冪函數(shù)是什么意思有什么特性及性質
一般地以底數(shù)為自變量，冪為因變量，指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù)。那么你對冪函數(shù)了解多少呢?以下是由學習啦小編整理關于什么是冪函數(shù)，希望大家喜歡!
冪函數(shù)的介紹
例如函數(shù)y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1(注：y=x-1=1/x y=x0時x≠0)等都是冪函數(shù)。當α取非零的有理數(shù)時是比較容易理解的，而對于α取無理數(shù)時，初學者則不大容易理解了。因此，在初等函數(shù)里，我們不要求掌握指數(shù)為無理數(shù)的問題，只需接受它作為一個已知事實即可，因為這涉及到實數(shù)連續(xù)性的極為深刻的知識。
冪函數(shù)的性質
冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內，一定不會出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內，要看函數(shù)的奇偶性;冪函數(shù)的圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內;如果冪函數(shù)圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點.
取正值
當α>0時，冪函數(shù)y=xα有下列性質：
a、圖像都經(jīng)過點(1,1)(0,0);
b、函數(shù)的圖像在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù);
c、在第一象限內，α>1時，導數(shù)值逐漸增大;α=1時，導數(shù)為常數(shù);0<α<1時，導數(shù)值逐漸減小，趨近于0;
取負值
當α<0時，冪函數(shù)y=xα有下列性質：
a、圖像都通過點(1,1);
b、圖像在區(qū)間(0，+∞)上是減函數(shù);(內容補充：若為X-2，易得到其為偶函數(shù)。利用對稱性，對稱軸是y軸，可得其圖像在區(qū)間(-∞，0)上單調遞增。其余偶函數(shù)亦是如此)
c、在第一象限內，有兩條漸近線(即坐標軸)，自變量趨近0，函數(shù)值趨近+∞，自變量趨近+∞，函數(shù)值趨近0。
取零
當α=0時，冪函數(shù)y=xa有下列性質：
a、y=x0的圖像是直線y=1去掉一點(0,1)。它的圖像不是直線。(x=0時，函數(shù)值沒意義)
冪函數(shù)的特性
對于α的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：
首先我們知道如果α=p/q，且p/q為既約分數(shù)(即p，q互質)，q和p都是整數(shù)，則x^(p/q)=q次根號下(x的p次方)，如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0,+∞)。當指數(shù)α是負整數(shù)時，設α=-k，則y=1/(x^k)，顯然x≠0，函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制來源于兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為負數(shù)，那么我們就可以知道：
α小于0時，x不等于0;
α的分母為偶數(shù)時，x不小于0;
α的分母為奇數(shù)時，x取R。
冪函數(shù)的定義域和值域
冪函數(shù)的一般形式是y=xⁿ，其中，n可為任何實數(shù)，但中學階段僅研究n為有理數(shù)的情形，這時可表示為y=x^(m/k)，其中m∈Z，k∈N*，且m，k互質。特別，當k=1時為整數(shù)指數(shù)冪。
(1)當m，k都為正奇數(shù)時，如y=x，y=x³，y=x^(3/5)等，定義域、值域均為R，為奇函數(shù);
(2)當m為負奇數(shù)，k為正奇數(shù)時，如y=x^(-1)=1/x，y=x^(-3)=1/x³，y=x^(-3/5)等，定義域、值域均為{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，為奇函數(shù);
(3)當m為正奇數(shù)，k為正偶數(shù)時，如y=x^(1/2)，y=x^(3/4)等，定義域、值域均為[0，+∞)，為非奇非偶函數(shù);
(4)當m為負奇數(shù)，k為正偶數(shù)時，如y=x^(-1/2)，y=x^(-3/4)等，定義域、值域均為(0，+∞)，為非奇非偶函數(shù);
(5)當m為正偶數(shù)，k為正奇數(shù)時，如y=x²，y=x^(2/3)等，定義域為R、值域為[0，+∞)，為偶函數(shù);
(6)當m為負偶數(shù)，k為正奇數(shù)時，如y=x^(-2)=1/x²，y=x^(-2/3)等，定義域為{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，值域為(0，+∞)，為偶函數(shù)。
冪函數(shù)的特殊情況
由于x大于0是對α的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數(shù)在各象限的各自情況?？梢钥吹剑?/p>
(1)所有的圖像都通過(1，1)這點.(α≠0) α>0時 圖象過點(
特殊性(2)：冪函數(shù)的單調區(qū)間
特殊性(2)：冪函數(shù)的單調區(qū)間
0，0)和(1，1)。
(2)單調區(qū)間：
當α為整數(shù)時，α的正負性和奇偶性決定了函數(shù)的單調性：
①當α為正奇數(shù)時，圖像在定義域為R內單調遞增;
?、诋?alpha;為正偶數(shù)時，圖像在定義域為第二象限內單調遞減，在第一象限內單調遞增;
?、郛?alpha;為負奇數(shù)時，圖像在第一三象限各象限內單調遞減(但不能
冪函數(shù)的單調區(qū)間(當a為分數(shù)時)
冪函數(shù)的單調區(qū)間(當a為分數(shù)時)
說在定義域R內單調遞減);
?、墚?alpha;為負偶數(shù)時，圖像在第二象限上單調遞增，在第一象限內單調遞減。
當α為分數(shù)時，α的正負性和分母的奇偶性決定了函數(shù)的單調性：
?、佼?alpha;>0，分母為偶數(shù)時，函數(shù)在第一象限內單調遞增;
?、诋?alpha;>0，分母為奇數(shù)時，函數(shù)在第一、三象限各象限內單調遞增;
③當α<0，分母為偶數(shù)時，函數(shù)在第一象限內單調遞減;
?、墚?alpha;<0，分母為奇數(shù)時，函數(shù)在第一、三象限各象限內單調遞減(但不能說在定義域R內單調遞減);
(3)當α>1時，冪函數(shù)圖形下凹(豎拋);
當0<α<1時，冪函數(shù)圖形上凸(橫拋)。
當α<0時，圖像為雙曲線。
(4)在(0,1)上，冪函數(shù)中α越大，函數(shù)圖像越靠近x軸;在(1，﹢∞)上冪函數(shù)中α越大，函數(shù)圖像越遠離x軸。
(5)當α<0時，α越小，圖形傾斜程度越大。
(6)顯然冪函數(shù)無界限。
(7)α=2n(n為整數(shù)),該函數(shù)為偶函數(shù) {x|x≠0}。
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