叫做元素。取出的元素按照已知的順序排成一列，我們稱它為該問題的一個排列。

　　一般地，從n個不同元素中任取出m(mn)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。

　　兩個排列相同，則組成排列的元素相同，并且元素的排列順序也相同。

　　從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出

　　m表示。 m個元素的排列數(shù)，用符號An

　　根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，得到公式Anmn(n1)(n2)(nm1)

　　這里n,mN，并且mn，這個公式叫做排列數(shù)公式。

　　一般地，n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個不同元素的一個全排列，這時mn，則有Anmn(n1)(n2)321，這個公式是由1到n。我們把正整數(shù)1到n的連

　　n乘積，叫做n的階乘，用n!表示。所以n個不同元素的全排列數(shù)公式可以寫成An

　　排列數(shù)的公式還有下面的另一種形式：mAnn! n!，我們規(guī)定0!1。 (nm)!

　　(2)組合

　　有紅球、黃球、白球各一個，從這三個小球中，任意取出兩個小球，共有多少種不同的取法?(與順序無關(guān)，共3種)

　　一般地，從n個不同元素中，任意取出m(mn)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中任取m個元素的一個組合。

　　從n個不同元素中，任意取出m(mn)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中，任意取出m個元素的組合數(shù)，用符號Cn表示。

　　一般地，從n個不同元素中，任取m個元素的排列，可以分兩步完成： m

　　第一步 選取元素 從n個不同元素中，任意m個元素的組合，有種Cn方法;

　　第二步 排位置 選出的m個不同元素的全排列，有Am種方法。

　　根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，得：An

　　m

　　nmmmmmCnAm mAnCmmmAAm可以得出組合數(shù)Cn由n的計算公式和的計算公式為：

　　n(n1)(n2)...(nm1)

　　m!

　　n!mCnm!(nm)! mCn

　　通過上面兩個公式還可以推出：Cn

　　(3)組合數(shù)的兩個性質(zhì)

　　性質(zhì)1 CnmnmCn

　　mm1CnCn 01 性質(zhì)2 Cn1m

　　3、排列組合的常用方法

　　(1)捆綁法解決相鄰問題;

　　(2)插空法解決不相鄰問題;

　　(3)除序法解決相同元素問題，除序法是除法;

　　(4)排除法解決算多了需要減掉多余的，排除法是減法;

　　(5)特殊元與特殊位優(yōu)先解決，再解決一般;

　　(6)窮舉法。

　　練習(xí)題

　　1、一個科技小組中有3名女同學(xué)，5名男同學(xué)

　　(1)若從中任選一名同學(xué)參加學(xué)科競賽，共有多少種選派方法?

　　(2)若從中任選一名女同學(xué)和一名男同學(xué)參加學(xué)科競賽，共有多少種選派方法?

　　2、求證：C222223 C3C4...C100C101

　　3、(1)4個同學(xué)分配到3個課外小組中，共有幾種分配方法?

　　(2)4個同學(xué)爭奪3項競賽的冠軍，冠軍的獲得者共有幾種可能情況?

　　4、4名男生和3名女生共坐一排，男生必須排在一起的坐法有多少種?

　　5、四個不同的小球全部放入三個不同的盒子中，若使每個盒子不空，則不同的放法有?

　　6、某市植物園要在30天內(nèi)接待20所學(xué)校的學(xué)生參觀，但每天只能安排一所學(xué)校，其中有一所學(xué)校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀2天，其余只參觀一天，則植物園30天內(nèi)不同的安排方法有多少種?

　　7、 從6名男生和4名女生中，選3名代表，要求至少包含1名女生，則不同的選法有__種? 8、12個籃球隊中有3個強隊，將這12個隊任意分成3個組，則3個強隊恰好被分在同一組的概率為?

　　9、7人站成一排照相， 若要求甲、乙、丙不相鄰，則有多少種不同的排法?

　　10、3個歌舞，4個獨唱，2個小品排成一份節(jié)目單，3個歌舞中任意兩個都不排在一起，共有多少種排法?

　　11、求三元一次方程xyz100(x,y,zN)解的個數(shù)?

　　12、5名運動員參加軍事三項賽，射擊、游泳和長跑各設(shè)一名冠軍，則三項冠軍獲得者的結(jié)果有多少種?

　　13、有3枚一分硬幣，6枚一角硬幣，4張十元硬幣，共組成多少種非零幣值?

　　14、甲乙丙丁參加400米接力比賽，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同跑法?

　　15、某宿舍4個人互贈賀卡，每個人都拿到不是自己的賀卡情況有多少種?

　　16、8個人排隊照相，按如下要求各有多少種不同的排隊方法：

　　(1)甲乙丙三人必須相鄰，丁戊不相鄰;

　　(2)甲乙兩人必須站中間，丙丁兩人不站兩端;

　　(3)甲不在左端且不在乙右側(cè)的任何位置;

　　(4)8人中，有4個男生4個女生，要求同性別不相鄰。

　　17、8個人中，3個大人5個小孩，要求每個大人右邊相鄰的必是小孩，有幾種方法? 18、8人中3名教師，5名學(xué)生

　　(1)3名教師隨意站，5名學(xué)生必須從左至右從高到低，共有幾種方法?

　　(2)甲乙兩人必須相鄰，且甲乙都不與丙相鄰，共有多少種排法?

　　19、用0~9這十個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)

　　(1)可組成多少個四位的自然數(shù)?

　　(2)可組成多少個四位偶數(shù)?

　　(3)可組成多少個被25整除的四位數(shù)?

　　(4)可組成多少個從高位開始偶數(shù)位上是偶數(shù)的四位數(shù)?

　　(5)可組成的四位自然數(shù)的個位上的數(shù)字之和?

　　(6)比5612大的四位數(shù)有多少個?

　　(7)將組成的所有四位數(shù)按大小從小到大排隊，第1010個數(shù)是哪個?

　　20、從16人中選出3名會議代表，其中甲乙丙三人至少一人當(dāng)代表的選法是多少種? 21、1到18的18個數(shù)中，取三個數(shù)相加，要求他們的和恰好被3整除的情況有多少種?

　　22、某籃球隊共10名隊員，其中4名只會打前鋒，另外4名只會打后衛(wèi)，其余2名是全面手，現(xiàn)派5名隊員上陣，其中3名前鋒，2名后衛(wèi)，有多少種選派方法?

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