數(shù)學(xué)與哲學(xué)的關(guān)系精選論文(2)
數(shù)學(xué)與哲學(xué)的關(guān)系精選論文
數(shù)學(xué)與哲學(xué)的關(guān)系精選論文篇二
摘要：在數(shù)學(xué)哲學(xué)中，直覺主義可謂引起引起了現(xiàn)代學(xué)術(shù)思想的一次革命。雖然直覺主義可以追溯到康德，甚至柏拉圖。然而，它是近現(xiàn)代的，20世紀(jì)前20年，它作為一個獨(dú)立的數(shù)學(xué)哲學(xué)思潮而聞名。它是邏輯學(xué)哲學(xué)中的一次風(fēng)暴逆襲，是經(jīng)典數(shù)學(xué)的有力挑戰(zhàn)者。直覺主義強(qiáng)調(diào)“構(gòu)造”，出發(fā)于“心智”。直覺主義把整個自然數(shù)論視為整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，直覺主義拒絕排中律和反證律，抵制實(shí)無窮而推崇潛無窮。隨著計(jì)算機(jī)的產(chǎn)生和發(fā)展，直覺主義在數(shù)字構(gòu)造中起到了積極的應(yīng)用。同時，直覺主義對數(shù)學(xué)哲學(xué)的創(chuàng)新教育等方面都有著不可忽視的影響。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)哲學(xué) 直覺主義 傳統(tǒng)邏輯 布勞威爾
一、 “存在必須是被構(gòu)造”——直覺主義的產(chǎn)生
直覺(intuition)一詞意為未經(jīng)充分邏輯推理的，直觀的，直接領(lǐng)捂事物本質(zhì)的思考。與H.柏格森、B.克羅齊、E.胡塞爾等人的直覺主義不同，我們這里所研究的“直覺”并不是指主體對于客觀事物的一種直接把握能力，而是指思維的本能上的一種心智活動。在這里，直覺主義提倡的直覺，并非辯證唯物主義的“直觀的感覺”，其本意是“先驗(yàn)的心智構(gòu)造”，以此為出發(fā)點(diǎn)，形成了對數(shù)學(xué)對象“存在性”與“可構(gòu)造性”等同的要求。[1]直覺主義哲學(xué)是一種反理性主義的唯心主義哲學(xué)思潮。數(shù)學(xué)研究中的構(gòu)造主義是一種有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的觀點(diǎn)，它主張自然數(shù)及其某些規(guī)律和方法，特別是數(shù)學(xué)歸納法，是可靠的出發(fā)點(diǎn)，其它一切數(shù)學(xué)對象和理論都應(yīng)該從自然數(shù)構(gòu)造出來。[2]“存在必須是被構(gòu)造”，這是直覺主義派最著名的口號。也因此，直覺主義是一種構(gòu)造邏輯。直覺派認(rèn)為，數(shù)學(xué)中的概念和方法都是必須可以被構(gòu)造的，非構(gòu)造性的證明不是直覺主義者能接受的。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，集合論悖論的問題不可能通過對已有的數(shù)學(xué)作某種局部的修改和限制加以解決，而必須依靠一些可信的標(biāo)準(zhǔn)對已有的數(shù)學(xué)進(jìn)行全面的審視和改造。直覺主義認(rèn)為邏輯依賴于數(shù)學(xué),而非數(shù)學(xué)依賴邏輯。數(shù)學(xué)建立在直覺的基礎(chǔ)上。同時，直覺主義認(rèn)為哲學(xué)、邏輯甚至計(jì)數(shù)等概念都比數(shù)學(xué)復(fù)雜得多,不能作為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)需要更簡單、更直接的概念,它就是直覺,直覺是心智的一項(xiàng)基本功能。[3]一位直覺主義數(shù)學(xué)家阿倫特·海廷(Arend Heyting)在他的論文《數(shù)學(xué)的直覺主義基礎(chǔ)》中指出：“立即處理數(shù)學(xué)的構(gòu)造也許是符合直覺主義者的積極態(tài)度了。這個構(gòu)造的最重要基石是一(unity)的概念，它是整數(shù)序列所依賴的構(gòu)造原則。整數(shù)必須作為單位(units)來看待，這些單位僅僅由于在這個序列中的位置而相互區(qū)別。”[4]61
