人教版高一數(shù)學函數(shù)復習資料
人教版高一數(shù)學函數(shù)復習資料
高中數(shù)學明顯難了很多。函數(shù)是高中數(shù)學的重要部分，因此,很多同學感覺學習函數(shù)很吃力，下面學習啦小編整理了人教版高一數(shù)學函數(shù)復習資料，希望對同學們有幫助。
人教版高一數(shù)學函數(shù)復習資料
指數(shù)函數(shù)的一般形式為y=a^x(a>0且≠1) (x∈R)。
(1) 指數(shù)函數(shù)的定義域為所有實數(shù)的集合，這里的前提是a大于0且不等于1，對于a不大于0的情況，則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因此我們不予考慮，
同時a等于0函數(shù)無意義一般也不考慮。
(2) 指數(shù)函數(shù)的值域為大于0的實數(shù)集合。
(3) 函數(shù)圖形都是下凹的。
(4) a大于1，則指數(shù)函數(shù)單調遞增;a小于1大于0，則為單調遞減的。
(5) 可以看到一個顯然的規(guī)律，就是當a從0趨向于無窮大的過程中(當然不能等于0)，函數(shù)的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函數(shù)的位置，趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函數(shù)的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。
(6) 函數(shù)總是在某一個方向上無限趨向于X軸,永不相交。
(7) 函數(shù)總是通過(0，1)這點,(若y=a^x+b,則函數(shù)定過點(0,1+b)
(8) 顯然指數(shù)函數(shù)無界。
(9) 指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。
(10)當兩個指數(shù)函數(shù)中的a互為倒數(shù)時，兩個函數(shù)關于y軸對稱，但這兩個函數(shù)都不具有奇偶性。
底數(shù)的平移：
對于任何一個有意義的指數(shù)函數(shù)：
在指數(shù)上加上一個數(shù)，圖像會向左平移;減去一個數(shù)，圖像會向右平移。
在f(X)后加上一個數(shù)，圖像會向上平移;減去一個數(shù)，圖像會向下平移。
即“上加下減，左加右減”
底數(shù)與指數(shù)函數(shù)圖像：
(1)由指數(shù)函數(shù)y=a^x與直線x=1相交于點(1，a)可知：在y軸右側，圖像從下到上相應的底數(shù)由小變大。
(2)由指數(shù)函數(shù)y=a^x與直線x=-1相交于點(-1，1/a)可知：在y軸左側，圖像從下到上相應的底數(shù)由大變小。
(3)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與圖像間的關系可概括的記憶為：在y軸右邊“底大圖高”;在y軸左邊“底大圖低”。(如右圖)
冪的大小比較：
比較大小常用方法：(1)比差(商)法：(2)函數(shù)單調性法;(3)中間值法：要比較A與B的大小，先找一個中間值C，再比較A與C、B與C的大小，由不等式的傳遞性得到A與B之間的大小。
比較兩個冪的大小時，除了上述一般方法之外，還應注意：
(1)對于底數(shù)相同，指數(shù)不同的兩個冪的大小比較，可以利用指數(shù)函數(shù)的單調性來判斷。
例如：y1=3^4,y2=3^5，因為3大于1所以函數(shù)單調遞增(即x的值越大，對應的y值越大)，因為5大于4，所以y2大于y1.
(2)對于底數(shù)不同，指數(shù)相同的兩個冪的大小比較，可以利用指數(shù)函數(shù)圖像的變化規(guī)律來判斷。
例如：y1=1/2^4,y2=3^4,因為1/2小于1所以函數(shù)圖像在定義域上單調遞減;3大于1，所以函數(shù)圖像在定義域上單調遞增，在x=0是兩
個函數(shù)圖像都過(0，1)然后隨著x的增大，y1圖像下降，而y2上升，在x等于4時，y2大于y1.
(3)對于底數(shù)不同，且指數(shù)也不同的冪的大小比較，則可以利用中間值來比較。如：
<1> 對于三個(或三個以上)的數(shù)的大小比較，則應該先根據(jù)值的大小(特別是與0、1的大小)進行分組，再比較各組數(shù)的大小即可。
<2> 在比較兩個冪的大小時，如果能充分利用“1”來搭“橋”(即比較它們與“1”的大小)，就可以快速的得到答案。哪么如何判斷一個冪與“1”大小呢?由指數(shù)函數(shù)的圖像和性質可知“同大異小”。即當?shù)讛?shù)a和1與指數(shù)x與0之間的不等號同向(例如： a 〉1且x 〉0，或0〈 a〈 1且 x〈 0)時，a^x大于1，異向時a^x小于1.
〈3〉例：下列函數(shù)在R上是增函數(shù)還是減函數(shù)?說明理由.
