2017數(shù)學(xué)建模優(yōu)秀論文
2017數(shù)學(xué)建模優(yōu)秀論文
數(shù)學(xué)建模不僅為學(xué)生提供了一個(gè)參與實(shí)踐、勇于創(chuàng)新的平臺(tái)，也為學(xué)生的進(jìn)一步發(fā)展打下了良好的基礎(chǔ)。下文是學(xué)習(xí)啦小編為大家搜集整理的關(guān)于2017數(shù)學(xué)建模優(yōu)秀論文的內(nèi)容，歡迎大家閱讀參考!
2017數(shù)學(xué)建模優(yōu)秀論文篇1
淺析高職院校數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)
[摘要]文章以全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽為背景，簡述了在高職院校學(xué)生中進(jìn)行數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)的意義，根據(jù)高職學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)掌握情況，結(jié)合數(shù)學(xué)建模競賽的特點(diǎn)，探討了高職院校開展數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)的方法與具體內(nèi)容，提出高職數(shù)學(xué)教學(xué)要精簡數(shù)學(xué)理論、弱化系統(tǒng)性、突出數(shù)學(xué)應(yīng)用、重在實(shí)用性的基本思想。
[關(guān)鍵詞]高職學(xué)生 數(shù)學(xué)建模
數(shù)學(xué)建模是在20世紀(jì)六七十年代進(jìn)入一些西方國家大學(xué)的，我國幾所大學(xué)也在80年代初將數(shù)學(xué)建模引入課堂。1992年由中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)組織舉辦了我國10城市的大學(xué)生數(shù)學(xué)模型聯(lián)賽，74所院校參加了本次聯(lián)賽。教育部及時(shí)發(fā)現(xiàn)，并扶植、培育了這一新生事物，決定從1994年起由教育部高教司和中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)共同主辦全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，每年一屆?，F(xiàn)在絕大多數(shù)本科院校和許多專科學(xué)校都開設(shè)了各種形式的數(shù)學(xué)建模課程和講座，每年有幾萬名來自各個(gè)專業(yè)的大學(xué)生參加競賽，有效激勵(lì)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題的能力，為培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)方法分析、解決實(shí)際問題開辟了一條有效途徑。
從1999年起，全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽設(shè)立了?？平M，高職院校作為高等教育的重要組成部分，在開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中投入了極大的熱情，數(shù)學(xué)建模也成為高職院校數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一個(gè)熱點(diǎn)。作為高職院校的數(shù)學(xué)教師，筆者自2001年以來一直擔(dān)負(fù)著學(xué)校的數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)工作，每年學(xué)生們都積極參加數(shù)學(xué)建模競賽，也取得了國家級(jí)、省級(jí)的獎(jiǎng)勵(lì)。結(jié)合高職院校的學(xué)生特點(diǎn)，以及十年間高職數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的實(shí)踐，筆者對(duì)高職院校開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的意義進(jìn)行了探討，并總結(jié)了高職院校實(shí)行數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)的思路與方法。
一、在高職院校開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的意義
(一)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)能夠滿足部分學(xué)生的學(xué)習(xí)需求
高職院校的學(xué)生大多是基礎(chǔ)知識(shí)相對(duì)薄弱的，但是也有不少學(xué)生基礎(chǔ)扎實(shí)，善于思考。高職院校目的是培養(yǎng)既有理論基礎(chǔ)，又有實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神的復(fù)合型人才，這就要求我們既要進(jìn)行大眾化的人才培養(yǎng)，又要滿足部分學(xué)生對(duì)知識(shí)、能力更高層次的需求。數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)為這些學(xué)生帶來了新的挑戰(zhàn)和機(jī)會(huì)，為他們展示創(chuàng)新思維與實(shí)踐能力提供了舞臺(tái)。
(二)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)
通過數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練，可以擴(kuò)充學(xué)生的知識(shí)面，培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的知識(shí)拓展能力、綜合運(yùn)用能力;還可以豐富學(xué)生的想象力，提高抽象思維的簡化能力和創(chuàng)新精神，既有洞察能力和聯(lián)想能力，又有開拓能力和創(chuàng)造能力，以及團(tuán)結(jié)協(xié)作的攻關(guān)能力。
