形式邏輯的死穴：無窮問題

　　辯論是需要以思維帶動語言的，思維是要遵循一定邏輯規(guī)律的，哲學(xué)就是研究這種規(guī)律性問題的學(xué)科，系統(tǒng)的理論的邏輯關(guān)系是指導(dǎo)辯論活動的基本內(nèi)容。今天學(xué)習(xí)啦小編給大家分享一些辯論中形式邏輯的死穴，希望對大家有所幫助。

　　形式邏輯的死穴：無窮問題

　　1.芝諾悖論

　　跑得最快的阿基里斯永遠(yuǎn)追不上爬得最慢的烏龜。大意是說甲跑的速度遠(yuǎn)大于乙，但乙比甲先行一段距離，甲為了趕上乙，須超過乙開始的A點(diǎn)，但甲到了A點(diǎn)，則乙已進(jìn)到A1點(diǎn)，而當(dāng)甲再到A1點(diǎn)，則乙又進(jìn)到A2點(diǎn)，依次類推，直到無窮，兩者距離雖越來越近，但甲永遠(yuǎn)在乙后面而追不上乙。古希臘的理性傳統(tǒng)促生了柏拉圖和亞里士多德這樣的偉大的思想家，但芝諾悖論卻讓古希臘理性傳統(tǒng)受到了致命的挑戰(zhàn)，芝諾使得世人只能陷入這樣的猶豫：邏輯，還是事實(shí)，這是個(gè)問題!

　　2.根號2悖論

　　畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，這個(gè)曾今顯赫一時(shí)的融數(shù)學(xué)、哲學(xué)、宗教于一體學(xué)派結(jié)果卻是被一個(gè)名字叫作“根號2”的東西終結(jié)了。他們在做幾何測量的時(shí)候發(fā)現(xiàn)一個(gè)問題：當(dāng)?shù)妊苯侨切蔚闹苯沁叺扔?的時(shí)候，那么斜邊是多少?絞盡腦汁推理計(jì)算也無法算出這個(gè)數(shù)來，但事實(shí)上這個(gè)由直角邊為1的等腰直角三角形的斜邊的存在是不可否認(rèn)的。這個(gè)問題讓迷信數(shù)字的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派陷入了恐慌，為了保證學(xué)派的信仰的尊嚴(yán)，他們于是封鎖消息，禁止成員向外泄露，據(jù)說一個(gè)泄露了這個(gè)秘密的人被無情地拋進(jìn)了大海。在我們今天看來，其實(shí)很好解釋，把畢達(dá)哥拉斯學(xué)派送上歸路的其實(shí)正是無窮問題。

　　3.休謨悖論

　　我們看到的天鵝都是白的，能否得到結(jié)論：所有的天鵝都是白的?太陽從來都是從東方升起，我們能否肯定明天太陽一定從東方升起?休謨認(rèn)為，不能。我們所得到的結(jié)論只能在我們的經(jīng)驗(yàn)范圍內(nèi)有效，超出了我們的經(jīng)驗(yàn)，我們完全不敢保證。休謨從經(jīng)驗(yàn)主義原則出發(fā)得到了這樣的結(jié)論：由培根所開創(chuàng)的歸納法并沒有充足的理由得到任何全稱命題。歸納法破產(chǎn)了，經(jīng)驗(yàn)主義破產(chǎn)，歸納法和經(jīng)驗(yàn)主義為什么會破產(chǎn)，就是因?yàn)樗鼈冊庥隽藷o限的問題。

　　4.貝克萊悖論

　　十七世紀(jì)后期，牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立微積分學(xué)，成為解決眾多問題的重要而有力的工具，并在實(shí)際應(yīng)用中獲得了巨大成功，然而，微積分學(xué)產(chǎn)生伊始就遭到了懷疑，原因在于當(dāng)時(shí)的微積分主要建立在無窮小分析之上，而無窮小后來證明是包含邏輯矛盾的。1734年，大主教貝克萊寫了本《分析學(xué)家》的小冊子，在這本小冊子中，他十分有效地揭示了無窮小分析方法中所包含的這種邏輯矛盾。這就是所謂的“貝克萊悖論”。籠統(tǒng)地說，貝克萊悖論可以表述為“無窮小量究竟是否為零的問題”就實(shí)際應(yīng)用而言，它必須既是零，又不是零。而從形式邏輯角度而言，這無疑是一個(gè)矛盾。貝克萊悖論，動搖了人們對微積分正確性的信念，在當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界引起了一定混亂，從而導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上所謂的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。微積分產(chǎn)生后，一方面在應(yīng)用中大獲成功，另一方面其自身卻存在著邏輯矛盾，即貝克萊悖論，也就是說，正確的(尤其是在幾何應(yīng)用上是驚人的)結(jié)果卻是通過肯定不正確的數(shù)學(xué)途徑得出的。這把數(shù)學(xué)家們推到了尷尬境地。