?、舮=4^x
因為4>1，所以y=4^x在R上是增函數(shù);
?、苰=(1/4)^x
因為0<1/4<1,所以y=(1/4)^x在R上是減函數(shù)
對數(shù)函數(shù)
一般地，如果a(a大于0，且a不等于1)的b次冪等于N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作log aN=b,其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。
對數(shù)函數(shù)的公理化定義
真數(shù)式子沒根號那就只要求真數(shù)式大于零,如果有根號,要求真數(shù)大于零還要保證根號里的式子大于零，
底數(shù)則要大于0且不為1
對數(shù)函數(shù)的底數(shù)為什么要大于0且不為1
在一個普通對數(shù)式里 a<0,或=1 的時候是會有相應b的值的。但是，根據(jù)對數(shù)定義: logaa=1;如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切實數(shù)(比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等)第二，根據(jù)定義運算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么這個等式兩邊就不會成立 (比如，log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4;一個等于4，另一個等于-4)
對數(shù)函數(shù)的一般形式為 y=log(a)x，它實際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，可表示為x=a^y。因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定，同樣適用于對數(shù)函數(shù)。
右圖給出對于不同大小a所表示的函數(shù)圖形：
可以看到對數(shù)函數(shù)的圖形只不過的指數(shù)函數(shù)的圖形的關于直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函數(shù)。
(1) 對數(shù)函數(shù)的定義域為大于0的實數(shù)集合。
(2) 對數(shù)函數(shù)的值域為全部實數(shù)集合。
(3) 函數(shù)圖像總是通過(1，0)點。
(4) a大于1時，為單調增函數(shù)，并且上凸;a小于1大于0時，函數(shù)為單調減函數(shù)，并且下凹。
(5) 顯然對數(shù)函數(shù)無界。
對數(shù)函數(shù)的常用簡略表達方式：
(1)log(a)(b)=log(a)(b)
(2)lg(b)=log(10)(b)
(3)ln(b)=log(e)(b)
對數(shù)函數(shù)的運算性質：
如果a〉0，且a不等于1,M>0,N>0，那么：
(1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
(2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
(3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M) (n屬于R)
(4)log(a^k)(M^n
)=(n/k)log(a)(M) (n屬于R)
(5)log(a)M×log(a)N=log(a)(M+N)
(6)log(a)M÷log(a)N=log(a)(M-N)
對數(shù)與指數(shù)之間的關系
當a大于0,a不等于1時,a的X次方=N等價于log(a)N
log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) (n屬于R)
換底公式 (很重要)
log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)= lnN/lna=lgN/lga
ln 自然對數(shù) 以e為底
lg 常用對數(shù) 以10為底
[編輯本段]對數(shù)的定義和運算性質
一般地，如果a(a大于0，且a不等于1)的b次冪等于N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作log(a)(N)=b,其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。
底數(shù)則要大于0且不為1
對數(shù)的運算性質：
當a>0且a≠1時,M>0,N>0，那么：
(1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
(2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
(3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M) (n∈R)
(4)換底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1)
對數(shù)與指數(shù)之間的關系
當a>0且a≠1時,a^x=N x=㏒(a)N (對數(shù)恒等式)
對數(shù)函數(shù)的常用簡略表達方式：
(1)log(a)(b)=log(a)(b)
(2)常用對數(shù):lg(b)=log(10)(b)
(3)自然對數(shù):ln(b)=log(e)(b)
e=2.718281828... 通常情況下只取e=2.71828 對數(shù)函數(shù)的定義
對數(shù)函數(shù)的一般形式為 y=㏒(a)x，它實際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)(圖象關于直線y=x對稱的兩函數(shù)互為反函數(shù))，可表示為x=a^y。因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定(a>0且a≠1)，同樣適用于對數(shù)函數(shù)。
右圖給出對于不同大小a所表示的函數(shù)圖形：
可以看到對數(shù)函數(shù)的圖形只不過的指數(shù)函數(shù)的圖形的關于直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函數(shù)。
[編輯本段]性質
定義域：(0，+∞)值域：實數(shù)集R
定點：函數(shù)圖像恒過定點(1，0)。
單調性：a>1時，在定義域上為單調增函數(shù)，并且上凸;
0<a<1時，在定義域上為單調減函數(shù)，并且下凹。
奇偶性：非奇非偶函數(shù)，或者稱沒有奇偶性。
周期性：不是周期函數(shù)
零點：x=1
注意：負數(shù)和0沒有對數(shù)。
兩句經典話：底真同對數(shù)正
底真異對數(shù)負
冪函數(shù) 形如y=x^a(a為常數(shù))的函數(shù)，[即以底數(shù)為自變量指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。]
當a取非零的有理數(shù)時是比較容易理解的，而對于a取無理數(shù)時，初學者則不大容易理解了。因此，在初等函數(shù)里，我們不要求掌握指數(shù)為無理數(shù)的問題，只需接受它作為一個已知事實即可，因為這涉及到實數(shù)連續(xù)統(tǒng)的極為深刻的知識。
對于a的取]值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：
首先我們
知道如果a=p/q，且p/q為既約分數(shù)(即p、q互質)，q和p都是整數(shù)，則x^(p/q)=q次根號(x的p次方)，如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0,+∞)。當指數(shù)a是負整數(shù)時，設a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制來源于兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為負數(shù)，那么我們就可以知道：
排除了為0與負數(shù)兩種可能，即對于x>0，則a可以是任意[實數(shù);
排除了為0這種可能，即對于x<0或x>0的所有實數(shù)，q不[能是偶數(shù);
排除了為負數(shù)這種可能，即對于x為大于或等于0的所有實數(shù)，a就不能是負數(shù)。
總結起來，就可以得到當a為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：
如果a為任意實數(shù)，則函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);
如果a為負數(shù)，則x肯定不能為0，不過這時函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);如果同時q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域為不等于0 的所有實數(shù)。
在x大于0時，函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。
在x小于0時，則只有同時q為奇數(shù)，函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。
而只有a為正數(shù)，0才進入函數(shù)的值域。
由于x大于0是對a的任意取值都有意義的，
因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況.
可以看到：
(1)所有的圖形都通過(1，1)這點.(a≠0) a>0時 圖象過點(0，0)和(1，1)
(2)當a大于0時，冪函數(shù)為單調遞增的，而a小于0時，冪函數(shù)為單調遞減函數(shù)。
(3)當a大于1時，冪函數(shù)圖形下凸;當a小于1大于0時，冪函數(shù)圖形上凸。
(4)當a小于0時，a越小，圖形傾斜程度越大。
(5)顯然冪函數(shù)無界限