三角函數(shù)誘導公式知識點
三角函數(shù)誘導公式適用于數(shù)學，天文，物理，可謂是多用的公式。下面是學習啦小編給大家整理的三角函數(shù)誘導公式，供大家參閱!
三角函數(shù)誘導公式定義
所謂三角函數(shù)誘導公式，就是將角n·(π/2)±α的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為角α的三角函數(shù)。三角函數(shù)誘導公式
三角函數(shù)誘導公式三角函數(shù)
同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
倒數(shù)關(guān)系
tanα ·cotα=1
sinα ·cscα=1
cosα ·secα=1
商的關(guān)系
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
平方關(guān)系
sin2(α)+cos2(α)=1
1+tan2(α)=sec2(α)
1+cot2(α)=csc2(α)
同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法
構(gòu)造以“上弦、中切、下割;左正、右余、中間1”的正六邊形為模型。
倒數(shù)關(guān)系
對角線上兩個函數(shù)互為倒數(shù);
商數(shù)關(guān)系
六邊形任意一頂點上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個頂點上函數(shù)值的乘積。(主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積，下面4個也存在這種關(guān)系。)由此，可得商數(shù)關(guān)系式。
平方關(guān)系
在帶有陰影線的三角形中，上面兩個頂點上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點上的三角函數(shù)值的平方。
兩角和差公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ )/(1-tanαtanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
二倍角的正弦、余弦和正切公式
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos2(α)-sin2(α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α)
tan2α=2tanα/[1-tan2(α)]
tan[(1/2)α]=(sin α)/(1+cos α)=(1-cos α)/sin α
半角的正弦、余弦和正切公式
sin2(α/2)=(1-cosα)/2
cos2(α/2)=(1+cosα)/2
tan2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
tan(α/2)=(1—cosα)/sinα=sinα/1+cosα
萬能公式
sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)]
cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)]
tanα=[2tan(α/2)]/[1-tan2(α/2)]
三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3α=3sinα-4sin3(α)
cos3α=4cos3(α)-3cosα
tan3α=[3tanα-tan3(α)]/[1-3tan2(α)]
三角函數(shù)的和差化積公式
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
三角函數(shù)的積化和差公式
sinα·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=- 0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]
三角函數(shù)誘導公式推導過程
萬能公式推導
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/[cos2(α)+sin2(α)]，
(因為cos2(α)+sin2(α)=1)
再把分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/[1+tan2(α)]
然后用α/2代替α即可。
同理可推導余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。
三倍角公式推導
tan3α=sin3α/cos3α
=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)
=[2sinαcos2(α)+cos2(α)sinα-sin3(α)]/[cos3(α)-cosαsin2(α)-2sin2(α)cosα]
上下同除以cos3(α)，得：
tan3α=[3tanα-tan3(α)]/[1-3tan2(α)]
sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα
=2sinαcos2(α)+[1-2sin2(α)]sinα=2sinα-2sin3(α)+sinα-2sin3(α)
=3sinα-4sin3(α)
cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα
=[2cos2(α)-1]cosα-2cosαsin2(α)
=2cos3(α)-cosα+[2cosα-2cos3(α)]
=4cos3(α)-3cosα
即
sin3α=3sinα-4sin3(α)
cos3α=4cos3(α)-3cosα
和差化積公式推導
首先,我們知道sin(a+b)=sinacosb+cosasinb，sin(a-b)=sinacosb-cosasinb我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb
同理，若把兩式相減，就得到cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2
同樣的，我們還知道cos(a+b)=cosacosb-sinasinb，cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
所以，把兩式相加，我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb
同理，兩式相減我們就得到sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2
這樣，我們就得到了積化和差的公式：
cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2
sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2
好，有了積化和差的四個公式以后，我們只需一個變形，就可以得到和差化積的四個公式
我們把上述四個公式中的a+b設為x，a-b設為y，那么a=(x+y)/2，b=(x-y)/2
把a,b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個公式:
sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]
sinx-siny=2cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]
cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]
三角函數(shù)誘導公式常用公式
公式一： 設α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：
sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)
cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)
tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)
cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)
公式二： 設α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin(π+α)= -sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)= tanα
cot(π+α)=cotα
公式三： 任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系(利用 原函數(shù) 奇偶性)：
sin(-α)=-sinα
cos(-α)= cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin(π-α)= sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)= cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
公式六： π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin(π/2+α)=cosα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2+α)=-cotα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2+α)=-tanα
cot(π/2-α)=tanα
推算公式：3π/2 ± α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin(3π/2+α)=-cosα
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
cot(3π/2-α)=tanα
誘導公式記憶口訣：“奇變偶不變，符號看象限”。
“奇、偶”指的是π/2的倍數(shù)的奇偶，“變與不變”指的是三角函數(shù)的名稱的變化：“變”是指正弦變余弦，正切變余切。(反之亦然成立)“符號看象限”的含義是：把角α看做銳角，不考慮α角所在象限，看n·(π/2)±α是第幾象限角，從而得到等式右邊是正號還是負號。以cos(π/2+α)=-sinα為例，等式左邊cos(π/2+α)中n=1，所以右邊符號為sinα，把α看成銳角，所以π/2<(π/2+α)<π，y=cosx在區(qū)間(π/2，π)上小于零，所以右邊符號為負，所以右邊為-sinα。
符號判斷口訣：
全,S,T,C,正。這五個字口訣的意思就是說：第一象限內(nèi)任何一個角的四種三角函數(shù)值都是“+”;第二象限內(nèi)只有正弦是“+”，其余全部是“-”;第三象限內(nèi)只有正切和余切是“+”，其余全部是“-”;第四象限內(nèi)只有余弦是“+”，其余全部是“-”。
也可以這樣理解：一、二、三、四指的角所在象限。全正、正弦、正切、余弦指的是對應象限三角函數(shù)為正值的名稱?？谠E中未提及的都是負值。
“ASTC”反Z。意即為“all(全部)”、“sin”、“tan”、“cos”按照將字母Z反過來寫所占的象限對應的三角函數(shù)為正值。
另一種口訣：正弦一二切一三，余弦一四緊相連，言之為正。
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