　　5.傅立葉悖論

　　微積分產(chǎn)生之初，對基礎(chǔ)不牢的指責(zé)，以及由此引發(fā)的爭論，一直就是微積分學(xué)奏出的光輝樂章中的不諧和音。然而在十八世紀(jì)，它被微積分應(yīng)用中驚人的成功所贏得的震耳掌聲暫時(shí)掩蓋了。經(jīng)過數(shù)學(xué)發(fā)明的十八世紀(jì)后，數(shù)學(xué)建筑擴(kuò)大了，房子蓋得更高了，而基礎(chǔ)卻沒有補(bǔ)充適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度。十八世紀(jì)粗糙的，不嚴(yán)密的工作導(dǎo)致謬誤越來越多的局面，不諧和音的刺耳開始震動了數(shù)學(xué)家們的神經(jīng)。

　　6.柯西與康托爾的努力

　　柯西于1820年研究了極限定義，并創(chuàng)造性地用極限理論把微積分學(xué)中的定理加以嚴(yán)格的系統(tǒng)的證明，使微積分學(xué)有了較堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，同時(shí)柯西也因之成為加固微積分學(xué)基礎(chǔ)的第一位巨匠。但柯西工作中仍存在著兩點(diǎn)主要的不足。其一，他的極限定義用了描述性語言“無限的趨近”“隨意小”，不夠精確。這一點(diǎn)由德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯給出精確描述數(shù)列極限的“ε-δ ”方法和函數(shù)極限的“ε-δ”方法，把微積分奠基于算術(shù)概念的基礎(chǔ)上，獲得了圓滿解決。其二，他對單調(diào)有界定理的證明借助了幾何直覺。魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自經(jīng)過自己獨(dú)立深入的研究，都將分析基礎(chǔ)歸結(jié)為實(shí)數(shù)理論，并于七十年代各自建立了自己完整的實(shí)數(shù)體系，這樣數(shù)學(xué)分析的無矛盾性問題歸納為實(shí)數(shù)論的無矛盾性，從而使微積分學(xué)這座人類數(shù)學(xué)史上空前雄偉的大廈建在了牢固可靠的基礎(chǔ)之上。

　　康托爾以其集合論的成就被譽(yù)為對20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展影響最深的學(xué)者之一。他從研究“收斂的傅立葉級數(shù)所表示的函數(shù)存在不連續(xù)”這一事實(shí)，提出無窮集合的概念，并以一一對應(yīng)關(guān)系為基本原則，尋求無窮集合的“多少”關(guān)系。他把兩個(gè)能一一對應(yīng)的集合稱為同勢，利用勢他將無限集進(jìn)行了分類，最小的無限集為可數(shù)集a，即指與自然數(shù)集等勢的無窮集。進(jìn)一步，康托爾證明實(shí)數(shù)集的勢c>a，一切實(shí)函數(shù)的勢f>c,并且對任何一個(gè)集合，均可造出一個(gè)具有更大勢的集合，即是說沒有最大的勢。鑒于此，1896年康托爾根據(jù)無窮性有無窮多學(xué)說，制訂了無限大算術(shù)，對各種無窮大建立了一個(gè)完整序列，他用希伯來字母表中第一個(gè)字母阿列夫來表示這些數(shù)。于是， 直至無窮。無窮集合自身又構(gòu)成了一個(gè)無窮序列。這就是康托爾創(chuàng)立了超限數(shù)理論?？低袪柕墓ぷ?，在發(fā)表之初遭到許多人的嘲笑與攻擊?？肆_內(nèi)克有句名言：上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其它都是人為的。他完全否認(rèn)并攻擊康托爾的工作，稱“康托爾走進(jìn)了超限數(shù)的地獄”，更有人嘲笑康托爾關(guān)于無窮的等級的超限數(shù)理論純粹為“霧中之霧”。前后經(jīng)過20余年，康托的工作才最終獲世界公認(rèn)，并贏得極大贊譽(yù)。羅素稱贊說：“Cantor的工作可能是這個(gè)時(shí)代所能夸耀的最偉大的成就。”希爾伯特稱其超限理論為“數(shù)學(xué)思想的最驚人的產(chǎn)物，在純粹理性的范疇中人類智力的最美的表現(xiàn)之一。”康托集合論的提出標(biāo)志了近代數(shù)學(xué)的開端。他的觀點(diǎn)中，無窮集合是被看作一個(gè)現(xiàn)實(shí)的，完成的，存在著的整體，是可認(rèn)識，可抓住的東西。

