基于區(qū)分鏈表的屬性約簡改進(jìn)算法
摘 要 屬性約簡是粗糙集理論中核心內(nèi)容之一，本文首先分析了區(qū)分矩陣的特性，給出經(jīng)典的區(qū)分矩陣算法。然后，鑒于區(qū)分矩陣存在的空間復(fù)雜度高的缺點(diǎn)，提出一種基于區(qū)分鏈表的屬性約簡改進(jìn)算法，將對象數(shù)為n的區(qū)分矩陣大小由n(n-1)/2至少壓縮到|U/R|x|U/R|-1）/2，降低了算法的空間復(fù)雜度，更適用于大數(shù)據(jù)量的情況。
關(guān)鍵詞 粗糙集；區(qū)分矩陣；屬性約簡；區(qū)分線性表
1 引言
粗糙集(Rough Set ,RS) 理論是 Z.Pawlak 提出的一種處理不一致、不完整數(shù)據(jù)和不精確知識表達(dá)等各種不完備信息的數(shù)學(xué)理論[1]。其中屬性約簡是粗糙集理論中核心內(nèi)容之一，現(xiàn)已證明是典型的NP難題[2，3]。所謂屬性約簡是指在保證信息系統(tǒng)分類能力或決策能力不變的條件下，刪除屬性集中的冗余屬性。屬性約簡在分類學(xué)習(xí)及分類數(shù)據(jù)挖掘中具有重要的作用，目前國內(nèi)外學(xué)術(shù)界在屬性約簡方面已經(jīng)做了大量研究，并得到了許多有效的算法[4~6]。文獻(xiàn)[4] 深入分析了算法低效性的根源,給出了高效的約簡算法；文獻(xiàn)[5]給出了基于信息論的方法；文獻(xiàn)[6]利用正區(qū)域的啟發(fā)式信息給出了兩種屬性相對約簡算法；其中應(yīng)用較多的是基于華沙大學(xué)數(shù)學(xué)家Skowron提出差別矩陣[7]以及在此基礎(chǔ)上的一些改進(jìn)[9~11]，由于這種基于區(qū)分矩陣方法易于解釋和計(jì)算核屬性,同時(shí)也便于約簡，該方法為屬性約簡算法提供了一種很好的思路。然而，基于區(qū)分矩陣的屬性約簡算法對對象數(shù)為n的區(qū)分矩陣大小為n(n-1)/2，不適用于大數(shù)據(jù)量的情況，所以本文給出了一種改進(jìn)算法，將空間復(fù)雜度至少壓縮到|U/R|x|U/R|-1）/2，該算法大大降低了算法的空間復(fù)雜度，適用于大數(shù)據(jù)量的情況。
2 基本概念
定義1[2]：設(shè)U為一個(gè)有限的非空論域，R為U上的等價(jià)關(guān)系。等價(jià)關(guān)系R 把集合U 劃分為多個(gè)互不相交的子集，每一個(gè)子集稱為一個(gè)等價(jià)類，用[x]R表示，[x]R={y∈U|xRy}，其中x∈U，x∈y稱為關(guān)于R 的等價(jià)關(guān)系，論域U上的所有等價(jià)類的集合用U/ R來表示。
定義2[2]：令R為一族等價(jià)關(guān)系，r R,如果 IND(R)= IND(R-{r}),則稱r為R中不必要的；否則r為R中必要的[2]，若R中任意一個(gè)等價(jià)關(guān)系r都是必要的，則稱R是獨(dú)立的，否則稱R是依賴的。
定義3[8]：設(shè)，若Q是獨(dú)立的，且IND(Q)=IND(P)，則Q是等價(jià)關(guān)系族P的一個(gè)約簡。
定義4[8]：設(shè)P和Q是論域U上的等價(jià)關(guān)系，Q的P正域記作POSP(Q)，定義為：
Q的P正域是U中所有根據(jù)U/P的信息準(zhǔn)確分類到關(guān)系Q的等價(jià)關(guān)系中去的對象構(gòu)成的集合。
定義5[8]：設(shè)P和Q是論域U上的等價(jià)關(guān)系，R∈P，若
POSP(Q) =POS(P-{R})(Q)
則稱R為P中Q不必要的，否則稱R為P中Q必要的。
若P中任意一關(guān)系R都是Q必要的，則稱P是Q獨(dú)立的(相對于Q獨(dú)立的)。
定義6[2]：設(shè) SP，S為P的Q約簡，當(dāng)且僅當(dāng)S是P的Q是獨(dú)立的子集，且POSS(Q) =POSP(Q). P的Q約簡稱為相對約簡。
定義7：區(qū)分矩陣是華沙大學(xué)數(shù)學(xué)家Skowron[7]提出的，對于系統(tǒng)S=(U,A),其中A=C∪D, a(x)是x在屬性a上的值,區(qū)分矩陣M為：
同時(shí)分辨矩陣中的核就是組合數(shù)為1的屬性。
3 基于區(qū)分鏈表的屬性約簡改進(jìn)算法
區(qū)分矩陣的空間復(fù)雜度為n(n-1)/2,保存著論域中兩兩對象的可區(qū)分屬性.在論域關(guān)于屬性集劃分中，同一個(gè)等價(jià)類的對象兩兩在區(qū)分矩陣中的元素為空，而且與其他等價(jià)類的對象所構(gòu)成的區(qū)分矩陣中的元素完全相同，因此從每一個(gè)等價(jià)類中只取一個(gè)對象構(gòu)造的新的論域，其約簡與原來的相同,而空間復(fù)雜度最多為|U/R|x|U/R|-1）/2.