直覺主義者認(rèn)為，數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)在于數(shù)學(xué)直覺，在他們看來，建立在數(shù)學(xué)直覺之上的理論能使“概念和推理十分清楚地呈現(xiàn)在我們面前”，即“對于思想來說是如此的直接，而其結(jié)果又是如此的清楚，以致不再需要任何鑄的什么基礎(chǔ)了”(A·黑丁:《直覺主義導(dǎo)論》)。任何數(shù)學(xué)對象被視為思維構(gòu)造的產(chǎn)物，所以一個對象的存在性等價于它的構(gòu)造的可能性。這和經(jīng)典的方法不同，因?yàn)榻?jīng)典方法說一個實(shí)體的存在性可以通過否定它的不存在性來證明。對于直覺主義者，這是不正確的;不存在性的否定不表示可能找到存在性的構(gòu)造證明。正因?yàn)槿绱?，直覺主義是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義的一種;但它不是唯一的一類。直覺主義的基本哲學(xué)立場是，數(shù)學(xué)是人類心智“固有”的一種創(chuàng)造活動，是主體的自身的活動，而不是對外在的描述.數(shù)學(xué)概念是一種自主的智力活動的結(jié)果，智力活動則是研究自明定律所支配的思想構(gòu)造。[5]
二、顛覆傳統(tǒng)邏輯，形式主義的逆襲——直覺主義的特點(diǎn)
直覺主義不承認(rèn)實(shí)無窮，拒絕實(shí)際無窮的抽象。也就是說，它不考慮像所有自然數(shù)的集合或任意有理數(shù)的序列無窮這樣的無窮實(shí)體作為給定對象。數(shù)學(xué)上的實(shí)無窮思想是指：把無限的整體本身作為一個現(xiàn)成的單位，是已經(jīng)構(gòu)造完成了的東西，換言之，即是把無限對象看成為可以自我完成的過程或無窮整體。數(shù)學(xué)上存在著潛無窮與實(shí)無窮之爭，就如同哲學(xué)上存在著唯物主義與唯心主義之爭。而且必將長時間的持續(xù)的爭論不休。數(shù)學(xué)上的潛無窮思想是指：把無限看作永遠(yuǎn)在延伸著的，一種變化著成長著被不斷產(chǎn)生出來的東西來解釋。舉個形象點(diǎn)的例子就是，構(gòu)成一條直線的點(diǎn)有無窮個，并且這條直線永遠(yuǎn)延伸著，不會有終結(jié)的一天。它永遠(yuǎn)處在構(gòu)造中，永遠(yuǎn)完成不了，是潛在的，而不是實(shí)在。按照全稱和條件量詞的標(biāo)準(zhǔn)直覺主義，一個證明就是這樣的潛無窮結(jié)構(gòu)，這可能是合理的。(達(dá)米特《直覺主義邏輯的哲學(xué)基礎(chǔ)》)[4]142按照此觀點(diǎn)，所有的自然數(shù)可以構(gòu)成一個集合，因?yàn)榭梢詫⑺械淖匀粩?shù)看做是一個完成了的無窮整體。很顯然，直覺主義支持潛無窮的觀點(diǎn)，即把無窮集合看成無限延伸著的序列。
直覺主義反對排中律，這意味著直覺主義者可能和經(jīng)典的數(shù)學(xué)家對一個數(shù)學(xué)命題的含義有不同理解。排中律和同一律、矛盾律并稱為形式邏輯的三大基本規(guī)律。傳統(tǒng)邏輯首先把排中律當(dāng)作事物的規(guī)律，意為任一事物在同一時間里具有某屬性或不具有某屬性，而沒有其他可能。排中律同時也是思維的規(guī)律，即一個命題是真的或不是真的，此外沒有其他可能。例如，說A 或 B, 對于一個直覺主義者，是宣稱A或B可以證明。但是，對于排中律, A 或 非 A, 是不被允許的，因?yàn)椴荒芗僭O(shè)人們總是能夠證明命題A或它的否命題。
直覺主義主要對抗的是形式主義。多個世紀(jì)以來，對數(shù)學(xué)規(guī)律的無懈可擊的精確性的信念的依據(jù)是數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的主要對象。直覺主義表示，精確性存在于人類心智之中，形式主義者認(rèn)為，存在于紙面上。[4]90
直覺主義具有非邏輯性和整體性。數(shù)學(xué)直覺是作為邏輯的對立面而介定的一種認(rèn)識方法,因此非邏輯性是數(shù)學(xué)直覺的最主要特性。可以說數(shù)學(xué)直覺的其他特性都是由它的非邏輯性所決定的,這是許多哲學(xué)家、科學(xué)家的共同見解。[6]直覺主義認(rèn)為，數(shù)學(xué)是心靈的創(chuàng)造活動，心靈是豐富的，邏輯則是貧乏的。因此，堅(jiān)決不能用貧乏的邏輯規(guī)則來全面準(zhǔn)確地規(guī)劃豐富的心靈活動。直覺主義的另一位代表人物阿倫特?海廷(Arend Heyting)說：“邏輯屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)”。在對于直覺主義整體性上，一個日本數(shù)學(xué)家有如下精辟的解釋：當(dāng)一個人已經(jīng)長期而持續(xù)地從事了研究并已成為一個完全成熟的研究人員時,他就已經(jīng)在自己的頭腦中形成了一種相對穩(wěn)定的知識體系。經(jīng)過他自己的努力,這種知識體系已被綜合成為一種特殊的,確定的形式。而且自己綜合的工作當(dāng)然本身就是一種極有價值的經(jīng)驗(yàn)。[7]