(三)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)可以促進(jìn)數(shù)學(xué)教師的教學(xué)能力和科研能力，推動(dòng)高職數(shù)學(xué)教學(xué)的改革與創(chuàng)新
通過在高職院校中開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)教師本身也是機(jī)會(huì)和挑戰(zhàn)。教師必須重新組織教學(xué)內(nèi)容，補(bǔ)充自身知識(shí)的缺陷與不足，促使教師自身綜合素質(zhì)的不斷提高。通過數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中必然會(huì)改進(jìn)教學(xué)方法，轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念和教學(xué)方式，教學(xué)水平和科研能力都會(huì)逐步提高。通過數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練，教師也能夠?qū)W會(huì)一定的科學(xué)研究方法，增強(qiáng)實(shí)踐教學(xué)意識(shí)，對(duì)于在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和抽象思維有了明確的認(rèn)識(shí)。通過數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練，教師更善于在教學(xué)過程中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，重視教學(xué)方法與教學(xué)手段的改革，推動(dòng)教學(xué)質(zhì)量不斷提高。
二、在高職院校實(shí)行數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)的思想與方法
(一)高職院校實(shí)行數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)的必要性
數(shù)學(xué)教育本質(zhì)上是一種素質(zhì)教育。通過數(shù)學(xué)訓(xùn)練，可以使學(xué)生樹立明確的數(shù)量觀念，提高邏輯思維能力，有助于培養(yǎng)認(rèn)真細(xì)致、一絲不茍的作風(fēng)，形成精益求精的風(fēng)格，提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理現(xiàn)實(shí)世界中各種復(fù)雜問題的意識(shí)、信念和能力。高職院校中，作為基礎(chǔ)課程的數(shù)學(xué)課，不僅要為學(xué)生學(xué)習(xí)專業(yè)課提供必要的數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)還要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)他們勇于創(chuàng)新、團(tuán)結(jié)協(xié)作解決問題的能力。而開設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，進(jìn)行數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)有助于提高學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的興趣與主動(dòng)性，提高學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，為培養(yǎng)高質(zhì)量、高層次復(fù)合型人才提供有力的幫助。
(二)突出高職特色，滲透數(shù)學(xué)建模教學(xué)思想
高職學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)總體比較薄弱，但實(shí)踐能力和動(dòng)手能力又相對(duì)較強(qiáng)。這就要求教師在教授數(shù)學(xué)知識(shí)的時(shí)候，必須把握“以應(yīng)用為目的、必需夠用”的原則，揚(yáng)長避短，體現(xiàn)精簡數(shù)學(xué)理論，弱化系統(tǒng)性，突出數(shù)學(xué)應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)實(shí)用性。在開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中，要從開設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課入手，普及數(shù)學(xué)建模思想，強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模在實(shí)際當(dāng)中的應(yīng)用。