區(qū)分矩陣Matrix的某元素Matrix[i][j]，是區(qū)分對象U[i]與U[j]的條件屬性集，由于在合取吸取運(yùn)算中，參數(shù)i、j并沒有實(shí)際價(jià)值，因此改用區(qū)分鏈表List來取代區(qū)分矩陣。在構(gòu)造區(qū)分鏈表前，先定義存儲核屬性的變量core，可區(qū)分兩對象的條件屬性集若只有一個(gè)屬性Ri，則屬性Ri是核屬性，那么Ri存儲到變量core，在接下來的區(qū)分鏈表的構(gòu)造過程中，若區(qū)分屬性集包括已經(jīng)提取出來的核屬性，直接約去，不插入到區(qū)分鏈表中；否則，插入到區(qū)分鏈表的表尾。為減少區(qū)分鏈表的大小，可以在每產(chǎn)生一個(gè)核屬性Rj，進(jìn)入變量core后，化簡區(qū)分鏈表List，若List中的元素List[k]包含屬性Rj則直接刪除元素List[k]。對應(yīng)算法如下：
for(p=U;p->next !=NULL;p=p->next)
for(q=p->next;q!=NULL;q=q->next)
{
x= 對象p、q的可區(qū)分屬性集；
if（|x|==1） 則進(jìn)入核變量core；
else if（x不包含核變量core中已有的任何一個(gè)核屬性）
List.Add(x);
}
在得到了核和區(qū)分鏈表后，首先，將核加入到候選約簡中；然后，統(tǒng)計(jì)區(qū)分鏈表中各屬性出現(xiàn)的次數(shù)，將出現(xiàn)次數(shù)最多的屬性R加入到侯選約簡中，刪除區(qū)分鏈表中出現(xiàn)R的所有節(jié)點(diǎn)，依次循環(huán)，直到區(qū)分鏈表為空，此時(shí)侯選約簡就是所求約簡。對應(yīng)算法如下：
C_reduce=core;
While(1)
{
if(List=Null) break;
else
{
遍歷List,統(tǒng)計(jì)各條件屬性出現(xiàn)的次數(shù)；
選擇出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)屬性R；
C_reduce=C_reduce {R};
刪除List中所有出現(xiàn)R的的節(jié)點(diǎn)；
}
}
4 實(shí)例分析
設(shè)如下表1[12]給定的決策表，求所有約簡及核。
U
Conditional attributes
decisions
a
b
c
d
x1
2
2
0
1
x2
1
2
0
0
x3
1
2
0
1
x4
0
0
0
0
x5
1
0
1
0
x6
2
0
1
1
而應(yīng)用本文給出的算法,區(qū)分線性表只有{b,c}一個(gè)元素,計(jì)算過程如下:首先得到區(qū)分屬性集{a}，a進(jìn)入核變量，在隨后生成的區(qū)分屬性集中只要含有a，則直接約掉，{b,c}進(jìn)入?yún)^(qū)分線性表，采用啟發(fā)式算法，可得到約簡{a,b}。而基于區(qū)分矩陣的屬性約簡算法構(gòu)造的區(qū)分矩陣如下：
本算法相對于傳統(tǒng)方法，大大減少了區(qū)分矩陣所需要的存儲空間。
5 結(jié)論
近年來Rough 集理論以其獨(dú)特的優(yōu)勢正贏得越來越多的專家學(xué)者關(guān)注,在理論研究方面日趨成熟,并在許多領(lǐng)域取得了較為成功的應(yīng)用，屬性約簡算法是粗糙集理論的核心內(nèi)容之一，其中，區(qū)分矩陣作為屬性約簡的主要方法之一已經(jīng)受到越來越多的學(xué)者關(guān)注，因此，本文深入研究分析了區(qū)分矩陣算法，基于區(qū)分線性表，提出一種改進(jìn)的屬性約簡算法。
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