彭加勒在《數(shù)學(xué)中的直覺和邏輯》一文中寫道：
哲學(xué)家告訴我們，純邏輯永遠(yuǎn)也不能使我們得到任何東西;它不能創(chuàng)造任何新東西，任何科學(xué)也不能僅僅從它產(chǎn)生出來。在某種憊義上，這些哲學(xué)家是對的;要構(gòu)成算術(shù)，像要構(gòu)成幾何學(xué)或構(gòu)成任何科學(xué)一樣，除了純邏輯之外，還需要其他東西。為了稱呼這種東西，我們只好使用直覺這個詞。可是，在這同一諭后，潛藏著多少不同的意思呢?比較一下這四個公理:(1)等于第三個最的兩個量相等;(2)若一定理對數(shù)1為真，假定它對N為真，如果我們證明它對N+1為真，則它對所有整數(shù)均為真;(3)設(shè)在一直線上，C點(diǎn)在A與B之間，D點(diǎn)在A與C之間，則D點(diǎn)將在A與B之間;(4)通過一個定點(diǎn)僅有一條直線與已知直線平行。所有這四個公理都?xì)w之于直覺，不過第一個闡明了形式邏輯諸法則中的一個法則;第二個是真實(shí)的先驗(yàn)綜合判斷，它是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)歸納法的基礎(chǔ);第三個求助于想象:第四個是偽定義。直覺不必建立在感覺明白之上;感覺不久便會變得無能為力。[8]
值得注意的是，直覺主義不是神秘主義。直覺的“不可解釋性”并不等于直覺的“神秘性”，盡管直覺是“不可解釋”的，但它卻有著確定的本質(zhì)。我們認(rèn)為，直覺是認(rèn)識過程中的一種飛躍，因此它就不是一種經(jīng)驗(yàn)的認(rèn)識，而是原來的思想路線的中斷，不可能按照通常的思維方式，用結(jié)論和推理的環(huán)節(jié)把它連接起來，所以直覺是“不可解釋的”。[9]
三、從Kant到Dummett，直覺主義派的主要人物及其思想
伊曼努爾·康德(Immanuel Kant, 1724-1804)，從某種意義上來說，直覺主義是由哲學(xué)家康德開始的。1755到1770年，康德在哥尼斯堡大學(xué)教物理和數(shù)學(xué)，他認(rèn)為我們所有的感覺都來自于一個預(yù)先假定的外部世界。雖然這些感覺不能提供任何知識，但是被感知到的物體間相互作用就產(chǎn)生了知識。心智將這些感覺梳理清楚，得到對空間和時間的直覺?？档抡f，感性直覺有兩個純形式，它們是先天知識的原則，這兩個純形式就是空間和時間。空間是外直覺的純形式，而時間是內(nèi)直覺的純形式，它們都不是從外鄰經(jīng)驗(yàn)得來的，而是必然的、先天的觀念?？臻g和時間不是客觀存在的，而是心智的創(chuàng)作。心智理解經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)驗(yàn)喚醒心智。雖然康德的思想有著直覺主義的影子，但是依舊沒有直觀地提出直覺主義，就數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的方法而言，直覺主義是現(xiàn)代的。[10]
亨利·彭加勒(常譯作龐加萊，Henry Poincare，1854-1912)，當(dāng)代語境中的數(shù)學(xué)直覺主義的先驅(qū)。后人評價為數(shù)學(xué)哲學(xué)與當(dāng)代數(shù)學(xué)直覺主義之間的一座橋梁。邏輯主義對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的理解是虛幻的。它使數(shù)學(xué)失去基礎(chǔ)。然而數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是存在的，它就是我們的直覺。它賦予數(shù)學(xué)以意義，從而給數(shù)學(xué)以對象。彭加勒指明了一座(本來就)架在人類精神和數(shù)學(xué)存在之間的橋梁，那便是我們的數(shù)學(xué)直覺。[11]彭加勒主張自然數(shù)是最基本的直覺，認(rèn)為數(shù)學(xué)歸納法是一種包含直觀的思維方法，是不能簡單地歸結(jié)為邏輯的。