從目前課程設(shè)置及課時(shí)的統(tǒng)計(jì)上，可以看出作為基礎(chǔ)課程的數(shù)學(xué)課總課時(shí)整體呈縮減趨勢。面對(duì)這種現(xiàn)狀，我們需要在保證學(xué)生夠用的前提下，突出數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，這就需要我們進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法上的改革。開設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，給數(shù)學(xué)教學(xué)改革帶來了新的啟示，使數(shù)學(xué)教學(xué)改革在迷茫中找到了突破口。通過組織學(xué)生參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，以及對(duì)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的進(jìn)一步研究，我們提出了在高職院校中開設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的構(gòu)想，利用現(xiàn)有課時(shí)使學(xué)生盡可能多地了解數(shù)學(xué)的思想方法，掌握應(yīng)用軟件解決數(shù)學(xué)問題的技能。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課建設(shè)的指導(dǎo)思想是以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)，以學(xué)生為主體，以問題為導(dǎo)向，以培養(yǎng)能力為目標(biāo)。在數(shù)學(xué)教學(xué)改革中，要堅(jiān)持貫徹指導(dǎo)思想，努力構(gòu)建數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程教學(xué)的模式。
(三)數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)的方法探索 在高職院校的實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以采取在大一第二個(gè)學(xué)期，由各系推薦，學(xué)生自愿的方式開設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)選修課。這一階段主要給學(xué)生補(bǔ)充一些必要的數(shù)學(xué)知識(shí)及軟件應(yīng)用方法，介紹一些最常用的解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)方法，比如數(shù)值計(jì)算、最優(yōu)化方法、數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最基本的原理和算法，同時(shí)選擇合適的數(shù)學(xué)軟件平臺(tái)，熟練計(jì)算機(jī)的操作，掌握工具軟件的使用，基本上能夠?qū)崿F(xiàn)所講內(nèi)容的主要計(jì)算。組織興趣小組，集體討論，相互促進(jìn)，共同提高，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)精神。在教授過程中盡量引入實(shí)際問題，并落實(shí)于解決這些問題，引導(dǎo)學(xué)生自己動(dòng)手操作，通過協(xié)作討論，寫出從問題的提出和簡化到解決方案和數(shù)學(xué)模型的實(shí)驗(yàn)報(bào)告，并盡可能給出算法和計(jì)算機(jī)的實(shí)現(xiàn)，得出計(jì)算結(jié)果。
在期末選出部分比較出色的學(xué)生，為參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽進(jìn)行培訓(xùn)，時(shí)間主要集中在暑假期間。這一階段安排學(xué)生熟悉數(shù)學(xué)建模所涉及的各種方法，諸如幾何理論、微積分、組合概率、統(tǒng)計(jì)(回歸)分析、優(yōu)化方法(規(guī)劃)、圖論與網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化、綜合評(píng)價(jià)、插值與擬合、差分計(jì)算、微分方程、排隊(duì)論等方法。學(xué)生也要在盡量岔開專業(yè)的前提下，依照教師建議及學(xué)生自己選擇進(jìn)行分組，利用歷年一些典型的競賽題目模擬訓(xùn)練，對(duì)于每道題目要求各組按比賽要求給出模型論文。教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)題目中所用的方法，找出各自的長處與不足，為后面的訓(xùn)練與比賽積累知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)。
三、如何在高職院校中開展數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)
(一)高職院校數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)的總體規(guī)劃
確定對(duì)于高職學(xué)生實(shí)行數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)的思想與方法后，重點(diǎn)就是要組織教學(xué)內(nèi)容。目前關(guān)于數(shù)學(xué)建模的書籍及參考資料多種多樣，其中大多是面向本科學(xué)生的，近幾年也有不少針對(duì)?？茖W(xué)生的數(shù)學(xué)建模材料。前期數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的選修過程中，建議高職院校不要局限于某一本教材，而是參考各種資料，選擇一些比較典型又易于上手的數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生既在學(xué)中做，又在做中學(xué)。而在針對(duì)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的集中訓(xùn)練中，要優(yōu)化數(shù)學(xué)建模競賽隊(duì)員的組合，強(qiáng)調(diào)三人各有專長，有的數(shù)學(xué)建模能力較強(qiáng)，有的計(jì)算機(jī)軟件應(yīng)用能力較強(qiáng)，還有的擅長文字表達(dá)。這一階段要擴(kuò)展學(xué)生知識(shí)面，打牢基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)“廣、淺、新”。強(qiáng)化訓(xùn)練歷年競賽真題，使學(xué)生多接觸實(shí)際問題的簡化與抽象方法，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題。同時(shí)要對(duì)一些比賽常用的基本技能進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，如數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用、數(shù)學(xué)公式編輯器的使用，以及論文格式的編排等。
