非線性是什么意思與線性的區(qū)別是什么

　　非線性是自然界復雜性的典型性質(zhì)之一，那么你對非線性了解多少呢?以下是由學習啦小編整理關(guān)于什么是非線性的內(nèi)容，希望大家喜歡!

　　什么是非線性

　　非線性(non-linear)，即 變量之間的數(shù)學關(guān)系，不是直線而是曲線、曲面、或不確定的屬性，叫非線性。非線性是自然界復雜性的典型性質(zhì)之一;與線性相比，非線性更接近客觀事物性質(zhì)本身，是量化研究認識復雜知識的重要方法之一;凡是能用非線性描述的關(guān)系，通稱非線性關(guān)系。

　　狹義的非線性是指不按比例、不成直線的數(shù)量關(guān)系，無法用線性形式表現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系，如曲線、曲面等。而廣義上看，是自變量以特殊的形式變化而產(chǎn)生的不同于傳統(tǒng)的映射關(guān)系，如迭代關(guān)系的函數(shù)，上一次演算的映射為下一次演算的自變量，顯然這是無法用通常的線性函數(shù)描繪和形容的。很顯然，自然界事物的變化規(guī)律不是像簡單的函數(shù)圖像，他們當中存在著并非一一對應的關(guān)系。如果說線性關(guān)系是互不相干的獨立關(guān)系，那么非線性則是體現(xiàn)相互作用的關(guān)系，正是這種相互作用，使得整體不再是簡單地全部等于部分之和，而可能出現(xiàn)不同于"線性疊加"的增益或虧損。

　　線性與非線性的區(qū)別

　　非線性是相對于線性而言的，是對線性的否定，線性是非線性的特例，所以要弄清非線性的概念，明確什么是非線性，首先必須明確什么是線性，其次對非線性的界定必須從數(shù)學表述和物理意義兩個方面闡述，才能較完整地理解非線性的概念。

　　(1) 線性

　　對線性的界定，一般是從相互關(guān)聯(lián)的兩個角度來進行的：其一，疊加原理成立：“如果ψl，ψ2是方程的兩個解，那么aψl+bψ2也是它的一個解，換言之，兩個態(tài)的疊加仍然是一個態(tài)。”疊加原理成立意味著所考察系統(tǒng)的子系統(tǒng)間沒有非線性相互作用。其二，物理變量間的函數(shù)關(guān)系是直線，變量間的變化率是恒量，這意味著函數(shù)的斜率在其定義域內(nèi)處處存在且相等，變量間的比例關(guān)系在變量的整個定義域內(nèi)是對稱的。

　　(2) 非線性

　　在明確了線性的含義后，相應地非線性概念就易于界定：

　　其—，“定義非線性算符N(φ)為對一些a、b或φ、ψ不滿足L(aφ+bψ)=aL(φ)+bL(ψ)的算符”，即疊加原理不成立，這意味著φ與ψ間存在著耦合，對(aφ+bψ)的操作，等于分別對φ和ψ操作外，再加上對φ與ψ的交叉項(耦合項)的操作，或者φ、ψ是不連續(xù)(有突變或斷裂)、不可微(有折點)的。

　　其二，作為等價的另—種表述，我們可以從另一個角度來理解非線性：在用于描述—個系統(tǒng)的一套確定的物理變量中，一個系統(tǒng)的—個變量最初的變化所造成的此變量或其它變量的相應變化是不成比例的，換言之，變量間的變化率不是恒量，函數(shù)的斜率在其定義域中有不存在或不相等的地方，概括地說，就是物理變量間的一級增量關(guān)系在變量的定義域內(nèi)是不對稱的?？梢哉f，這種對稱破缺是非線性關(guān)系的最基本的體現(xiàn)，也是非線性系統(tǒng)復雜性的根源。

　　對非線性概念的這兩種表述實際上是等價的，其—疊加原理不成立必將導致其二物理變量關(guān)系不對稱;反之，如果物理變量關(guān)系不對稱，那么疊加原理將不成立。之所以采用了兩種表述，是因為在不同的場合，對于不同的對象，兩種表述有各自的方便之處，如前者對于考察系統(tǒng)中整體與部分的關(guān)系、微分方程的性質(zhì)是方便的，后者對于考察特定的變量間的關(guān)系(包括變量的時間行為)將是方便的。

　　關(guān)于非線性概念需要強調(diào)的是，線性或非線性的提法是相對于物理變量而言的，也就是說，只有物理變量的關(guān)系才是判斷是否是非線性的根據(jù)，而非物理變量的關(guān)系不能成為非線性與否的判據(jù)。這里所說的物理變量是指那些可以觀測的、人們感興趣的、對人類有意義的變量。例如分形理論中，簡單分形的分維D是恒量，在無標度區(qū)間內(nèi)lnN=DlnL，lnN與lnL是線性關(guān)系，但是顯然不能籍此得出簡單分形是線性的結(jié)論。這里的物理變量是N和 L，而不是經(jīng)過對數(shù)變換的nN與lnL，即人們可觀測的、感興趣的、對人們有意義的是N和L，而不是lnN和lnL，N與L的關(guān)系N=LD是非線性的，所以可得出分形是非線性的結(jié)論。再如，物價對時間的直接關(guān)系(而不足Mandbrolt所統(tǒng)計的棉花價格指數(shù)的無標度性)正是人們感興趣的、對人們有意義的，而且兩者的關(guān)系是非線性的，所以物價隨時間的變化是一種非線性現(xiàn)象。