　　7.羅素悖論

　　“集合論是有漏洞的!”正當(dāng)數(shù)學(xué)家們在無窮集合的伊甸園中優(yōu)哉游哉，并陶醉于數(shù)學(xué)絕對嚴(yán)格性的時(shí)候，一個(gè)驚人的消息迅速傳遍了數(shù)學(xué)界，這就是1902年羅素提出的羅素悖論。

　　危機(jī)正是由康托爾研究的無限集合引發(fā)的。羅素構(gòu)造了一個(gè)集合U，U由所有不屬于自身的集合組成，U顯然存在，但U是否屬于自身呢?無論回答是否都將導(dǎo)致矛盾，這就是著名的羅素悖論。羅素悖論相當(dāng)簡明，以致幾乎沒有什么可以辯駁的余地動搖了整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的基石：集合論。“絕對嚴(yán)密”“天衣無縫”的數(shù)學(xué)，又一次陷入了自相矛盾與巨大裂縫的危機(jī)之中。

　　危機(jī)產(chǎn)生后，包括羅素本人在內(nèi)的眾多數(shù)學(xué)家投入到解決危機(jī)的工作中去。1908年，策梅羅提出公理化集合論，后經(jīng)改進(jìn)形成無矛盾的集合論公理系統(tǒng)，簡稱ZF公理系統(tǒng)，使原本直觀的集合概念建立在嚴(yán)格的公理基礎(chǔ)之上，從而避免了羅素悖論的產(chǎn)生，在表層上解決了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。

　　8.實(shí)無限與潛無限

　　認(rèn)真考察無窮在數(shù)學(xué)中的發(fā)展歷程，可以注意到在數(shù)學(xué)無窮思想中一直存在著兩種觀念：實(shí)無限思想與潛無限思想。所謂潛無限思想是指：“把無限看作永遠(yuǎn)在延伸著的，一種變化著成長著被不斷產(chǎn)生出來的東西來解釋。它永遠(yuǎn)處在構(gòu)造中，永遠(yuǎn)完成不了，是潛在的，而不是實(shí)在。把無限看作為永遠(yuǎn)在延伸著的(即不斷在創(chuàng)造著的永遠(yuǎn)完成不了的)過程。所謂實(shí)無限思想是指：把無限的整體本身作為一個(gè)現(xiàn)成的單位，是已經(jīng)構(gòu)造完成了的東西，換言之，即是把無限對象看成為可以自我完成的過程或無窮整體。數(shù)學(xué)中無限的歷史實(shí)際上是兩者在數(shù)學(xué)中合理性的歷史。 在數(shù)學(xué)無窮發(fā)展歷程中，我們已經(jīng)看到征服無窮的路途中，悖論是一次次出現(xiàn)：芝諾悖論、貝克萊悖論、羅素悖論的出現(xiàn)即為例證。雖說，歷經(jīng)幾百年，數(shù)代數(shù)學(xué)家的艱苦努力，建立的極限論、實(shí)數(shù)論、ZF公理系統(tǒng)解決了這些悖論及由此導(dǎo)致的危機(jī)。然而悖論的的清除，矛盾的回避也導(dǎo)致了數(shù)學(xué)確定性的一步步喪失。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)只是于表面上解決了，實(shí)質(zhì)上更深刻地以其它形式延續(xù)著。希爾伯特曾企圖用形式主義“一勞永逸地消除任何對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)可靠性的懷疑。”然而其一攬子解決方案在1930年哥德爾發(fā)現(xiàn)不完備定理后宣告付之東流了。哥德爾的工作使人們對無窮的認(rèn)識又上升了一個(gè)層次。人們開始更深刻地明白：任何想一勞永逸解決無窮問題的努力是烏托邦式工作不可能成功。認(rèn)識無窮、征服無窮之途本身就是個(gè)極限過程。