(二)高職院校數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)的基礎(chǔ)內(nèi)容
初期的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，應(yīng)先從初等模型入手，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用中學(xué)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決一些實(shí)際問題。教師有意識(shí)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，讓他們沿著問題分析―建立模型―求解模型―模型分析與檢驗(yàn)的過程解決問題。由于初等模型不需要補(bǔ)充多少知識(shí)，學(xué)生用原有的知識(shí)能夠解決模型問題，使得學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)建模充滿了興趣與信心。
接著可以引入一元函數(shù)及多元函數(shù)的微分模型，以求最值問題為主。高職院校各專業(yè)學(xué)生基本都在第一學(xué)期學(xué)過了一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用，對(duì)于這類模型也比較容易接受。在此期間應(yīng)穿插數(shù)學(xué)軟件的學(xué)習(xí)與練習(xí)，重點(diǎn)是Mathematica和Matlab的使用，利用數(shù)學(xué)軟件幫助求解模型。
再來就是微分方程模型，這時(shí)由于不同專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)情況不同，所以要先適當(dāng)補(bǔ)充微分方程的基本知識(shí)，才能由易到難，由簡單到復(fù)雜地帶領(lǐng)學(xué)生建立微分方程模型，然后借助數(shù)學(xué)軟件求解模型。在第二學(xué)期，有些專業(yè)的學(xué)生會(huì)開設(shè)線性代數(shù)或概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，所以后半學(xué)期會(huì)在線性代數(shù)基礎(chǔ)上講解規(guī)劃模型，以及概率統(tǒng)計(jì)的模型。
這樣通過一個(gè)學(xué)期的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)建模課程，多數(shù)參加數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)的學(xué)生分析問題、解決問題的能力都能顯著改善，還可以擴(kuò)充知識(shí)面，學(xué)習(xí)新理論和新方法，自身的能力、水平和綜合素質(zhì)都有很大的提高。
(三)高職院校數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)的強(qiáng)化內(nèi)容
暑假期間，篩選部分優(yōu)秀的學(xué)生進(jìn)入數(shù)學(xué)建模競賽培訓(xùn)階段，學(xué)習(xí)時(shí)間可以比較集中。這一時(shí)期應(yīng)利用典型模型，結(jié)合實(shí)際問題，穿插講解數(shù)據(jù)擬合及綜合評(píng)價(jià)等數(shù)學(xué)建模中常用到的方法，讓學(xué)生在具體模型中體會(huì)學(xué)習(xí)機(jī)理分析、數(shù)據(jù)處理、綜合評(píng)價(jià)、微分方程、差分方程、概率統(tǒng)計(jì)、插值與擬合及優(yōu)化等方法。同時(shí)深入學(xué)習(xí)Mathematica和Matlab等數(shù)學(xué)軟件，掌握它的強(qiáng)大功能，還要求部分擅長計(jì)算機(jī)軟件的學(xué)生能夠熟練使用Lingo軟件，這幾種軟件的應(yīng)用為求解數(shù)學(xué)模型提供了方便快捷的手段和方法。最后，在歷年的數(shù)學(xué)建模競賽題目中選取部分題目，分別涉及不同的建模方法，讓學(xué)生做賽前的強(qiáng)化練習(xí)，模擬比賽環(huán)境與要求，各組在規(guī)定時(shí)間內(nèi)拿出符合比賽要求的建模論文。
在高職院校開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，有助于促進(jìn)教師知識(shí)結(jié)構(gòu)的更新與擴(kuò)展，為數(shù)學(xué)教學(xué)的改革與創(chuàng)新提供了切入點(diǎn)和發(fā)展方向。同時(shí)，高職院校的學(xué)生通過參加數(shù)學(xué)建模競賽，可以用事實(shí)來證明自己的實(shí)力和價(jià)值，更有利于自身綜合能力和素質(zhì)的提高，增強(qiáng)了未來的就業(yè)競爭力。
[參考文獻(xiàn)]
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2017數(shù)學(xué)建模優(yōu)秀論文篇2
淺析常微分方程數(shù)學(xué)建模
摘 要：數(shù)學(xué)建模是用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的一種實(shí)踐，即通過抽象、簡化、假設(shè)等過程，將實(shí)際問題用數(shù)學(xué)方式描述，建立起數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用數(shù)學(xué)方法求解。介紹了由常微分方程組描述的生物種群間的相互作用模型——弱肉強(qiáng)食模型。