　　非線性的性質(zhì)

　　非線性科學正處于發(fā)展過程之中，它所研究的各門具體科學中的非線性普適類，有已經(jīng)形成的 (如混沌、分形、孤子)，有正在形成的(如適應性與自涌行為)，還會有將要形成的，所以非線性的性質(zhì)還沒有完全呈現(xiàn)出來，這里也就不可能全面地討論非線性的性質(zhì)。下面僅從“非線性與線性的關(guān)系”、“非線性的物理機制”和“非線性與穩(wěn)定性”三個方面作初步探討。

　　(1) 非線性與線性的關(guān)系

　　非線性與線性是相對而言的，兩者是一對矛盾的概念，一方面兩者在一定程度上可以相互轉(zhuǎn)化，另一方面兩者又存在本質(zhì)區(qū)別，再者兩者同時存在于—個系統(tǒng)中，規(guī)定著系統(tǒng)相應方面的性質(zhì)。

　?、俜蔷€性與線性的密切聯(lián)系

　　首先，在數(shù)學上一些線性方程可轉(zhuǎn)化為非線性方程來解。物理上的一些非線性問題，也可以通過數(shù)學變換而轉(zhuǎn)化為線性方程來研究。如非線性的KdV方程通過散射反演方法化為線性的可積方程，從而求出了精確的解析解;一些非線性不強的問題，可用線性逼近方法將其轉(zhuǎn)化為若干線性問題來求近似解，這是已在各門學科中廣泛采用并相當有效的的方法。

　　其次，在某些情況下，由方程得到的解析解并不能提供更多的信息，無助于更好地理解系統(tǒng)的行為，而從解的非線性形式中，我們卻可以方便地得到所研究系統(tǒng)的重要性質(zhì)。如：考慮這樣一個簡單方程：d2X/dt2+X=0，它的解是X=Acos(t)+Bsin(t)，從這個非線性形式中，我們?nèi)菀字浪莻€周期函數(shù)，滿足cos(t+2π)=cos(t)，sin(t+2π)=sin(t)。而從cos(t)和sin(t)的解析形式中，極難證明其具有相應的周期性這一重要性質(zhì)。所以，認為線性方程可以得到解析解， 非線性方程難以得到解析解，因而線性能給出比非線性更多的有用信息是不確切的。這意味著，對某些問題從非線性的角度考察不僅是可能的，而且有時也是必要的。

　　所以，線性與非線性在一定程度上是可以相互轉(zhuǎn)化的，這表明了線性與非線性之間有密切的聯(lián)系。

　　②非線性與線性的本質(zhì)區(qū)別

　　非線性與線性雖然可以通過數(shù)學變換而相互轉(zhuǎn)化，在數(shù)學上有一定的聯(lián)系，但是在同一視角、同一層次、同一參照系下，非線性與線性又是有本質(zhì)區(qū)別的。

　　在數(shù)學上，線性函數(shù)關(guān)系是直線，而非線性函數(shù)關(guān)系是非直線，包括各種曲線、折線、不連續(xù)的線等;線性方程滿足疊加原理，非線性方程不滿足疊加原理;線性方程易于求出解析解，而非線性方程一般不能得出解析解。

　　在物理上，近線性問題(它不是我們所說的非線性問題)可用線性逼近方法求出一定精確度的解，即依據(jù)具體問題對精確度的要求，逐次解出若干個線性問題，把它們疊加起來，就能得到很好的近似解。但是對于非線性問題，由于存有小參數(shù)發(fā)散及收斂慢等問題，線性逼近方法將失效，特別是對于高速運動狀態(tài)、強烈的相互作用、長時間的動態(tài)行為等非線性很強的情況，線性方法將完全無能為力。線性逼近方法的這些局限性，導致非線性方法的不可替代，在無法用線性方法處理的強非線性的地方，只能用非線性方法。線性逼近方法并非經(jīng)常能奏效，這不光是方法論問題，也是自然觀問題，自然界既有量變又有質(zhì)變，在質(zhì)變中， 自然界要經(jīng)歷躍變或轉(zhuǎn)折，這是線性所不能包容的。

　?、鄯蔷€性與線性在同一系統(tǒng)中的作用

　　非線性與線性有一定的聯(lián)系又有本質(zhì)區(qū)別，它們常同時存在于一個系統(tǒng)之中，規(guī)定著系統(tǒng)不同側(cè)面的性質(zhì)，一個確定的系統(tǒng)，一般都同時具有線性和非線性兩種性質(zhì)：首先，在一個給定的非線性系統(tǒng)中，它的非線性性質(zhì)決定它的平衡構(gòu)造或說穩(wěn)定機制是否存在，及存在的地方。其次，系統(tǒng)的線性性質(zhì)決定著系統(tǒng)關(guān)于其平衡點(穩(wěn)定結(jié)構(gòu))的小振動的規(guī)律，即系統(tǒng)在穩(wěn)定點附近的線性展開性質(zhì)。