他主張使用有限個詞能定義的概念，主張數(shù)學(xué)對象的可構(gòu)造性。他還在另一種意義上理解和強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)直覺，將其看做選擇和發(fā)明的工具。彭加勒認(rèn)為，我們有多種直覺。然而，最重要的可以歸結(jié)為兩類：一是“純粹直覺”，即他通常所說的“純粹數(shù)的直覺”、“純粹邏輯形式的直覺”、“數(shù)學(xué)次序的直覺”等，這主要是解析家的直覺;二是“可覺察的直覺”，即想象，這主要是幾何學(xué)家“形”的直覺。對于這兩類直覺，他認(rèn)為都是必要的，各自發(fā)揮著不同的作用。他認(rèn)為，這兩類直覺“似乎發(fā)揮出我們心靈的兩種不同的本能”，它們像“兩盞探照燈，引導(dǎo)陌生人相互來往于兩個世界”。[12]
布勞威爾(L.E.J.Brouwer，1881-1966)，直覺主義真正的創(chuàng)始人和奠基人是布勞威爾。布勞威爾在數(shù)學(xué)上的直覺主義立場來源于他的哲學(xué)。1907年他在博士論文《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中提出直覺主義觀點(diǎn),認(rèn)為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是先驗(yàn)的初始直覺。數(shù)學(xué)是起源于和產(chǎn)生于頭腦的人類活動，不存在于頭腦之外，因此，是獨(dú)立于真實(shí)世界的。布勞威爾認(rèn)為數(shù)學(xué)思維是智力構(gòu)造的一個過程，它建造自己的天地，獨(dú)立于經(jīng)驗(yàn)，并且只受到必須建立于基本的數(shù)學(xué)直覺之上的限制。[10]布勞維爾發(fā)表的《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》表明直覺主義的立場是強(qiáng)調(diào)“直覺”，這并不是說否認(rèn)數(shù)學(xué)的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性,而只是突出直覺、靈感和創(chuàng)造力在數(shù)學(xué)中的地位。直覺主義者認(rèn)為數(shù)學(xué)不僅是最講究嚴(yán)格性的科學(xué),也是最富有創(chuàng)造性的科學(xué)。布勞維爾認(rèn)為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是先驗(yàn)的初始直覺,他和他的學(xué)生說他們所說的直覺正是人心對于它本身所構(gòu)造的東西的清晰理解。[13]布勞維爾修改了康德的先驗(yàn)時空學(xué)說，放棄了“外直覺的純形式”的先驗(yàn)時空概念，以適應(yīng)非歐幾何的發(fā)展;池把數(shù)學(xué)的基本直覺建立在“內(nèi)直覺的純形式”的先驗(yàn)時間概念的基礎(chǔ)之上。[14]布勞威爾還提出了“二·一原則”(tow-oneness)。他認(rèn)為這是數(shù)學(xué)的基本直覺。即假設(shè)N成立，則N+1成立。這個過程可以無限重復(fù)，創(chuàng)造了一切有限序數(shù)，因?yàn)?ldquo;二·一原則”的元素之一可以被認(rèn)為是一個新的“二·一原則”。布勞威爾認(rèn)為，在這個數(shù)學(xué)的基本直覺中，聯(lián)通和分離、連續(xù)和離散得到統(tǒng)一，并直接引出了線性連續(xù)統(tǒng)的直覺，即“介于”(between)的直覺。(布勞威爾《直覺主義和形式主義》)[4]93
阿倫特·海廷(Arend Heyting，1898-1980)，他是布勞威爾的學(xué)生。繼承了布勞威爾有關(guān)數(shù)學(xué)直覺主義的思想。他認(rèn)為，直覺主義是從一定的、多少有點(diǎn)任意的假設(shè)出發(fā)的。它的主題是構(gòu)造性的數(shù)學(xué)思想。這使得它處于經(jīng)典數(shù)學(xué)之外。形式主義和直覺主義的差別在于，直覺主義的進(jìn)行獨(dú)立于形式化，形式化只能追隨在數(shù)學(xué)構(gòu)造的后面。邏輯不是直覺主義的立足點(diǎn)，數(shù)學(xué)構(gòu)造在頭腦中是很直接的，結(jié)論也應(yīng)該是很清楚的，所以不需要任何基礎(chǔ)。海廷主張，在描述直覺主義數(shù)學(xué)時，應(yīng)當(dāng)在日常生活中去理解。比如，在注視那邊樹木時，我確信我看到樹木，而實(shí)際上光波達(dá)到我眼中，使我構(gòu)造出樹木這一信念需要相當(dāng)?shù)挠?xùn)練。這種觀點(diǎn)是自然的。兩個人說話，我向你灌輸意見，實(shí)際制造了空氣的震動。這是理論的構(gòu)造。(阿倫特·海廷《論辯》)[4]77-88