關(guān)鍵詞：常微分方程;數(shù)學(xué)模型;凈增長率
第一次世界大戰(zhàn)期間，奧地利與意大利的敵對(duì)狀態(tài)造成了亞德里亞海捕魚業(yè)的破壞與停滯，戰(zhàn)后發(fā)現(xiàn)，亞得里亞海中以小魚為食物的大魚密度高于正常水平，為什么停止捕撈有利于大魚密度的上升，這一問題引起了意大利數(shù)學(xué)家沃兒泰拉的興趣，他的研究導(dǎo)致如下模型。
以x(t)表示t時(shí)刻小魚密度，即單位體積的小魚數(shù)，y(t)代表相應(yīng)的大魚密度。先考慮小魚密度的變化規(guī)律，如果不存在大魚，類似于馬爾薩斯人口模型，假設(shè)小魚密度的凈增長率為一個(gè)常數(shù)a>0，當(dāng)有大魚存在時(shí)，由于大魚捕食小魚，使得小魚的凈增長率下降，這一下降的速率正比于y(t)，其比例系數(shù)設(shè)為常數(shù)b，由此小魚密度滿足方程：
=a-by (1)
類似的考慮大魚密度方程
=-c+dx (2)
式中的c，d系數(shù)前的符號(hào)與小魚方程系數(shù)a，b的符號(hào)相反，這是因?yàn)楫?dāng)不存在小魚時(shí)，大魚由于沒有食物而死亡，因而數(shù)量下降，下面對(duì)由方程與組成的常微分方程進(jìn)行分析。
容易看出，如上方程組有三組特定的解，即
(1)x(t)=y(t)=0
(2)x(t)=0，y(t)=y(0)e-ct(y(0)>0)
(3)y(t)=0，x(t)=y(0)eat(x(0)>0)
在Oxy平面上，對(duì)應(yīng)不同的初值x(0)和y(0)，這三組解的軌道構(gòu)成區(qū)域R2+={(x，y)∈R2：x≥0，y≥0}的邊界，將上述區(qū)域的內(nèi)部記為intR2+={(x，y)∈R2：x>0，y>0} ，由常微分方程組解的存在唯一定理，不同的積分軌道不能相交，所以初值點(diǎn)在intR2+內(nèi)的積分軌道保持在同一區(qū)域內(nèi)，不能越過它的邊界，在這一區(qū)域內(nèi)，存在唯一一組不隨時(shí)間變化的平衡解，它可由令==0解得，即
x=，y=
在Oxy平面上，過點(diǎn)(x，y)分別作平行于x軸與y軸的直線，這兩條直線把區(qū)域劃分為四個(gè)部分，如果所討論的方程組存在封閉軌線所表示的周期解，那么由軌線上任何一點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn)(x，y)的位置，不難知道該點(diǎn)，的符號(hào)，由此知道這樣的周期軌道是逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的，以下說明這樣的周期解確實(shí)存在。
將方程(1)乘以c-dx與方程(2)乘以a-by相加，整理后得
(clnx-dx+alny-by)=0 (3)
注意到x，y的值，令
H(x)=xlnx-x
G(y)=ylny-y
V(x，y)=dH(x)+bG(y)
則(3)式化為
V(x(t)，y(t))=0
或者等價(jià)有V(x(t)，y(t))=const
即定義在intR2+上的函數(shù)V沿方程組(1)和(2)的任何一條軌道取常數(shù)值，稱這一常數(shù)為運(yùn)動(dòng)常數(shù)。
因?yàn)楹瘮?shù)H(x)滿足
=-1，=-<0
所以H(x)在點(diǎn)x=x達(dá)到極大，類似可知函數(shù)G(x)在點(diǎn)y=y達(dá)到極大，由此函數(shù)V(x，y)唯一的極大值在平衡點(diǎn)(x，y)達(dá)到，還可說明沿從平衡點(diǎn)(x，y)出發(fā)的任何一條射線，V(x，y)單調(diào)下降，因而集合{(x，y)∈intR2+：V(x，y)=const}是圍繞平衡點(diǎn)的閉曲線，由于intR2+內(nèi)的任何一組解必須保持在V(x(t)，y(t))等于常數(shù)的集合上，因此隨著時(shí)間的推移，解的代表點(diǎn)必然回到它的初始位置，因而軌道一定是周期的。
如上討論說明，無論大魚密度還是小魚密度都是周期振蕩的，而且振幅與頻率都依賴于初始條件，然而可以說明：密度的時(shí)間平均值則是與初始條件無關(guān)的常數(shù)，且等于相應(yīng)的平衡值，即
x(t)dt=x，y(t)dt=y
此處T是解的周期，這一結(jié)論可按下述方式說明：由
(lnx)==a-by
積分，有
lnx(t)dt=(a-by(t))dt
即lnx(T)-lnx(0)=aT-by(t)dt
因?yàn)閤(T)=x(0)，上式給出
y(t)dt==y
類似的可以討論x(t)的平均值。
利用上述結(jié)果，沃爾泰拉說明了戰(zhàn)爭期間大魚密度上升的原因，捕撈的效果是降低小魚生殖率，提高大魚的死亡率，因此當(dāng)考慮捕撈時(shí)，如上模型中的系數(shù)應(yīng)當(dāng)調(diào)整，方程(1)中的a應(yīng)由a-k代替，k是某一正數(shù)，而(2)中的c則應(yīng)由c+m代替，m是某一正數(shù)，而系數(shù)b，d反應(yīng)大魚、小魚間的相互作用，故保持不變，與這組系數(shù)相對(duì)應(yīng)，大魚平均密度變?yōu)?a-k)/d，即低于停止捕撈時(shí)的值，小魚的平均密度變?yōu)?c+m)/d，高于停止捕撈時(shí)的值，這樣就說明了停止捕撈將使大魚密度上升，小魚密度下降。
如上討論可適用于較(1)和(2)更為實(shí)際的描述生態(tài)活動(dòng)的方程組，類似的討論啟示我們，要謹(jǐn)慎的使用那些無選擇性的農(nóng)藥，因?yàn)檫@些農(nóng)藥既殺死害蟲，也殺死害蟲的天敵，產(chǎn)生類似捕撈魚群的效果，使得蟲口密度相對(duì)于天敵密度上升，就此而言這樣施用農(nóng)藥的效果是值得懷疑的。對(duì)如上模型適當(dāng)加以修正，還可以討論生物種群間更復(fù)雜的共生、競技或排斥關(guān)系。
參考文獻(xiàn)：
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[2] 雷功炎.數(shù)學(xué)模型講義[M].北京:北京大學(xué)出版社，1999:225-228.
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