邁克爾·達(dá)米特(又譯米歇爾·杜麥特Michael Dummett，1925-2011)，當(dāng)代數(shù)學(xué)直覺主義學(xué)派的代表人物。達(dá)米特認(rèn)為，數(shù)學(xué)首先是先驗(yàn)的，然后是分析的。達(dá)米特曾經(jīng)從語言學(xué)角度和意義理論角度為直覺主義辯護(hù)。直覺主義關(guān)于數(shù)學(xué)陳述意義的解釋避免了以真概念為核心概念的意義理論的不足，它把說話者關(guān)于數(shù)學(xué)陳述的理解與說話者使用這個陳述的實(shí)際能力結(jié)合在一起，因此具有很大的優(yōu)點(diǎn)。從直覺主義關(guān)于數(shù)學(xué)陳述的意義說明出發(fā)，達(dá)米特提出了以證實(shí)為核心概念的新的意義理論的構(gòu)想。[15]202達(dá)米特指出：“對于直覺主義邏輯來說，排中律的雙重否定是有效的語義原則，就像二值邏輯認(rèn)為排中律本身是有效的一樣：斷言任何陳述既不真也不假是不一致的。”[4]132
四、直覺主義的意義以及合理性
直覺主義對古典邏輯中的排中律和雙重否定律等原理中的部分原則以及非構(gòu)造性的結(jié)論持否定態(tài)度，也不承認(rèn)數(shù)學(xué)中的實(shí)無限的對象和方法。數(shù)學(xué)的歷史也表明，數(shù)學(xué)知識與理論不僅無法脫離對外部世界的永恒的依存關(guān)系，而且數(shù)學(xué)的錯誤不是通過限制數(shù)學(xué)，如排斥非構(gòu)造數(shù)學(xué)和傳統(tǒng)邏輯而得到克服的。數(shù)學(xué)真理的積累以及對謬誤的拋棄是通過數(shù)學(xué)知識的不斷增長和理論的不斷完善獲得的。一句話、數(shù)學(xué)的生命在于生生不息的創(chuàng)造過程中。慶幸的是，直覺主義由十其思想體系中某種先天的弱點(diǎn)而末成為數(shù)學(xué)的統(tǒng)治思想。但也應(yīng)看到其構(gòu)造思想的重要價值。[16]123-124可以說，直覺主義學(xué)派在本質(zhì)上是主觀和荒謬的，以直覺上的可構(gòu)造性為由來絕對的肯定直覺派數(shù)學(xué)是不能真正解決問題的。但是，直覺主義揭示了經(jīng)典邏輯只具有相對的真理性，在具體的數(shù)學(xué)工作中具有重要意義。
首先，數(shù)學(xué)哲學(xué)中的直覺主義學(xué)派高度認(rèn)可直覺和個人的創(chuàng)造性思維在科學(xué)實(shí)踐中的作用，推動了現(xiàn)代遞歸函數(shù)論的建立和發(fā)展，這無疑對數(shù)學(xué)的進(jìn)步起到了很積極的作用。其次，直覺主義者倡導(dǎo)的構(gòu)造性的能行性的研究方法,促進(jìn)了人工智能和計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展。這種積極探討可行性方法在計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)以及計(jì)算機(jī)科學(xué)中具有重大的現(xiàn)實(shí)意義。第三，直覺主義數(shù)學(xué)哲學(xué)的思想方法在素質(zhì)教育理論研究與實(shí)踐上，具有寶貴的參考價值。在數(shù)學(xué)教育中，邏輯的作用很明顯，其特征為，從已知知識出發(fā),依據(jù)邏輯規(guī)則進(jìn)行推導(dǎo)和演算,一步一步地達(dá)到對研究對象的認(rèn)識。而直覺主義可以跳躍式地認(rèn)知，雖然能一步得到正確答案，卻無法說清楚其中的步驟。直覺主義雖排斥傳統(tǒng)邏輯，但與邏輯關(guān)系十分密切，對培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)邏輯觀念有著不可忽視的作用。另外，直覺主義有助于培養(yǎng)數(shù)學(xué)教育中大膽猜測的思維習(xí)慣。這種創(chuàng)新和探索精神有利于數(shù)學(xué)的進(jìn)步和發(fā)展。
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